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§15．2 完全平方公式（一）
目標(biāo)
（一）知識(shí)點(diǎn)
1．完全平方公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用．
2．完全平方公式的幾何解釋．
（二）能力訓(xùn)練要求
1．經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進(jìn)一步發(fā)展符號感和推理能力．
2．重視學(xué)生對算理的理解，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的思維條理性和表達(dá)能力．
（三）情感與價(jià)值觀要求
在靈活應(yīng)用公式的過程中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和探索精神．
教學(xué)重點(diǎn) 完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、幾何解釋，靈活應(yīng)用．
教學(xué)難點(diǎn) 理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征并能靈活應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算．
教學(xué)方法
自主探索法
有了平方差公式的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，學(xué)生可以在教師引導(dǎo)下自主探索完全平方公式，最后達(dá)到靈活、準(zhǔn)確應(yīng)用公式的目的．
教具準(zhǔn)備 投影片．
教學(xué)過程
Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設(shè)情境
[師]請同學(xué)們探究下列問題：
（出示投影片）
一位老人非常喜歡孩子．每當(dāng)有孩子到他家做客時(shí)，老人都要拿出糖果招待他們．來一個(gè)孩子，老人就給這個(gè)孩子一塊糖，來兩個(gè)孩子，老人就給每個(gè)孩子兩塊塘，…
（1）第一天有a個(gè)男孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？
（2）第二天有b個(gè)女孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？
（3）第三天這（a+b）個(gè)孩子一起去看老人，老人一共給了這些孩子多少塊糖？
（4）這些孩子第三天得到的糖果數(shù)與前兩天他們得到的糖果總數(shù)哪個(gè)多？多多少？為什么？
[生]（1）第一天老人一共給了這些孩子a2糖．
（2）第二天老人一共給了這些孩子b2糖．
（3）第三天老人一共給了這些孩子（a+b）2糖．
（4）孩子們第三天得到的糖塊總數(shù)與前兩天他們得到的糖塊總數(shù)比較，應(yīng)用減法．即：
（a+b）2（a2+b2）
我們上一節(jié)學(xué)了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2，現(xiàn)在遇到了兩個(gè)數(shù)的和的平方，這倒是個(gè)新問題．
[師]老師很欣賞你的觀察力，這正是我們這節(jié)課要研究的問題．
Ⅱ．導(dǎo)入新課
[師]能不能將（a+b）2轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的知識(shí)去解決呢？
[生]可以．我們知道a2=a?a，所以（a+b）2=（a+b）（a+b），這樣就轉(zhuǎn)化成多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積了．
[師]像研究平方差公式一樣，我們探究一下（a+b）2的運(yùn)算結(jié)果有什么規(guī)律．
（出示投影片）
計(jì)算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；
（2）（m+2）2=_______；
（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；
（4）（m-2）2=________；
（5）（a+b）2=________；
（6）（a-b）2=________．
[生甲]（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+p+p+1=p2+2p+1
（2）（m+2）2=（m+2）（m+2）=m2+2m+m?2+2×2=m2+4m+4
（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=p2+p?（-1）+（-1）?p+（-1）×（-1）=p2-2p+1
（4）（m-2）2=（m-2）（m-2）=m2+m?（-2）+（-2）?m+（-2）×（-2）=m2-4m+4
（5）（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2
（6）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
[生乙]我還發(fā)現(xiàn)（1）結(jié)果中的2p=2?p?1，（2）結(jié)果中4m=2?m?2，（3）、（4）與（1）、（2）比較只有一次項(xiàng)有符號之差，（5）、（6）更具有一般性，我認(rèn)為它可以做公式用．
[師]大家分析得很好．可以用語言敘述嗎？
[生]兩數(shù)和（或差）的平方等于這兩數(shù)的平方和再加（或減）它們的積的2倍．
[生]它是一個(gè)完全平方的形式，能不能叫完全平方公式呢？
[師]很有道理．它和平方差公式一樣，使整式運(yùn)算簡便易行．于是我們得到完全平方公式：
文字?jǐn)⑹觯簝蓴?shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍．
符號敘述：（a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2
其實(shí)我們還可以從幾何角度去解釋完全平方差公式．
（出示投影片）
你能根據(jù)圖（1）和圖（2）中的面積說明完全平方公式嗎？

[生甲]先看圖（1），可以看出大正方形的邊長是a+b．
[生乙]還可以看出大正方形是由兩個(gè)小正方形和兩個(gè)矩形組成，所以大正方形的面積等于這四個(gè)圖形的面積之和．
[生丙]陰影部分的正方形邊長是a，所以它的面積是a2；另一個(gè)小正方形的邊長是b，所以它的面積是b2；另外兩個(gè)矩形的長都是a，寬都是b，所以每個(gè)矩形的面積都是ab；大正方形的邊長是a+b，其面積是（a+b）2．于是就可以得出：（a+b）2=a2+ab+b2．這正好符合完全平方公式．
[生丁]那么，我們可以用完全相同的方法來研究圖（2）的幾何意義了．
如圖（2）中，大正方形的邊長是a，它的面積是a2；矩形DCGE與矩形BCHF是全等圖形，長都是a，寬都是b，所以它們的面積都是a?b；正方形HCGM的邊長是b，其面積就是b2；正方形AFME的邊長是（a-b），所以它的面積是（a-b）2．從圖中可以看出正方形AEMF的面積等于正方形ABCD的面積減去兩個(gè)矩形DCGE和BCHF的面積再加上正方形HCGM的面積．也就是：（a-b）2=a2-2ab+b2．這也正好符合完全平方公式．
[師]數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活，于是我們可以進(jìn)一步理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征．現(xiàn)在，大家可以輕松解開課時(shí)提出的老人用糖招待孩子的問題了．
（a+b）2-（a2+b2）
=a2+2ab+b2-a2-b2=2ab．于是得孩子們第三天得到的糖果總數(shù)比前兩天他們得到的糖果總數(shù)多2ab塊．
應(yīng)用舉例：
出示投影片：
[例1]應(yīng)用完全平方公式計(jì)算：
（1）（4m+n）2 （2）（y- ）2
（3）（-a-b）2 （4）（b-a）2
[例2]運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：
（1）1022 （2）992
分析：利用完全平方公式計(jì)算，第一步先選擇公式；第二步準(zhǔn)確代入公式；第三步化簡．
[例1]解：
（1）（4m+n）2=（4m）2+2?4m?n+n2
（a+b）2=a2+2?a?b+b2
=16m2+8mn+n2
（2）方法一：
（y- ）2=y2-2?y? +（ ）2
（a-b）2=a2-2?a?b+b2
=y2-y+
方法二：（y- ）2
=[y+（- ）]2=y2+2?y?（- ）+（- ）2
（a+b）2=a2+2?a?b+b2
=y2-y+
（3）（-a-b）2=（-a）2-2?（-a）?b+b2=a2+2ab+b2
（4）（b-a）2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2
從（3）、（4）的計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)：
（a+b）2=（-a-b）2，（a-b）2=（b-a）2
[例2]解：（1）1022=（100+2）2
=1002+2×100×2+22
=10000+400+4
=10404．
（2）992=（100-1）2
=1002-2×100×1+12
=10000-200+1
=9801．
[師]請同學(xué)們總結(jié)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征．
[生]公式的左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方；右邊是三項(xiàng)，其中有兩項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方．而另一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍．
[師]說得很好，我們還要正確理解公式中字母的廣泛含義：它可以是數(shù)字、字母或其他代數(shù)式，只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以運(yùn)用這一公式．
Ⅲ．隨堂練習(xí)
課本練習(xí)1、2．
Ⅳ．課堂小結(jié)（略）
Ⅴ．課后作業(yè)
課本習(xí)題2、4、7題．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/chuer/76061.html

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