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第一章 圖形與證明（二）檢測題
【本檢測題滿分：100分，時(shí)間：90分鐘】
一、（每小題3分，共30分）
1.如圖，在△ABC中， ，點(diǎn)D在AC邊上，且 ，則∠A的度數(shù)為（ ）
A. 30° B. 36° C. 45° D. 70°
2.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，如果 5 c，
4 c，那么△DBC的周長是（ ）
A.6 c B.7 c C.8 c D.9 c

3.使兩個(gè)直角三角形全等的條件有（ ）
A.一銳角對(duì)應(yīng)相等 B.兩銳角對(duì)應(yīng)相等
C.一條邊對(duì)應(yīng)相等 D.兩條邊對(duì)應(yīng)相等
4.（2012年浙江臺(tái)州中考）如圖，點(diǎn)D,E,F分別為△ABC三邊的中點(diǎn)，若△DEF的周長為10，則△ABC的周長為（ ）
A．5B．10[:學(xué)科網(wǎng)] C．20D．40
5.如圖，在平行四邊形 中，對(duì)角線 , 相交于點(diǎn) O，
若 ， 的和為18 c， ，△AOB的周長為
13 c，那么BC的長是（ ）
A.6 c B.9 c
C.3 c D.12 c
6.（2012年長沙中考）下列四邊形中，對(duì)角線一定不相等的是（ ）
A.正方形 B.矩形 C.等腰梯形 D.直角梯形
7.從菱形的鈍角頂點(diǎn)向?qū)�角的兩條邊作垂線，垂足恰好是該邊的中點(diǎn)，則菱形的內(nèi)角中鈍角的度數(shù)是（ ）
A.150° B. 135° C. 120° D. 100°
8.順次連接一個(gè)四邊形的各邊中點(diǎn)，得到了一個(gè)矩形，則下列四邊形中滿足條件的是（ ）
①平行四邊形;②菱形;③等腰梯形;④對(duì)角線互相垂直的四邊形.
A.①③ B.②③ C.③④ D.②④
9.已知一矩形的兩邊長分別為10 c和15 c，其中一個(gè)內(nèi)角的平分線分長邊為兩部分，這兩部分的長為（ ）
A.6 c和9 c B. 5 c和10 c C. 4 c和11 c D. 7 c和8 c
10.在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC⊥BD，且 ， ，則梯形兩腰中點(diǎn)的連線EF的長是（ ）
A.10 B . C. D.12
二、題（每小題3分，共30分）
11.（2012年哈爾濱中考）一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別為5和6，則這個(gè)等腰三角形的周長為__ _______.

12.如圖，已知∠ 120°， ，AC的垂直平分線交BC于D，則∠ ______.
13.如圖，在△ 中，∠ 90°， 平分∠ ， 20 c，則點(diǎn)到AB的距離
是_________.

14.用 兩個(gè)全等的直角三角形拼下列圖形：
①平行四邊形（非菱形、矩形和正方形）;
②矩形;
③正方形;
④等腰三角形.
一定可以拼成的圖形是_________.(把所有符合條件的圖形的序號(hào)都寫上)
15.（2012年寧夏中考）已知菱形的邊長為6，一個(gè)內(nèi)角為60°，則菱形的較短對(duì)角線的長是_________.
16．如圖，BD是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E，F(xiàn)在BD上，要使四邊形AECF是平行四邊形，還需要添加的 一個(gè)條件是____ _____．(只需寫出一個(gè)符合題意的條件即可)

17.如圖，在梯形 中， ∥ ，中位線 與對(duì)角線 ， 分別交于 ， 兩點(diǎn)，若
18 c， 8 c，則AB的長等于 _____．
18.如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)B，D同時(shí)以同樣的速度沿邊BC，DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).給出以下四個(gè)結(jié)論：
① ;
② ∠ ∠ ;
③ 當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，DC的中點(diǎn)時(shí)，△AEF是等邊三角形；
④ 當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，DC的中點(diǎn)時(shí)，△AEF的面積最大.
上述結(jié)論正確的序號(hào)有 .
19.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長AB到點(diǎn)E，使 ，則∠BCE的度數(shù)是

20.如圖，矩形 的兩條對(duì)角線交于 點(diǎn) ，過點(diǎn) 作 的垂線 ，分別交 ， 于點(diǎn) ， ，連接 ，已知△ 的周長為24 c，則矩形 的周長是 c．

三、解答題（共40分）
21.（5分）如圖，在△ABC中，∠B=90°，是AC上任意一點(diǎn)（與A不重合），D⊥BC，D交∠BAC的平分線于點(diǎn)D，求證： .

22.（5分）如圖，在四邊形ABCD中， ， ，BD平分∠A BC.
求證：∠ ∠ 180°.
23.（5分）用反證法證明：在一個(gè)三角形中，如果兩條邊不相等，那么這兩條邊所對(duì)的角也不相等.
24.（5分）辨析糾錯(cuò).
已知：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE∥AC，
DF∥AB.求證：四邊形AEDF是菱形.
對(duì)于這道題，小明是這樣證明的.
證明：∵ 平分∠ ，∴ ∠1＝∠2（角平分線的定義）.
∵ ∥ ，∴ ∠2＝∠3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.
∴ ∠1＝∠3（等量代換）.
∴ （等角對(duì)等邊）.同理可證： .
∴ 四邊形 是菱形（菱形定義）.
老師說小明的證明過程有錯(cuò)誤，你能看出來嗎？
(1)請(qǐng)你幫小明指出他錯(cuò)在哪里.
(2)請(qǐng)你幫小明做出正確的解答.
25.（6分）（2012年浙江溫州中考）如圖，在△ABC中，
∠B=90°，AB=6 c，BC=8 c．將△ABC沿射線BC方
向平移10 c，得到△DEF，A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是
D，E，F(xiàn)，連接AD．求證：四邊形ACFD是菱形．
26.（7分）（2012年寧夏中考）正方形ABCD的邊長為3，
E，F(xiàn) 分別是AB，BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF=45°．將
△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DC．
（1）求證：EF=F；
（2）當(dāng)AE=1時(shí)，求EF的長．
27.（7分）已知在等腰梯形 D中， ∥ .
(1)若 ， ，梯 形的高是4，求梯形的周長；
(2 )若 ， ，梯形的高是h，梯形的周長為c，
請(qǐng)用 表示c；
(3)若 ， ， .求證： ⊥ .

第一章 圖形與證明（二）檢測題參考答案
一、
1.B 解析：因?yàn)?，所以∠ =∠ .
因?yàn)?，所以∠ ∠ ，∠ ∠ C.
又因?yàn)椤?∠ ∠ ，所以∠ ∠ ∠ ∠ ∠ 2∠ ，
所以∠ 2∠ 2∠ 180°，所以∠ 36°.
2.D 解析：因?yàn)?垂直平分AB，所以 .
所以△ 的周長＝ (c).
3.D 解析：直角三角形的全等比一般三角形的全等更容易判斷，它們本身已有一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，只要再有兩條邊對(duì)應(yīng)相等即可.
4.C 解析: 根據(jù)中位線定理可得BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，繼而結(jié)合△DEF的周長為10，可得出△ABC的周長．
∵ D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點(diǎn)，∴ DE，DF，EF都是△ABC的中位線，
∴ BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，故△ABC的周長=AB+BC+AC=2（FE + DF +DE）=20．
故選C．
5.A 解析：因?yàn)?， ， 18 c，所以 9 c.
因?yàn)椤鰽OB的周長為13 c，所以 （c）.
又因?yàn)?， ， ，所以 c.
6.D 解析：正方形、矩形、等腰梯形的對(duì)角線一定相等，直角梯形的對(duì)角線一定不相等.
7.C 解析：如圖，在菱形ABCD中，AE⊥CD，AF⊥BC，連接AC.因?yàn)?，所以AE是CD的中垂線，所以 ，所以三角形ADC是等邊三角形，所以∠ 60°，從而∠ 120°.

8.D 解析:因?yàn)轫槾芜B接任意一個(gè)四邊形的各邊中點(diǎn)，得到的是平行四邊形，而要得到矩形，根據(jù)矩形的判定（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形），所以該四邊形的對(duì)角線應(yīng)互相垂直，只有②④符合.
9.B 解析:如圖，在矩形ABCD中， 10 c， 15 c， 是∠ 的平分線，則∠ ∠ C.由AE∥BC得∠ ∠AEB，所以∠ ∠AEB，即 ，所以 10 c， (c)，故選B.
10.C 解析:如圖，作 ∥ ，則四邊形 為平行四邊形， ， .
又 ⊥ ， ， ，所以 ⊥ .
根據(jù)勾股定理得 ，
根據(jù)梯形中位線的定義， .
二、題
11.16或17 解析：當(dāng)?shù)妊�三角形的腰長為5時(shí)，其周長為5×2＋6=16;當(dāng)?shù)妊�三角形的腰長為6時(shí)，其周長為6×2＋5=17.所以這個(gè)等腰三角形的周長為16或17.
12.60° 解析:由題意可知 ，所以∠ ∠ .
又∠ ∠ 30°，所以∠ ∠ ∠ 60°.
13.20 c 解析:根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等可得.
14.①②④ 解析：兩全等的直角三角形對(duì)應(yīng)的直角邊疊合，當(dāng)一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)另一個(gè)直角三角形的非直角頂點(diǎn)時(shí)，拼成平行四邊形（非矩形、菱形、正方形）；
當(dāng)一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)另一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)時(shí)，拼成等腰三角形.
兩全等的直角三角形對(duì)應(yīng)的斜邊疊合，兩互余角的頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)時(shí)，拼成矩形.
15.6 解析:較短的對(duì)角線將菱形分成兩個(gè)全等的等邊三角形，所以較短對(duì)角線的長為6.
16.答案不唯一，只要正確即可，如 或∠ ∠ .
17.26 c 解析:由EF是梯形ABCD的中位線，則EF∥CD∥AB，且 ， ，則 所以E是△ADC的中位線，所以 DC.
同理， DC.
所以 所以 .
又F為△ABC的中位線，所以 26 c.
18.①②③ 解析：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AB AD CB CD，∠B=∠D，BE=DF，所以△ ≌△ ，所以AE AF，①正確.
由CB=CD，BE=DF得CE=CF，所以∠CEF=∠CFE，②正確.
當(dāng)E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)時(shí)，BE=DF= BC= DC.連接AC，BD，知△ 為等邊三角形，所以 ⊥ ， ⊥ ，所以∠AEF= ，由①知AE AF，故△ 為等邊三角形，③正確.
設(shè)菱形的邊長為1，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，DC的中點(diǎn)時(shí)， 的面積為 ，而當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別與點(diǎn)B，D重合時(shí)， = .故④錯(cuò).
19.22.5° 解析:由四邊形 是正方形，得∠ ∠ 又 ，所以 ，所以∠
20.48 解析:由矩形 可知 ，又 ⊥ ，所以 垂直平分 ，所以 .已知△ 的周長為24 c，即
所以矩形ABCD的周長為
三、解答題
21.證明：∵ ⊥ ，且∠ 90°，∴ ∥ ，
∴ ∠ ∠D.
又∵ AD為∠ 的平分線，∴ ∠ ∠ ，
∴ ∠ ∠ ，∴ .
22.分析：從條件BD平分∠ABC，可聯(lián)想到角平分線定理
的基本圖形，故要作垂線段.
證明：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB交BA的延長線于點(diǎn)E，
過點(diǎn)D作 于點(diǎn)F.
因?yàn)锽D平分∠ ，所以 .
在Rt△ 和Rt△ 中 ， ，
所以Rt△ ≌Rt△ (HL).
所以∠ ∠ .因?yàn)椤?∠ 180°，
所以∠ ∠ 180°.
23.解：已知：如圖，在△ABC中， ，
求證：∠ ∠ .
證明：假設(shè)∠ ∠C，那么根據(jù)“等角對(duì)等邊”可得 ，
但已知條件是 ，矛盾，因此∠ ∠ .
24.解：能.⑴小明錯(cuò)用了菱形的定義.
⑵改正：∵ ∥ ， ∥ ，∴ 四邊形 是平行四邊形.
∵ 平分∠ ，∴ ∠ ∠2.
∵ ∥ ，∴ ∠ ∠2，∴ ∠ ＝∠3.
∴ ，∴ 平行四邊形 是菱形.
25.分析：根據(jù)平移的性質(zhì)可得CF=AD=10 c，DF=AC=10 c，就可以根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形得到結(jié)論．
證明：由平移變換的性質(zhì)得CF=AD=10 c，DF=AC.
∵ ∠B=90°，AB=6 c，BC=8 c，∴ AC=10 c.
∴ AC=DF=AD=CF=10 c，∴ 四邊形ACFD是菱形．
26.（1）證明：∵△DAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DC，∴∠FC=∠FCD+∠DC=180°，
∴ F，C，三點(diǎn)共線，DE=D，∠ED=90°，∴∠EDF+∠FD=90°.
∵ ∠EDF=45°，∴∠FD=∠EDF=45°.
在△DEF和△DF中，DE=D，∠EDF=∠DF，DF=DF，
∴△DEF≌△DF（SAS），∴ EF=F.
（2）解：設(shè)EF=F=x，∵AE=C=1，且BC=3，∴ B=BC+C=3+1=4，
∴BF=B－F=B－EF=4－x.
∵EB=AB－AE=3－1=2，在Rt△EBF中，
由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+（4－x）2=x2，
解得：x= ，即EF= .
27. (1) 解:如圖，作DE∥AB，DF⊥BC.
因?yàn)锳D∥BC ，所以四邊形ABED是平行四邊形，
所以AB=DE，AD=BE.
因?yàn)锳B=CD，所以DE=DC.
又DF⊥BC，所以EF=FC.
因?yàn)锳D=5，BC=11， 梯形的高是4，
所以EC=BC－AD=6，EF=FC=3，DF=4，
從而 ，
梯形的周長為AB+BC+CD+AD=5+11+5+5=26.
(2) 解：若AD=a，BC=b，梯形的高是h，則DF=h，EF=FC= (b-a)， .
所以梯形的周長c=AB+BC+CD+AD= .
(3)證明：如圖，過點(diǎn)D作AC的平行線，交BC的延長線于點(diǎn)E.
由等腰梯形的性質(zhì)得AC=BD.因?yàn)锳D∥BC， ED∥AC，
所以四邊形ACED是平行四邊形，
所以AD=CE，AC=DE，從而BD=DE= .
又BE=BC+CE=BC+AD=10，
所以 ，
所以DE⊥BD，即AC⊥BD.