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兩個相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)邊之比稱為它們的相似比，可以想到這兩個相似三角形中其他一些對應(yīng)元素也與相似比有一定的關(guān)系．
1．相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；
2．相似三角形周長之比等于相似比；
3．相似三角形面積之比等于相似比的平方．
以上諸多相似三角形的性質(zhì)，豐富了與角、面積等相關(guān)的知識方法，開闊了研究角、面積等問題的視野．

例題求解
【例1】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC(AD(浙江省紹興市中考題)

思路點(diǎn)撥只需求的值，而題設(shè)條件與面積相關(guān)，應(yīng)求出的值，注意圖形中隱含的豐富的面積關(guān)系．
注相似三角形的性質(zhì)及比例線段的性質(zhì)，在生產(chǎn)、生活中有廣泛的應(yīng)用．
人類第一次運(yùn)用相似原理進(jìn)行測量，是2000多年前泰勒斯測金字塔的高度，泰勒斯是古希臘著名學(xué)者，有“科學(xué)之父”的美稱．他把邏輯論證引進(jìn)了數(shù)學(xué)，確保了數(shù)學(xué)命題的正確
性．使具有不可動搖的說明力．
【例2】如圖，在平行四邊形ABCD中．E為CD上一點(diǎn)，DE：CE=2：3，連結(jié)AE、BE、BD，且AE、BD交于點(diǎn) F，則S△DEF：S△EBF ：S△ABF=( )
A．4：10：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．2：5：25
(黑龍江省中考題)

思路點(diǎn)撥運(yùn)用與面積相關(guān)知識，把面積比轉(zhuǎn)化為線段比．
【例3】如圖，有一批形狀大小相同的不銹鋼片，呈直角三角形，已知∠C=90°，AB=5cm，BC=3?，試設(shè)計(jì)一種方案，用這批不銹鋼片裁出面積達(dá)最大的正方形不銹鋼片，并求出這種正方形不銹鋼片的邊長．

思路點(diǎn)撥要在三角形內(nèi)裁出面積最大的正方形，那么這正方形所有頂點(diǎn)應(yīng)落在△ABC的邊上，先畫出不同方案，把每種方案中的正方形邊長求出．
注本例是一道有實(shí)際應(yīng)用背景的開放性題型，通過分析、推理、構(gòu)思可能的方案，再通過比較、鑒別、篩選出最佳的設(shè)計(jì)方案，問題雖簡單，但基本呈現(xiàn)了現(xiàn)實(shí)的生產(chǎn)中產(chǎn)生最佳設(shè)計(jì)方案的基本思路．
【例4】如圖．在△ABC的內(nèi)部選取一點(diǎn)P，過P點(diǎn)作3條分別與△ABC的三邊平行的直線，這樣所得的3個三角形、、的面積分別為4、9和49，求△ABC的面積．
(美國數(shù)學(xué)邀請賽試題)

思路點(diǎn)拔圖中有相似三角形、平行四邊形，通過相似三角形性質(zhì)建立面積關(guān)系式，關(guān)鍵是恰當(dāng)選擇相似比，注意等線段的代換．追求形式上的統(tǒng)一．
【例5】如圖，△ABC中．D、E分別是邊 BC、AB上的點(diǎn)，且∠l＝∠2=∠3，如果△ABC、△EBD、△ADC的周長依次是、m1、m2，證明：．
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

思路點(diǎn)撥把周長的比用相應(yīng)線段比表示，力求統(tǒng)一，得到同?線段比的代數(shù)式，通過代數(shù)變形證明．
注例4還隱舍著下列重要結(jié)論：
(1)△FDP∽△IPE∽△PHG∽△ABC；
(2) ；
(3) ．
學(xué)力訓(xùn)練
1．如圖，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若S△DOE：S△COB=9：16，則AD：DB= ．
2．如圖，把正方形ABCD沿著對角線AC的方向移動到正方形A'B'C'D'的位置，它們的重疊部分(圖中的陰影部分)的面積是正方形ABCD面積的一半，若AC= ，則正方形移動的距離AA'是． (江西省中考題)

3．若正方形的4個頂點(diǎn)分別在直角三角形的3條邊上，直角三角形的兩直角邊的長分別為3cm和4cm，則此正方形的邊長為． (武漢市中考題)
4．閱讀下面的短文，并解答下列問題：
我們把相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同．就把它們叫做相似體．
如圖，甲、乙是兩個不同的正方體，正方體都是相似體，它們的一切對應(yīng)線段之比都等于相似比：a：b，設(shè)S甲：S乙分別表示這兩個正方體的表面積，則，又設(shè)V甲、V乙分別表示這兩個正方體的體積，則．
(1)下列幾何體中，一定屬于相似體的是( )
A．兩個球體 B．兩個圓錐體 C．兩個圓柱體 D．兩個長方體
(2)請歸納出相似體的3條主要性質(zhì)：
①相似體的一切對應(yīng)線段(或弧)長的比等于；
②相似體表面積的比等于；
③相似體體積的比等于． (江蘇省泰州市中考題)
5．如圖，一張矩形報(bào)紙ABCD的長AB=acm，寬BC=b?，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，將這張報(bào)紙沿著直線EF對折后，矩形AEFD的長與寬之比等于矩形ABCD的長與寬之比，則a：b于( )
A．：1 B．1： C．：1 D．1： (2004年南京市中考題)

6．如圖，D為△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，∠DBC=∠A，已知BC= ，△BCD與△ABC的面積的比是2：3，則CD的長是( )
A． B． C． D．
7．如圖，在正三角形ABC中，D、E分別在AC、AB上，且，AE=BE，則有( )
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
(2001年杭州市中考題)
8．如圖，已知△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：FD：FB=1：2：3，則S△ADE：S四邊形DFGE：S四邊形FBCG等于( )
A．1：9：36 B．l：4：9 C．1：8：27 D．1：8：36
9．如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ACD=∠B，求證：．

10．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)B作BE⊥CD于E，連結(jié)AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且∠BFE=∠C．
(1)求證：△ABF∽△EAD；
(2)若AB=4，∠BAE=30°，求AE的長；
(3)在(1)、(2)的條件下，若AD=3，求BF的長． (2003年長沙市中考題)
11．如圖，在△ABC中，AB＝5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P點(diǎn)在AC上(與點(diǎn)A、C不重合)，Q點(diǎn)在BC上．
(1)當(dāng)△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時，求CP的長；
(2)當(dāng)△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長；
(3)試問：在AB上是否存在點(diǎn)M，使得△PQM為等腰直角三角形?若不存在，請簡要說明理由，若存在，請求出PQ的長． (廈門市中考題)

12．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝，BC=2，在BC上有100個不同的點(diǎn)Pl、P2、…P100，過這100個點(diǎn)分別作△ABC的內(nèi)接矩形P1E1F1G1，P2E2F2G2…P100E100F100G100，設(shè)每個內(nèi)接矩形的周長分別為L1、L2，…L100，則L1+L2+…+L100= ． (安徽省競賽題)
13．如圖，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，若△ADE、△EFG、△GIC的面積分別為20cm2、45cm2、80cm2，則△ABC的面積為．

14．如圖，一個邊長為3、4、5厘米的直角三角形的一個頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)B重合，另兩個頂點(diǎn)分別在正方形的兩條邊AD、DC上，那么這個正方形的面積是厘米2．
( “希望杯”邀請賽試題)
15．如圖，正方形ABCD中，AE＝EF=FB，BG= 2CG，DE，DF分別交AG于P、Q，以下說法中，不正確的是( )
A．AG⊥FD B．AQ：QG＝6，7
C．EP ：PD=2 ： 11 D．S四邊形GCDQ：S四邊形BGQF=17：9 (2002年重慶市競賽題)
16．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD=3AB，EF∥CD，EF將梯形ABCD分成面積相等的兩部分，則AE：ED等于( )
A．2 B． C． D．

17．如圖，正方形OPQR內(nèi)接于△ABC，已知△AOR、△BOP和△CRQ的面積分別是S1=1，S2=3和S3=1，那么正方形OPQR的邊長是( )
A． B． C．2 D．3
18．在一塊銳角三角形的余料上，加工成正方形零件，使正方形的4個頂點(diǎn)都在三角形邊上，若三角形的三邊長分別為 a、b、c，且a＞b＞c d，問正方形的2個頂點(diǎn)放在哪條邊上可使加工出來的正方形零件面積最大?

19．如圖，△PQR和△P′Q′R′，是兩個全等的等邊三角形，它們的重疊部分是一個六邊形ABCDEF，設(shè)這個六邊形的邊長為AB= a1，BC =b1，CD= a2，DE= b2，EF= a3，F(xiàn)A =b3 ．求證：a1 +a2 +a3= b1+ b2 +b3．
20．如圖，在△ABC中，AB=4，D在AB邊上移動(不與A、B重合)，DE∥BC交AC于E，連結(jié)CD，設(shè)S△ABC= S，S△DEC=S1．
(1)當(dāng)D為AB中點(diǎn)時，求的值；
(2)若AD= x，，求與x之間的關(guān)系式，并指出x的取值范圍；
(3)是否存在點(diǎn)D，使得成立?若存在，求出D點(diǎn)位置；若不存在，請說明理由．
(福州市中考題)
21．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，按以下要求解答問題：
(1)將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動，兩直角邊分別與邊OA，OB交于點(diǎn)C，D．
①在圖甲中，證明：PC=PD；
②在圖乙中，點(diǎn)G是CD與OP的交點(diǎn)，且PG= PD，求△POD與△PDG的面積之比．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/chuer/76183.html

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相似三角形的性質(zhì)

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