1．三角形的不等關(guān)系是研究許多幾何不等問題的基礎(chǔ)，這種不等關(guān)系分為兩類：一類是在同一三角形中進(jìn)行比較；一類是在兩個(gè)三角形中比較．這里主要 方法是把要比較的邊或角如何轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形或適當(dāng)安排在兩個(gè)三角形之中．
2．在同一個(gè)三角形中有關(guān)邊或角不等關(guān)系的證明，常有以下定理：
(1)三角形任何兩邊之和大于第三邊．
(2)三角形任何兩邊之差小于第三邊．
(3)三角形的一個(gè)外角大于任 何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．
(4)同一三角形中大邊對大角．
(5)同一三角形中大角對大邊．
例題求解
【例1】 如圖19-2，在等腰梯形ABCD中，A∥BC，AB=CD，E、F分別在AB、CD上且AE=CF．求證： ．
思路點(diǎn)撥 如圖所示，延長AD至D1使DD1=BC，延長BC至Cl，使CCl =AD，連結(jié)ClDl，則ABC1Dl是平行四邊形，ABCD和CDDlCl是兩個(gè)全等的梯形，在D1C1上取一點(diǎn)G使D1G=AE，連結(jié)FG和EG．
由AE=CF，則EF=FG，又EG=AD1=AD+BC，
∴ 2EF=EF+FG≥EG=A D+BC．
即 ．
注 當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)F落在EG上時(shí)，即E為AB的中點(diǎn)時(shí)，結(jié)論中的等號成立．證明這類不等式的一個(gè)常用方法是能過添加輔助線，把要比較大小的線段或角集中到一個(gè)三角形中，或者適當(dāng)?shù)匕才旁趦蓚�(gè)三角形中，以便應(yīng)用上述基本不等式關(guān)系．
【例2】 如圖19-3，△ABC中，AB>AC，BE、CF是中線，求證：B E>CF．
思路點(diǎn)撥 將BE、CE分別平移到 FG、FD，則四邊形EFDC為平行四邊形，作FH⊥BC于H．
∴AB>AC，且F，E分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴ FB>CE．
∴ FB>FD，由勾股定理得：HB>HD，即FB>FD．
又∵GH=GB+BH=EF+BH=DC+BH>CD+DH=CH，
即GH>CH， ∴ GF>CF． 即 BE>CF．
【例3】 如圖19-4，在等腰△ABC中，AB=AC，D為形內(nèi)一點(diǎn)，∠ADC>∠ADB，
求證：DB>DC．
思路點(diǎn)撥 把△ABD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)△BAC
至△ACD′，連接DD′，則AD=AD'．
∴∠ADD′ =∠AD′D，而∠ADC>∠ADB，
∴ ∠ADC>∠AD′C，
∴ ∠ADD′+∠D′DC>∠AD′D+∠CD′D
∴ ∠D'DC>∠DD'C．
∴ CD′>DC，即DB>DC．
注 幾何圖形在平移、對稱、旋轉(zhuǎn)變換中，只是圖形位置發(fā)生變化，而線段的長度、角的大小不變．
【例4】 如圖19-5，在△ABC 中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，且2 b < a +c，求證：2∠B<∠A+∠C．
思路點(diǎn)撥 延長BA到D，使AD=BC= a，延長BC到E，使CE=AB=，連結(jié)DE，
這就把圖形補(bǔ)成一個(gè)等腰三角形，即有BD=BE= a + c．
∴∠BDE=∠BED．
作DF∥AC，CF∥AD，相交于F，連結(jié)EF，則ADFC是平行四邊形．
∴CF=AD=BC．
又∠FCE=∠CBA，∴△FCE≌△CBA
∴ EF=AC= b．
于是 DE≤DF+EF=2 b < a+c=BD=BE．
這樣，在△BDE中，便有∠B<∠BDE=∠BED
∴ ∠2B<∠BDE+∠BED=180°一∠B=∠A+∠C，
即2∠B<∠A+∠C．
【例5】 過三角形的重心任作一直線，把這個(gè)三角形分成兩部分，求證：這兩部分面積之差不大于整個(gè)三角形面積的 ．
思路點(diǎn)撥 如圖19-6，設(shè)△ABC重心為，過點(diǎn)G分別作各邊的平行線與各邊交點(diǎn)依次為A1、B1、B2、C1、C2、A2
連結(jié)A1A2；B1B2、C1C2，
∵ 三角形重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離等于它到對邊中點(diǎn)距離的二倍，
∴ A1A=A1Bl=B1B， BB2=B2Cl=C1C，CC2=C2A2=A2A．
∵ A1A2∥BC，B1B2∥AC，C1C2∥AB，
∴ 圖中的9個(gè)三角形全等．
即△AA1A2≌△A1B1G≌△B2GB1≌…≌△C2ClC．
所以上述9個(gè)小三角形的面積均等于△ABC面積的 ．
若過點(diǎn)C作的直線恰好與直線A1C1、B1C2、B2A2重合，則△ABC被分成的兩部分的面積之差等于一個(gè)小三角形的面積，即等于△ABC面積的 ．
若過點(diǎn)C作的直線不與直線A1C1、B1C2、B2A2重合，不失一般性，設(shè)此直線交AC于F，交AB于E，交C1C2于D，
∵ GBl=GC2，∠EB1G=∠DC2C，∠B1GE=∠C2GD，
∴ △B1GE≌△C2GD．
∴ EF分△ABC成兩部分的面積之差等于 ，
而這個(gè)差的絕對值不會超過S△C1C2C的面積．
從而EF分△ABC成兩部分的面積之差不大于△ABC面積的 ．
綜上所述：過三角形重心的任一直線分三角形成兩部分的面積之差不大于整個(gè)三角形面積的 ．
【例6】 如圖19-12，在△ABC中，P、Q、R將其周長三等分，且P、Q在A B上，求證： ．
思路點(diǎn)撥 易想到作△ABC和△PQR的高，將三角形的面積比化成線段的乘積比，并利用平行線截線段成比例定理，把其中兩條高的比轉(zhuǎn)換成三角形邊上 線段的比．
如圖19-12，作CL⊥AB于L，RH⊥PQ于H，則 ．
不妨設(shè)△ABC的周長為1，則PQ= ，AB< ，
∴ ．
∵AP≤AP+BQ=AB—PQ< ，
∴AR= —AP> － ．
又AC< ，從而 ，∴ ．
【例7】 (2000年江蘇省初三競賽題)如圖19-13，四邊形A BCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠APD=120°．
證明：PA+PD+PC≥BD．
思路點(diǎn)撥 在四邊形ABCD外側(cè)作等邊三角形AB′D，由∠APD=120°可證明B'P=AP+PD．易知B' C≥PB'+PC．得B' C≤AP+PD+PC．下證BD= B'C．
∵△AB'D是等邊三角形，∴ AB'=AD，∠B'AD=60°，又易知△ABC是等邊三角形，故AC=AB，∠BAC=60°，于是△AB'C≌△ADB，∴ B'C= DB．
【例8】 設(shè) 、 、 是銳角△ABC三邊上的高，求證： ．
思路點(diǎn)撥 如圖19-14， 在Rt△ADC中，由于AC>AD，故 ，
同理可證 ，
∴ ，即 ①
設(shè)△ABC的垂心為H點(diǎn)，
由于HA+HB>AB，HB+HC>BC，HC+HA>AC，即HA+HB+HC> ．
從而 ， 即 ②
由①、②得 ．
學(xué)歷訓(xùn)練
（A級）
1．在△ABC中，AD為中線，AB=7，AC=5，則AD的取值范圍為 ．
2．(安徽省數(shù)學(xué)競賽)已知在△ABC中，∠A≤∠B≤∠C，且2∠B=5∠A，則AB的敢值范圍是 ．
3．(太原市初中數(shù)學(xué)競賽試題)用長度相等的100根火柴棍，擺放成一個(gè)三角形，使最大邊的長度是最小邊長度的3倍，求滿足此條件的每個(gè)三角形的各邊所用火柴棍的根數(shù) ．
4．(全國高中理科試驗(yàn)班招生數(shù)學(xué)試題)面積為1的三角形中，三邊長分別為a、b、c，且滿足a≤b≤c，則a+b的最小值是 ．
5． (江蘇數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)題)在任意△ABC中，總存在一個(gè)最小角α，則這個(gè)角α的取值范圍為 ．
（B級）
1．如圖19-16，△ABC中，E、F分別為AC、AB上任一點(diǎn)，BE、CF交于P，求證：PE+PF
3．如圖19-18，矩形ABCD中，E、F別是AB、CD上的點(diǎn)，求證：EF
5．如圖19-19，在△ABC中，∠B=2∠C，求證：AC<2AB．
6．平面上有n個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形，求n的最大值．
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