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第二十八講 奇妙的對(duì)稱
對(duì)稱是一種客觀存在，一朵紅花、一片綠葉、一只色彩魔斕的蝴蝶等，最令人驚奇的就是它們外形的幾何對(duì)稱性，自然界的對(duì)稱性可以在從亞原子粒子的結(jié)構(gòu)到整個(gè)宇宙的結(jié)構(gòu)的每一個(gè)尺度上找到．
對(duì)稱是一種美的標(biāo)準(zhǔn)，人類心智中的某種東西受對(duì)稱的吸引，對(duì)稱對(duì)我們的視覺有感染力，影響我們對(duì)美的感受，建筑、繪畫廣泛地應(yīng)用對(duì)稱．
對(duì)稱是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，我們熟悉的有代數(shù)中的對(duì)稱式、幾何中的軸對(duì)稱、中心對(duì)稱等，更一般情況是，許多數(shù)學(xué)問題所涉及的對(duì)象具有對(duì)稱性，不僅包括幾何圖形 中的對(duì)稱，而且泛指某些對(duì)象在有些方面如圖形、關(guān)系、地位等同彼此相對(duì)又相稱．
對(duì)稱是一種解題方法，即解題時(shí)充分利用問題自身?xiàng)l件的某些對(duì)稱性分析問題，在探求幾何最值、代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值等方面有廣泛的應(yīng)用．
例題求解
【例1】 如圖，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°， O為△AB C中一點(diǎn)，∠OAB=10°，∠OBA=30°，則線段AO的長(zhǎng)是 ．
( “希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

思路點(diǎn)撥 △OAB是一般三角形，作∠ACB的平分線，與BO延長(zhǎng)線交于D，連AD，OC，通過全等尋找與AO相等的線段，促使問題的解決．
注 物理學(xué)家皮埃爾?居里曾說，“結(jié)果與其原因一樣對(duì)稱．”
大干世界，許多事物都具有某種對(duì)稱性．許多化學(xué)分子是對(duì)稱的，細(xì)胞結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的，病毒往往也是對(duì)稱的，……對(duì)稱給人們以和諧均衡的羌感，完全的對(duì)稱是重復(fù)性的可預(yù)言的，
人類在漫長(zhǎng)的歲月里，體驗(yàn)著對(duì)稱，享受著對(duì)稱．
求幾何量的最值問題常用方法有：
(1)應(yīng)用幾何中的不等式性質(zhì)，定理；
(2)對(duì)稱分析；
(3)代數(shù)法．即著眼于揭示問題中變動(dòng)元素的代數(shù)關(guān)系．
【例2】 如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，則PE+PC的最小值為( )
A．2 B． C． D． (“新蕾杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)


思路點(diǎn)撥 C、E兩點(diǎn)位置固定，從對(duì)稱性考慮，確定P點(diǎn)位置．
【例3】現(xiàn)有一塊形如母子正方形的板材，木工師傅想先把它割成幾塊，然后適當(dāng)拼接，制成某種特殊形狀的板面(要求板材不能有剩余，拼接時(shí)不重疊、無空隙)，請(qǐng)你按下列要求幫助木工師傅分別設(shè)計(jì)一種方案：
(1)板面形狀為非正方形的中心對(duì)稱圖形 ；
(2)板面形狀為等腰梯形；
(3)板面形狀為正方形．
思路點(diǎn)撥 問題(1)，由“中心對(duì)稱的四邊形是平行四邊形”想象出中心對(duì)稱的多邊形的大致形狀；問題(2)，先計(jì)算等腰梯形面積為5，猜想等腰梯形的高，可能為2，因此，上、下底的和應(yīng)為5；問題(3)，由正方形的面積為5，計(jì)算出它的邊長(zhǎng)應(yīng)為 ．
【例4】 已知 ，試確定 、 的關(guān)系．
(江蘇省競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥 有理化是解根式問題的基本思路，乘方、配方、換元、引入有理化因式等是有理化的常用方法．本例是一道膾炙人口的名題，引入與已知等式地位相對(duì)相稱的有理化因式，本例可獲得簡(jiǎn)解．
注 數(shù)學(xué)中的對(duì)稱，不僅指幾何圖形中的對(duì)稱，代數(shù)表示式中，若各個(gè)宇母互相替代，表示式不變，也稱這個(gè)表示式關(guān)于這些字母是對(duì)稱的，一個(gè)復(fù)雜的二元對(duì)稱式．都可以用最簡(jiǎn)單對(duì)稱式 ， 表示．
許多數(shù)學(xué)問題有著和諧的對(duì)稱美．對(duì)原題匹配一個(gè)與之相對(duì)的數(shù)學(xué)式，然后一起參與運(yùn)算，這就是常說的“對(duì)稱性地處理具有對(duì)稱性的問題”，是數(shù)學(xué)解題中的一個(gè)一般性原則．
用對(duì)稱法解幾何題的常見的方式有：
(1)作出常見軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，或利用題設(shè)條件中的垂線、角平分線翻折造全等；
(2)利用中點(diǎn)構(gòu)造中心對(duì)稱圖形．
【例5】 如圖，凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞~OD，比較BC+AD與AB+CD的大小． (“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題)


思路點(diǎn)撥 以AC為對(duì)稱軸，將部分圖形翻折，把相關(guān)線段集中到同一個(gè)三角形中去，以便 運(yùn)用三角形三邊關(guān)系定理，這是解本例的關(guān)鍵．
【例6】如圖，在△ABC中，AD是BC邊的 中線，點(diǎn)M在AB邊上，點(diǎn)N在AC邊上，并且∠MDN=90°，如果BM2+CN2＝DM2+DN2，求證：AD2= ．
(北京市競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥 易想到勾股定理，需要把分散的條件加以集中，利用中點(diǎn)，構(gòu)造中心對(duì)稱全等三角形．
學(xué)力訓(xùn)練
1．下面四個(gè)圖形中，從幾何圖形的性質(zhì)考慮，哪一個(gè)與其他三個(gè)不同?請(qǐng)指出這個(gè)圖形，并簡(jiǎn)述你的理由．
答：圖形 ；理由是： ． (吉林省中考題)


2．如圖，兩點(diǎn)A、B在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC=8，B到MN的距離BD=5，CD＝4，P在直線MN上運(yùn)動(dòng)，則 的最大值等于 ．
( “希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
3．如圖，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，BC=2?，如果以AC的中點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將這個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，那么B′點(diǎn)與B點(diǎn)的原來位置相距 cm．


4．如圖，∠AOB=45°，角內(nèi)有點(diǎn)P，PO=10，在角的兩邊上有兩點(diǎn)Q，R(均不同于O點(diǎn))，則△PQR的周長(zhǎng)的最小值為 ． (黃岡市中考題)
5．設(shè)將一張正方形紙片沿右圖中虛線剪 開后，能拼成下列四個(gè)圖形，則其中是中心對(duì)稱圖形的是( ) (2003平龍巖市中考題)

6．如圖，一牧童在A處牧馬，牧童家在B處，A、B處距河岸的距離AC、BD的長(zhǎng)分別為500m和700m，且C、D兩地的距離為500m，天黑前牧童從A點(diǎn)將馬牽引到河邊去飲水后，再趕回家，那么牧童至少要走( )
A．100 m B．1200m C ．1300m D．1700m

7．如圖，在菱形ABCD中，AB=4a，E在BC上，BE=2 a ，∠BAD=120°，P點(diǎn)在BD上，則PE+PC的最小值為( )
A．6 a0 B．5 a C．4 a D． 2 a
8．如圖，一輛汽車在直線形的公路AB上由A向B行駛，M、N分別是位于公路AB兩側(cè)的村莊．
(1)設(shè)汽車行駛到公路AB上點(diǎn)P位置時(shí)，距離村莊M最近；行駛到點(diǎn)Q位置時(shí)，距離村莊N最近，請(qǐng)?jiān)趫D中的公路AB上分別畫出點(diǎn)P、Q的位置(保留畫圖痕跡)．
(2)當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時(shí)，在公路AB的哪一段路上距離M、N兩村莊都越來越近?在哪一段路上距離村莊N越來越近，而離村莊M卻越來越遠(yuǎn)?(分別用文字表 述你的結(jié)論，不必證明 )
(3)在公路AB上是否存在這樣一點(diǎn)H，使汽車行駛到該點(diǎn)時(shí)，與村莊M、N的距離相等?如果存在，請(qǐng)?jiān)趫D中的AB上畫出這一點(diǎn)(保留畫圖痕跡，不必證明)：如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由． (2001年浙江省嘉興市中考題)
9．(1)用四塊如圖I所示的黑白兩色正方形瓷磚拼成 一個(gè)新的正方形，使之形成軸對(duì)稱圖案，請(qǐng)至少給出三種不同的拼法(在①②③中操作)；
(2)請(qǐng)你任意改變圖I瓷磚中黑色部分的圖案，然后再用四塊改變圖案后的正方形瓷磚拼出一個(gè)中心對(duì)稱圖案(在④中操作)． (仙桃、潛江、天門、江漢油田中考題)



10．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分線交AD于E，交BC的延長(zhǎng)線于F，求證：FD2=FB×FC．
11．如圖，設(shè)Ll和L2，是鏡面平行且鏡面相對(duì)的兩面鏡子，把一個(gè)小球放在之間，小球放在鏡Ll中的像為A′，A′在鏡L2中的像為A″，若Ll、L2的距離為7，則AA″ ．
(江蘇省競(jìng)賽題)


12．如圖，設(shè)M是△ABC的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，則△ABC的面積為 ．
13．如圖，ABCD—A'B'C'D'為長(zhǎng)方體，AA'=50cm，AB=40cm，AD=30cm，把上、下底面都等分成3× 4個(gè)小正方形，其邊長(zhǎng)均為l0cm，得到點(diǎn)E、F、G、H和E'，、F'，、G'，、H'，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面E點(diǎn)沿表面爬行至上底面G'，點(diǎn)至少要花時(shí)間
秒．
14．無理數(shù) 的整數(shù)部分是 ． ( “希望杯”邀請(qǐng)賽試題)
15．當(dāng) 等于 ， ，…， ，1，2，…，1992 ，1993時(shí)，計(jì)算代數(shù)式 的值，再將所得的結(jié)果全部加起來，總和等于 ．
16．一束光線經(jīng)3塊平面鏡反射，反射的路線如圖所示，圖中字母表示相應(yīng)的度數(shù)，已知c=60°，求d+e與x的值．
17．如圖，在△ABC中，AD∥BC，已知∠ABC>∠ACB，P是AD上的任一點(diǎn)，求證：AC+BP＜AB+PC．


18．如圖，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=l0cm，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N，使BM+MN的值最小，求這個(gè)最小值．
19．如圖，在△ABC中，D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，AD、BE相交于P，若∠BPD=∠C，求證：以△ABC三條中線為邊構(gòu)成的三角形與△ABC相似． (2004年武漢市選拔賽試題)

本文來自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/chuer/80199.html

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