2018-2019學年山東省濟南市市中區(qū)八年級（下）期末數學試卷
一、選擇題（本大題共15個小題，每小題3分，共45分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1．（3分）若a＞b，則下列各式中一定成立的是（ ）
A．a+2＜b+2 B．a?2＜b?2 C． ＞ D．?2a＞?2b
2．（3分）下面式子從左邊到右邊的變形是因式分解的是（ �。�
A．x2?x?2=x（x?1）?2 B．x2?4x+4=（x?2）2
C．（ x+1）（x?1）=x2?1 D．x?1=x（1? ）
3．（3分）下列所給圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（ �。�
A． B． C． D．
4．（3分）多項式x2?1與多項式x2?2x+1的公因式是（ ）
A．x?1 B．x+1 C．x2?1 D．（x?1）2
5．（3分）已知一個多邊形的內角和是360°，則這個多邊形是（ �。�
A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形
6．（3分）下列多項式能用完全平方公式分解因式的有（ �。�
A．m2?mn+n2 B．x2+4x?4 C．x2?4x+4 D．4x2?4x+4
7．（3分）如圖，將一個含30°角的直角三角板ABC繞點A旋轉，得點B，A，C′，在同一條直線上，則旋轉角∠BAB′的度數是（ �。�
A．60° B．90° C．120° D．150°
8．（3分）運用分式的性質，下列計算正確的是（ �。�
A． =x4 B． =?1 C． = D． =0
9．（3分）如圖，若平行四邊形ABCD的周長為40cm，BC= AB，則BC=（ ）
A．16cm B．14cm C．12cm D．8cm
10．（3分）若分式方程 有增根，則m等于（ �。�
A．3 B．?3 C．2 D．?2
11．（3分）如圖，△ABC中，AB=AC=15，AD平分∠BAC，點E為AC的中點，連接DE，若△CDE的周長為24，則BC的長為（ ）
A．18 B．14 C．12 D．6
12．（3分）如圖，已知直線y1=x+m與y2=kx?1相交于點P（?1，2），則關于x的不等式x+m＜kx?1的解集在數軸上表示正確的是（ �。�
A． B． C． D．
13．（3分）如圖，在菱形ABCD 中，對角線AC、BD 相交于點O，BD=8，BC=5，AE⊥BC 于點E，則AE的長等于（ �。�
A．5 B． C． D．
14．（3分）定義新運算“?”如下：當a＞b時，a?b=ab+b；當a＜b時，a?b=ab?b，若3?（x+2）＞0，則x的取值范圍是（ �。�
A．?1＜x＜1或x＜?2 B．x＜?2或1＜x＜2 C．?2＜x＜1或x＞1 D．x＜?2或x＞2
15．（3分）在平面直角坐標系xOy中，有一個等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角邊AO在x軸上，且AO=1．將Rt△AOB繞原點O順時針旋轉90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再將Rt△A1OB1繞原點O順時針旋轉90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此規(guī)律，得到等腰直角三角形A2017OB2017．則點B2017的坐標（ �。�
A．（22017，?22017） B．（22018，?22018） C．（22017，22017） D．（22018，22018）
二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）
16．（3分）分式 有意義的x的取值范圍為 �。�
17．（3分）若m=2，則m2?4m+4的值是 �。�
18．（3分）如圖，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分線上一點，CP∥OB，交OA于點C，PD⊥OB，垂足為點D，且PC=4，則PD等于 �。�
19．（3分）不等式組 （m≠4）的解集是x＞4，那么m的取值范圍是 ．
20．（3分）如圖，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，將△ABC沿射線BC方向平移2個單位后得到△DEF，連接DC，則DC的長為 �。�
21．（3分）如圖，正方形ABCD中，AB=6，點E在邊CD上，且CD=3DE，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF，下列結論：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S△EFC= ．其中正確結論的是 �。ㄖ惶钚蛱枺�
三、解答題（本大題共7個小題，共57分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
22．（7分）（1）分解因式：ax2?ay2．
（2）解不等式組 ，并把不等式組的解集在數軸上表示出來．
23．（7分）（1）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F分別在AB，CD上，AE=CF，求證：DE=BF．
（2）先化簡，再求值：（ ? ）÷ ，其中a=6．
24．（8分）在平面直角坐標系中，△ABC的位置如圖所示（每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形）．
（1）將△ABC沿X軸方向向左平移6個單位，畫出平移后得到的△A1B1C1．
（2）將△ABC繞著點A順時針旋轉90°，畫出旋轉后得到的△AB2C2．
（3）直接寫出點A2、C2的坐標．
25．（8分）某商店購進甲、乙兩種商品，已知每件甲種商品的價格比每件乙種商品的價格貴10元，用350元購買甲種商品的件數恰好與用300元購買乙種商品的件數相同．
（1）求甲、乙兩種商品每件的價格各是多少元？
（2）計劃購買這兩種商品共50件，且投入的經費不超過3200元，那么，最多可購買多少件甲種商品？
26．（9分）探索發(fā)現： =1? ； = ? ； = ? …
根據你發(fā)現的規(guī)律，回答下列問題：
（1） = ， = ；
（2）利用你發(fā)現的規(guī)律計算： + + +…+
（3）靈活利用規(guī)律解方程： + +…+ = ．
27．（9分）如圖1，已知四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于點E，以點E為頂點作正方形EFGH．
（1）如圖1，點A、D分別在EH和EF上，連接BH、AF，直接寫出BH和AF的數量關系：
（2）將正方形EFGH繞點E順時針方向旋轉
①如圖2，判斷BH和AF的數量關系，并說明理由；
②如果四邊形ABDH是平行四邊形，請在備用圖中補全圖形；如果四方形ABCD的邊長為 ，求正方形EFGH的邊長．
28．（9分）如圖，矩形ABCO中，點C在x軸上，點A在y軸上，點B的坐標是（?6，8）．矩形ABCO沿直線BD折疊，使得點A落在對角線OB上的點E處，折痕與OA、x軸分別交于點D、F．
（1）直接寫出線段BO的長：
（2）求點D的坐標；
（3）若點N是平面內任一點，在x軸上是否存在點M，使咀M、N、E、O為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出滿足條件的 點M的坐標；若不存在，請說明理由．
2018-2019學年山東省濟南市市中區(qū)八年級（下）期末數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共15個小題，每小題3分，共45分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1．（3分）若a＞b，則下列各式中一定成立的是（ �。�
A．a+2＜b+2 B．a?2＜b?2 C． ＞ D．?2a＞?2b
【解答】解：（A）a+2＞b+2，故A錯誤；
（B）a?2＞b?2，故B錯誤；
（D）?2a＜?2b，故D錯誤；
故選：C．
2．（3分）下面式子從左邊到右邊的變形是因式分解的是（ �。�
A．x2?x?2=x（x?1）?2 B．x2?4x+4=（x?2）2
C．（x+1）（x?1）=x2?1 D．x?1=x（1? ）
【解答】解：A、沒把多項式轉化成幾個整式積的形式，故A不符合題意；
B、把多項式轉化成幾個整式積的形式，故B符合題意；
C、是整式的乘法，故C不符合題意；
D、沒把多項式轉化成幾個整式積的形式，故D不符合題意；
故選：B．
3．（3分）下列所給圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（ �。�
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項錯誤；
B、不是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；
C、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；
D、是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項正確．
故選：D．
4．（3分）多項式x2?1與多項式x2?2x+1的公因式是（ �。�
A．x?1 B．x+1 C．x2?1 D．（x?1）2
【解答】解：∵x2?1=（x+1）（x?1），
x2?2x+1=（x?1）2，
∴多項式x2?1與多項式x2?2x+1的公因式是：x?1．
故選：A．
5．（3分）已知一個多邊形的內角和是360°，則這個多邊形是（ ）
A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形
【解答】解：設這個多邊形的邊數為n，
則有（n?2）180°=360°，
解得：n=4，
故這個多邊形是四邊形．
故選：A．
6．（3分）下列多項式能用完全平方公式分解因式的有（ �。�
A．m2?mn+n2 B．x2+4x?4 C．x2?4x+4 D．4x2?4x+4
【解答】解：A、m2?mn+n2不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特點；
B、x2+4x?4不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特 點；
C、x2?4x+4能用完全平方公式分解因式；
D、4x2?4x+4不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特點．
故選：C．
7．（3分）如圖，將一個含30°角的直角三角板ABC繞點A旋轉，得點B，A，C′，在同一條直線上，則旋轉角∠BAB′的度數是（ �。�
A．60° B．90° C．120° D．150°
【解答】解：旋轉角是∠BAB′=180°?30°=150°．
故選：D．
8．（3分）運用分式的性質，下列計算正確的是（ �。�
A． =x4 B． =?1 C． = D． =0
【解答】解：A、 =x4，所以A選項計算正確；
B、 為最簡分式，所以B選項的計算錯誤；
C、 為最簡分式，所以C選項的計算錯誤；
D、 =1，所以D選項的計算錯誤；
故選：A．
9．（3分）如圖，若平行四邊形ABCD的周長為40cm，BC= AB，則BC=（ �。�
A．16cm B．14cm C．12cm D．8cm
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AB=CD，
∵▱ABCD的周長為40cm，
∴AB+BC=20cm，
∵BC= AB，
∴BC=20× =8 cm，
故選：D．
10．（3分）若分式方程 有增根，則m等于（ ）
A．3 B．?3 C．2 D．?2
【解答】解：分式方程去分母得：x?3=m，
由分式方程有增根，得到x?1=0，即x=1，
把x=1代入整式方程得：m=?2，
故選：D．
11．（3分）如圖，△ABC中，AB=AC=15，AD平分∠BAC，點E為AC的中點，連接DE，若△CDE的周長為24，則BC的長為（ ）
A．18 B．14 C．12 D．6
【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵點E為AC的中點，
∴DE=CE= AC= ．
∵△CDE的周長為24，
∴CD=9，
∴BC=2CD=18．
故選：A．
12．（3分）如圖，已知直線y1=x+m與y2=kx?1相交于點P（?1，2），則關于x的不等式x+m＜kx?1的解集在數軸上表示正確的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根據圖象得，當x＜?1時，x+m＜kx?1．
故選：D．
13．（3分）如圖，在菱形ABCD 中，對角線AC、BD 相交于點O，BD=8，BC=5， AE⊥BC 于點E，則AE的長等于（ �。�
A．5 B． C． D．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，BD=8，
∴BO=DO=4，∠BOC=90°，
在Rt△OBC中，OC= = =3，
∴AC=2OC=6，
∴AE×BC=BO×AC
故5AE=24，
解得：AE= ．
故選：C．
14．（3分）定義新運算“?”如下：當a＞b時，a?b=ab+b；當a＜b時，a?b=ab?b，若3?（x+2）＞0，則x的取值范圍是（ �。�
A．?1＜x＜1或x＜?2 B．x＜?2或1＜x＜2 C．?2＜x＜1或x＞1 D．x＜?2或x＞2
【解答】解：當3＞x+2，即x＜1時，3（x+2）+x+2＞0，
解得：x＞?2，
∴?2＜x＜1；
當3＜x+2，即x＞1時，3（x+2）?（x+2）＞0，
解得：x＞?2，
∴x＞1，
綜上，?2＜x＜1或x＞1，
故選：C．
15．（3分）在平面直角坐標系xOy中，有一個等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角邊AO在x軸上，且AO=1．將Rt△AOB繞原點O順時針旋轉90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再將Rt△A1OB1繞原點O順時針旋轉90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此規(guī)律，得到等腰直角三角形A2017OB2017．則點B2017的坐標（ �。�
A．（22017，?22017） B．（22018，?22018） C．（22017，22017） D．（22018，22018）
【解答】解：∵△AOB是等腰直角三角形，OA=1，
∴AB=OA=1，
∴B（1，1），
將Rt△AOB繞原點O順時針旋轉90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，
再將Rt△A1OB1繞原點O順時針旋轉90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此規(guī)律，
∴每4次循環(huán)一周，B1（2，?2），B2（?4，?4），B3（?8，8），B4（16，16），
∵2017÷4=503…1，
∴點B2017與B2同在一個象限內，
∵?4=?22，8=23，16=24，
∴點B2017（22017，?22017）．
故選：A．
二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）
16．（3分）分式 有意義的x的取值范圍為 x≠1�。�
【解答】解：當分母x?1≠0，即x≠1時，分式 有意義．
故答案是：x≠1．
17．（3分） 若m=2，則m2?4m+4的值是 0�。�
【解答】解：當m=2時，原式=4?8+4=0，
故答案為：0
18．（3分）如圖，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分線上一點，CP∥OB，交OA于點C，PD⊥OB，垂足為點D，且PC=4，則PD等于 2�。�
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵CP∥OB，
∴∠OPC=∠POD，
∵P是∠AOB平分線上一點，
∴∠POA=∠POD=15°，
∴∠ACP=∠OPC+∠POA=30°，
∴PE= PC=2，
∵P是∠AOB平分線上一點，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD=PE=2，
故答案為：2．
19．（3分）不等式組 （m≠4）的解集是x＞4，那么m的取值范圍是 m＜4 ．
【解答】解：不等式組 的解集是x＞4，
得m≤4（m≠4），
∴m＜4，
故答案為：m＜4．
20．（3分）如圖，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，將△ABC沿射線BC方向平移2個單位后得到△DEF，連接DC，則DC的長為 4�。�
【解答】解：∵△ABC沿射線BC方向平移2個單位后得到△DEF，
∴DE=AB=4 ，BC?BE=6?2=4，
∵∠B=∠DEC=60°，
∴△DEC是等邊三角形，
∴DC=4，
故答案為：4．
21．（3分）如圖，正方形ABCD中，AB=6，點E在邊CD上，且CD=3DE，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF，下列結論：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S△EFC= ．其中正確結論的是�、佗冖邰堋。ㄖ惶钚蛱枺�
【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC=6，∠B=D=90°，
∵CD=3DE，
∴DE=2，
∵△ADE沿AE折疊得到△AFE，
∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG =90°，
∴AF=AB，
∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正確；
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG=FG，∠AGB=∠AGF，
設BG=x，則CG=BC?BG=6?x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，
在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2，
∵CG=6?x，CE=4，EG=x+2
∴（6?x）2+42=（x+2）2
解得：x=3，
∴BG=GF=CG=3，∴②正確；
∵CG=GF，
∴∠CFG=∠FCG，
∵∠BGF=∠CFG+∠FCG，
又∵∠BGF=∠AGB+∠AGF，
∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF，
∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG，
∴∠AGB=∠FCG
∴AG∥CF，∴③正確；
∵ = = ，
∴S△EFC= × •3×4= ，∴④正確，
故答案為①②③④．
三、解答題（本大題共7個小題，共57分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
22．（7分）（1）分解因式：ax2?ay2．
（2）解不等式組 ，并把不等式組的解集在數軸上表示出來．
【解答】解：（1）原式=a（x2?y2）=a（x+y）（x?y）；
（2）由①解得x＜2，
由②解得x≥?2，
不等式組 的解集在數軸上表示如圖
；
不等式組的解集為?2≤x＜2．
23．（7分）（1）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F分別在AB，CD上，AE=CF，求證：DE=BF．
（2）先化簡，再求值：（ ? ）÷ ，其中a=6．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，CD=AB，
∵AE=CF，
∴DF=EB，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∴DE=BF．
（2）解：原式= ×（a?2）=? ，
當a=6時，原式=?1．
24．（8分）在平面直角坐標系中，△ABC的位置如圖所示（每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形）．
（1）將△ABC沿X軸方向向左平移6個單位，畫出平移后得到的△A1B1C1．
（2）將△ABC繞著點A順時針旋轉90°，畫出旋轉后得到的△AB2C2．
（3）直接寫出點A2、C2的坐標．
【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；
（2）如圖所示，△AB2C2即為所求；
（3）由以上作圖知，A2的坐標為（1，1）、C2的坐標為（1，?3）．
25．（8分）某商店購進甲、乙兩種商品，已知每件甲種商品的價格比每件乙種商品的價格貴10元，用350元購買甲種商品的件數恰好與用300元購買乙種商品的件數相同．
（1）求甲、乙兩種商品每件的價格各是多少元？
（2）計劃購買這兩種商品共50件，且投入的經費不超過3200元，那么，最多可購買多少件甲種商品？
【解答】解：（1）設每件乙種商品的價格為x元，則每件甲種商品的價格為（x+10）元，
根據題意得： = ，
解得：x=60，
經檢驗，x=60是原方程的解，
∴x+10=70．
答：每件乙種商品的價格為60元，每件甲種商品的價格為70元．
（2）設購買y件甲種商品，則購買（50?y）件乙種商品，
根據題意得：70y+60（50?y）≤3200，
解得：x≤20．
答：最多可購買20件甲種商品．
26．（9分）探索發(fā)現： =1? ； = ? ； = ? …
根據你發(fā)現的規(guī)律， 回答下列問題：
（1） = ? ， = ? ；
（2）利用你發(fā)現的規(guī)律計算： + + +…+
（3）靈活利用規(guī)律解方程： + +…+ = ．
【解答】解：（1） = ? ， = ? ；
（2）原式=1? + ? + ? +…+ ? =1? = ；
（3） （ ? + ? +…+ ? ）= ，
（ ? ）=
? = ，
= ，
解得x=50，
經檢驗，x=50為原方程的根．
故答案為 ? ， ? ．
27．（9分）如圖1，已知四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于點E，以點E為頂點作正方形EFGH．
（1）如圖1，點A、D分別在EH和EF上，連接BH、AF，直接寫出BH和AF的數量關系：
（2）將正方形EFGH繞點E順時針方向旋轉
①如圖2，判斷BH和AF的數量關系，并說明理由；
②如果四邊形ABDH是平行四邊形，請在備用圖中補全圖形；如果四方形ABCD的邊長為 ，求正方形EFGH的邊長．
【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AE=B E，∠BEH=∠AEF=90°，
∵四邊形EFGH是正方形，
∴EF=EH，
∵在△BEH和△AEF中，
，
∴△BEH≌△AEF（SAS） ，
∴BH=AF；
（2）①BH=AF，
理由：連接EG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AE=BE，∠BEA=90°，
∵四邊形EFGH是正方形，
∴EF=EH，∠HEF=90°，
∴∠BEA+∠AEH=∠HEF+∠AEH，
即∠BEH=∠AEF，
在△BEH與△AEF中， ，
∴△BEH≌△AEF，
∴BH=AF；
②如備用圖，∵四邊形ABDH是平行四邊形，
∴AH∥BD，AH=BD，
∴∠EAH=∠AEB=90°，
∵四方形ABCD的邊長為 ，
∴AE=BE=CE=DE=1，
∴EH= = = ，
∴正方形EFGH的邊長為 ．
28．（9分）如圖，矩形ABCO中，點C在x軸上，點A在y軸上，點B的坐標是（?6，8）．矩形ABCO沿直線BD折疊，使得點A落在對角線OB上的點E處，折痕與OA、x軸分別交于點D、F．
（1）直接寫出線段BO的長：
（2）求點D的坐標；
（3）若點N是平面內任一點，在x軸上是否存在點M，使咀M、N、E、O為頂點的四邊形是菱形 ？若存在，請直接寫出滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCO是矩形，點B的坐標是（?6，8）．
∴∠BAD=∠OCB=90°，AB=OC=6，OA=BC=8，
∴BO= =10；
（2）由折疊的性質得：BE=AB=6，∠BED=∠BAD=90°，DE=AD，
∴OE=BO?BE=10?6=4，∠OED=90°，
設D（0，a），則OD=a，DE=AD=OA?OD=8?a，
在Rt△EOD中，由勾股定理得：DE2+OE2=OD2，
即（8?a）2+42=a2，解得：a=5，
∴D（0，5）；
（3）存在，點M的坐標為（4，0）或（?4，0）或（? ，0）或（? ，0）；理由如下：
①當OM、OE都為菱形的邊時，OM=OE=4，
∴M的坐標為（4，0）或（?4，0）；
②當OM為菱形的邊，OE為對角線時，MN垂直平分OE，垂足為G，如圖1所示：
則OG= OE=2，
則cos∠MOG=cos∠BOC，
∴ ，即 ，
解得：OM= ，
∴M（? ，0）；
③當OM為菱形的對角線，OE為邊時，如圖2所示：
同②得：M（? ，0）；
綜上所述，在x軸上存在點M，使以M、N、E、O為頂點的四邊形是菱形，點M的坐標為（4，0）或（?4，0）或（? ，0）或（? ，0）．
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