1．在前面幾講中我們分別學(xué)習(xí)了整式、分式以及根式的恒等變形與證明，其中也涉及到它們的化簡(jiǎn)與求值．本講主要是把這蘭種類型的代數(shù)式綜合起來(lái)，其中求值問(wèn)題是代數(shù)式運(yùn)算中的非常重要的內(nèi)容．
2．對(duì)于代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值，常用到的技巧有：
(1)因式分解，對(duì)所給的條件、所求的代數(shù)式實(shí)施因式分解，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的；
(2)運(yùn)算律，適當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律，也有助于化簡(jiǎn)；
(3)換元、配方、待定系數(shù)法、倒數(shù)法等；
(4)有時(shí) 對(duì)含有根式的等式兩邊同時(shí)實(shí)施平方，也不失為一種有效的方法．
例題求解
【例1】已知 ，求 的值．
思路點(diǎn)撥 由已知得(x－4)2=3，即x2－8x+13=0．所以原式=5．
注 本題使用了整體代換的作法．
【例2】已知：x+ y+x=3a(a ≠0)，求： 的值．
思路點(diǎn) 撥 由 得：
解設(shè) ， ， ，∴
∴原式= （可將 兩邊平方的得到）
【例3】已知 ，求 的值．
思路點(diǎn)撥 設(shè)
∴ ，然后對(duì) 和 兩種情況進(jìn)行討論，原式= 和 ．
【例4】已知 ， ， ，求（1） 的值：（2） 的值．
思路點(diǎn)撥 先由條件求出 ，可得 ， ．
注 這道題充分體現(xiàn)了三個(gè)數(shù)的平方和，三個(gè)數(shù)的立方和，及三個(gè)數(shù)四次方和的常規(guī)用法，這些常用處理方法對(duì)我們今后的學(xué)習(xí)是十分重要的．
【例5】 (2003年河北初中數(shù)學(xué)應(yīng)用競(jìng)賽題)同一價(jià)格的一種商品在三個(gè)商場(chǎng)都進(jìn)行了兩次價(jià)格調(diào)整．甲商場(chǎng)：第一次提價(jià)的百分率為a，第二次提價(jià)的百分率為b；乙商場(chǎng)：兩次提價(jià)的百分率都是 （a>0，b>0）；丙商場(chǎng)：第一次提價(jià)的百分率為b，第二次提價(jià)的百分率為a，則提價(jià)最多的商場(chǎng)是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．不能確定
思路點(diǎn)撥 乙商場(chǎng)兩次提價(jià)后，價(jià)格最高．選B
【例6】 已知非零實(shí)數(shù) a、b、c滿足 ， ，求 的值．
思路點(diǎn)撥 原條件變形為：
∴ 為±1或0．
【例7】(2001年重慶市)閱讀下面：
在計(jì)算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21時(shí)；我機(jī)發(fā)現(xiàn)，從第一個(gè)數(shù)開(kāi)始，以后的每個(gè) 數(shù)與它的前一個(gè)數(shù)的差都是一個(gè)相同的定值．具有這種規(guī)律的一列數(shù)，除了直接相加外，我們還可以用公式 計(jì)算它們的和．(公式中的n表示數(shù)的個(gè)數(shù)，a表示第一個(gè)數(shù)的值，d表示這個(gè)相差的定值．)
那么3+5+7+9+11+13+15+17+19+21= ．
用上面的知識(shí)解決下列問(wèn)題：
為保護(hù)長(zhǎng)江，減少水土流失，我市某縣決定對(duì)原有的坡荒地進(jìn)行退耕還林．從1995年起在坡荒地上植樹(shù)造林，以后每年又以比上一年多植相同面積的樹(shù)木改造坡荒地，由于每年因自然災(zāi)害、樹(shù)木成活率、人為因素等的影響，都有相同數(shù)量的新坡荒地產(chǎn)生，下表 為1995、1996、1997年的坡荒地面積和植樹(shù)的面積的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．假 設(shè)坡荒地全部種上樹(shù)后，不再有水土流失形成新的坡荒地，問(wèn)到哪一年，可以將全縣所有的坡荒地全部種上樹(shù)木．
1995年1996年1997年
每年植樹(shù)的面積（畝）100014001800
植樹(shù)后坡荒地的實(shí)際面積(畝)252002400022400
思路點(diǎn)撥 1996年減少了25200－24000=1200，
1997年減少了24000－22400=1600，
…
m年減少了1200+400×(m―1996)．
1200+1600+…+1200+400(m―1996)=25200．
令n=m―1995，得 ， 或 （舍去）
∴ m =1995+n =2004．
∴ 到2004年，可以將坡荒地全部種上樹(shù)木．
【例8】 ( “信利杯”)某校初三兩個(gè)畢業(yè)班的學(xué)生和教師共100人一起在臺(tái)階上拍畢業(yè)照留念，攝影師要將其排列成前多后少的梯形隊(duì)陣{排數(shù)≥3)，且要求各行的人數(shù)必須是連續(xù)的自然數(shù)，這樣才能使后一排的人均站在前一排兩人間的空 擋處，那么，滿足上述要求的排法的方案有( )
A．1種 B． 2種 C．4種 D．0種
思路點(diǎn)撥 設(shè)最后一排有k個(gè)人，共有n排，那么從后往前各排的人數(shù)分別為k，k+1，k+2，…，k+(n―1)，由題意可知 ，即n=200．因?yàn)閗，n都是正整數(shù)，且n≥3，所以n<2k+(n―1)，且n與2k+(n―1)的奇偶性不同．將200分解質(zhì)因數(shù)，可知n=5或n=8．當(dāng)n=5時(shí)，k=l8；當(dāng)n=8時(shí)，k=9．共有兩種不同方案．選B
【例9】 (江蘇省競(jìng)賽初三)有兩道算式：
好+好=妙，妙×好好×真好=妙題題妙，
其中每個(gè)漢字表示0~9中的一個(gè)數(shù)字，相同漢字表示相同數(shù)字，不同漢字表示不同數(shù)字．那么，“妙題題妙”所表示的四位數(shù)的所有因數(shù)的個(gè)數(shù)是 ．
思路點(diǎn)撥 從加法式得“好”<5，“妙”≠0，因此“好”=1，“妙”=2或“好”=2，“妙”=4或“好”=3，“妙”=6或“好”=4，“妙”=8．顯然，中間兩種情形不滿足乘法式，所以只能是：
(1)“好”=1，“妙”=2，從而乘法式變?yōu)?br> 2×11×(真×10+1)=2002+題×110，
即 真×10+1=91+題×5．
上式左邊≤91，右邊≥91，所以兩邊都等于91．
由此得“真”=，“題”=0“妙題題妙”=2002．
(2)“好”=4，“妙”=8，乘法式為
8×44×(真×10十4)=8008+題×110．
即704+1760×真=4004十題×55．
在0~9中，只有“真”=2，“題”=4滿足上式，但此時(shí)“好”與“題”表示 相同的數(shù)字，與題意不符．
故四位數(shù)“妙題題妙”有唯一解2002．
由2002=2×7×11×13，知2002的所有因數(shù)的個(gè)數(shù)為24=16．
【例9】設(shè) ，，且 ．
求 的值．
思路點(diǎn)撥 設(shè) ，顯然 ，于是 ， ， ，代入已知得 ，即 ，
由 ， ，可知 ， ， ，∴ ，原式=1．
學(xué)力訓(xùn)練
(A級(jí)))
1．當(dāng)m在可取值范圍內(nèi)取不同的值時(shí)，代數(shù)式 的最小值是( )
A．0 B．5 C．3 D．9
2．已知：a、b都是負(fù)實(shí)數(shù)，且 ，那么 的值為( )
A． B． C． D．
3．如a、b、c是三個(gè)任意整 數(shù)，那么 、 、 ( )
A．都不是整數(shù) B．至少有兩個(gè)整數(shù) C．至少有一個(gè)整數(shù) D．都是整數(shù)
4．如果 ，那么 的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．4
5．已知： ， ， ，且 ，試求 的值．
6．已知 ，那么 的值是多少？
（B級(jí)）
1．設(shè)等式 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，其中a、x、y是兩兩不同的實(shí)數(shù)，則 的值是( )
A．3 B． C．2 D．
2．已知m>0， n>0，且 ，求 的值．
3．已知 2，試求 的值．
4．已知 ， 且x≠y，求 的值．
5．設(shè)a、 b、c均不為0，且 ， ，求證：a、b、c中至少有一個(gè)等于1998．
6． 已知a、b、c為整數(shù)，且滿足 ，求 的值．
A級(jí)
1．B 2．C 3．C 4 ．D 5．1 6．20
B級(jí)
1．B．2．3 3．4 4．
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