一．等差數(shù)列的傳奇故事
高斯是德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家，被譽為歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名。高斯7歲那年，父親送他進(jìn)了耶卡捷林寧國民小學(xué)，讀書不久，高斯在數(shù)學(xué)上就顯露出了常人難以比較的天賦，最能證明這一點的是高斯十歲那年，教師彪特耐爾布置了一道很繁雜的計算題，要求學(xué)生把1到 100的所有整數(shù)加起來，教師剛敘述完題目，高斯即刻把寫著答案的小石板交了上去。彪特耐爾起初并不在意這一舉動，心想這個小家伙又在搗亂，但當(dāng)他發(fā)現(xiàn)全班唯一正確的答案屬于高斯時，才大吃一驚。而更使人吃驚的是高斯的算法，他發(fā)現(xiàn)：第一個數(shù)加最后一個數(shù)是101，第二個數(shù)加倒數(shù)第二個數(shù)的和也是101，……共有50對這樣的數(shù)，用101乘以50得到5050。這種算法是教師未曾教過的計算等級數(shù)的方法，高斯的才華使彪特耐爾十分激動，下課后特地向校長匯報，并聲稱自己已經(jīng)沒有什么可教高斯的了。相信現(xiàn)在學(xué)習(xí)等差數(shù)列的同學(xué)肯定都聽過高斯的故事，也都希望自己將來在這方面有所作為。
二．等差數(shù)列的性質(zhì)
1.公差為d的等差數(shù)列，各項同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差仍為d．
2.公差為d的等差數(shù)列，各項同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd．
3.若{an}{bn}為等差數(shù)列，則{ an ±bn }與{kan ＋bn}(k、b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列．
4.對任何m、n ，在等差數(shù)列中有：an = am + (n－m)d（m、n∈N+)，特別地，當(dāng)m = 1時，便得等差數(shù)列的通項公式，此式較等差數(shù)列的通項公式更具有一般性．
5.一般地，當(dāng)m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）時，am+an=ap+aq .
6.公差為d的等差數(shù)列，從中取出等距離的項，構(gòu)成一個新數(shù)列，此數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd( k為取出項數(shù)之差)．
7.下表成等差數(shù)列且公差為m的項ak.ak+m.ak+2m.....(k,m∈N+）組成公差為md的等差數(shù)列。
8.在等差數(shù)列中，從第二項起，每一項(有窮數(shù)列末項除外)都是它前后兩項的等差中項．
9.當(dāng)公差d＞0時，等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的增大而增大；當(dāng)d＜0時，等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的減少而減小；d＝0時，等差數(shù)列中的數(shù)等于一個常數(shù)．
QQ截圖20150130134635.jpg
三．等差數(shù)列的公式
如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。
1.等差數(shù)列的通項公式為： an=a1+(n-1)d (1)
2.前n項和公式為： Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)
以上n均屬于正整數(shù) 從1式可以看出，an是n的一次數(shù)函(d≠0)或常數(shù)函數(shù)(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由2式知，Sn是n的二次函數(shù)(d≠0)或一次函數(shù)(d=0，a1≠0)，且常數(shù)項為0。
在等差數(shù)列中，等差中項：一般設(shè)為Ar，Am+An=2Ar,所以Ar為Am，An的等差中項。 且任意兩項am，an的關(guān)系為： an=am+(n-m)d 它可以看作等差數(shù)列廣義的通項公式。
從等差數(shù)列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n} 若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有 am+an=ap+aq Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1 Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差數(shù)列，等等。
和＝（首項＋末項）×項數(shù)÷2 項數(shù)＝（末項-首項）÷公差＋1 首項=2和÷項數(shù)-末項 末項=2和÷項數(shù)-首項 末項=首項+（項數(shù)-1）×公差 等差數(shù)列的應(yīng)用：
日常生活中，人們常常用到等差數(shù)列如：在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級別 時，當(dāng)其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數(shù)列進(jìn)行分級。
若為等差數(shù)列，且有an=m,am=n.則a(m+n)＝0。
等差數(shù)列是一個神奇的數(shù)學(xué)問題，當(dāng)你深入到其中的時候，就會被它獨特的數(shù)學(xué)魅力所傾倒，沉浸在其中無法自拔，這也許就是很多數(shù)學(xué)家之所以能取得巨大成就的原因之一，不知道你有沒有被等差數(shù)列這個深邃的問題所傾倒呢？
本文來自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/gaozhong/348588.html
相關(guān)閱讀：《2.3 等差數(shù)列的前n項和》測試題