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教案 全稱量詞與存在量詞

教學(xué)目標(biāo)：利用日常生活中的例子和數(shù)學(xué)的命題介紹對量詞命題的否定，使進(jìn)一步理解全稱量詞、存在量詞的作用.

教學(xué)重點(diǎn)：全稱量詞與存在量詞命題間的轉(zhuǎn)化;

教學(xué)難點(diǎn)：隱蔽性否定命題的確定;

課 型：新授課

教學(xué)手段：多媒體

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境

數(shù)學(xué)命題中出現(xiàn)“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一個”等與“存在著”、“有”、“有些”、“某個”、“至少有一個”等的詞語，在邏輯中分別稱為全稱量詞與存在性量詞(用符號分別記為“ ”與“ ”來表示);由這樣的量詞構(gòu)成的命題分別稱為全稱命題與存在性命題。在全稱命題與存在性命題的邏輯關(guān)系中， 都容易判斷，但它們的否定形式是我們困惑的癥結(jié)所在。

二、活動嘗試

問題1：指出下列命題的形式，寫出下列命題的否定。

(1)所有的矩形都是平行四邊形;

(2)每一個素數(shù)都是奇數(shù);

(3)xR，x2-2x+1≥0

分析：(1) ，否定：存在一個矩形不是平行四邊形;

(2) ，否定：存在一個素數(shù)不是奇數(shù);

(3) ，否定：xR，x2-2x+1<0;

這些命題和它們的否定在形式上有什么變化?

結(jié)論：從命題形式上看，這三個全稱命題的否定都變成了存在性命題.

三、師生探究

問題2：寫出命題的否定

(1)p：$ x∈R，x2+2x+2≤0;

(2)p：有的三角形是等邊三角形;

(3)p：有些函數(shù)沒有反函數(shù);

(4)p：存在一個四邊形，它的對角線互相垂直且平分;

分析：(1) xR，x2+2x+2>0;

(2)任何三角形都不是等邊三角形;

(3)任何函數(shù)都有反函數(shù);

(4)對于所有的四邊形，它的對角線不可能互相垂直或平分;

從集合的運(yùn)算觀點(diǎn)剖析： ,

四、數(shù)學(xué)理論

1.全稱命題、存在性命題的否定

一般地，全稱命題P： xM,有P(x)成立;其否定命題┓P為：x∈M,使P(x)不成立。存在性命題P：xM，使P(x)成立;其否定命題┓P為： xM,有P(x)不成立。

用符號語言表示：

P:M, p(x)否定為 P: M,  P(x)

P:M, p(x)否定為 P: M,  P(x)

在具體操作中就是從命題P把全稱性的量詞改成存在性的量詞，存在性的量詞改成全稱性的量詞，并把量詞作用范圍進(jìn)行否定。即須遵循下面法則：否定全稱得存在，否定存在得全稱，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

2.關(guān)鍵量詞的否定

詞語 是 一定是 都是 大于 小于 且

詞語的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或

詞語 必有一個 至少有n個 至多有一個 所有x成立 所有x不成立

詞語的否定 一個也沒有 至多有n-1個 至少有兩個 存在一個x不成立 存在有一個成立

五、鞏固運(yùn)用

例1 寫出下列全稱命題的否定：

(1)p：所有人都晨練;

(2)p：xR，x2+x+1>0;

(3)p：平行四邊形的對邊相等;

(4)p：$ x∈R，x2-x+1=0;

分析：(1) P：有的人不晨練;(2)$ x∈R，x2+x+1≤0;(3)存在平行四邊形，它的的對邊不相等;(4)xR，x2-x+1≠0;

例2 寫出下列命題的否定。

(1) 所有自然數(shù)的平方是正數(shù)。

(2) 任何實(shí)數(shù)x都是方程5x-12=0的根。

(3) 對任意實(shí)數(shù)x，存在實(shí)數(shù)y，使x+y>0.

(4) 有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)。

解：(1)的否定：有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)。

(2)的否定：存在實(shí)數(shù)x不是方程5x-12=0的根。

(3)的否定：存在實(shí)數(shù)x,對所有實(shí)數(shù)y，有x+y≤0。

(4)的否定：所有的質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)。

解題中會遇到省略了“所有，任何，任意”等量詞的簡化形式，如“若x>3，則x2>9”。在求解中極易誤當(dāng)為簡單命題處理;這種情形下時應(yīng)先將命題寫成完整形式，再依據(jù)法則來寫出其否定形式。

例3 寫出下列命題的否定。

(1) 若x2>4 則x>2.。

(2) 若m≥0,則x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根。

(3) 可以被5整除的整數(shù)，末位是0。

(4) 被8整除的數(shù)能被4整除。

(5) 若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等。

解(1)否定：存在實(shí)數(shù) ，雖然滿足 >4，但 ≤2。或者說：存在小于或等于2的數(shù) ，滿足 >4。(完整表達(dá)為對任意的實(shí)數(shù)x, 若x2>4 則x>2)

(2)否定：雖然實(shí)數(shù)m≥0,但存在一個 ，使 + -m=0無實(shí)數(shù)根。(原意表達(dá)：對任意實(shí)數(shù)m,若m≥0,則x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根。)

(3)否定：存在一個可以被5整除的整數(shù)，其末位不是0。

(4)否定：存在一個數(shù)能被8整除，但不能被4整除.(原意表達(dá)為所有能被8整除的數(shù)都能被4整除)

(5)否定：存在一個四邊形，雖然它是正方形，但四條邊中至少有兩條不相等。(原意表達(dá)為無論哪個四邊形，若它是正方形，則它的四條邊中任何兩條都相等。)
例4 寫出下列命題的非命題與否命題，并判斷其真假性。

(1)p：若x>y,則5x>5y;

(2)p：若x2+x?2,則x2-x?2;

(3)p：正方形的四條邊相等;

(4)p：已知a,b為實(shí)數(shù)，若x2+ax+b≤0有非空實(shí)解集，則a2-4b≥0。

解：(1) P：若 x>y，則5x≤5y; 假命題

否命題：若x≤y，則5x≤5y;真命題

(2) P：若x2+x?2，則x2-x≥2;真命題

否命題：若x2+x≥2，則x2-x≥2);假命題。

(3) P：存在一個四邊形，盡管它是正方形，然而四條邊中至少有兩條邊不相等;假命題。

否命題：若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。假命題。

(4) P：存在兩個實(shí)數(shù)a,b，雖然滿足x2+ax+b≤0有非空實(shí)解集，但使a2-4b?0。假命題。

否命題：已知a,b為實(shí)數(shù)，若x2+ax+b≤0沒有非空實(shí)解集，則a2-4b?0。真命題。

評注：命題的否定與否命題是完全不同的概念。其理由：

1.任何命題均有否定，無論是真命題還是假命題;而否命題僅針對命題“若P則q”提出來的。2.命題的否定(非)是原命題的矛盾命題，兩者的真假性必然是一真一假，一假一真;而否命題與原命題可能是同真同假，也可能是一真一假。

3. 原命題“若P則q” 的形式，它的非命題“若p，則q”;而它的否命題為 “若┓p，則┓q”，既否定條件又否定結(jié)論。

六、回顧反思

在教學(xué)中，務(wù)必理清各類型命題形式結(jié)構(gòu)、性質(zhì)關(guān)系，才能真正準(zhǔn)確地完整地表達(dá)出命題的否定，才能避犯邏輯性錯誤，才能更好把邏輯負(fù)載于其它之上，達(dá)到培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯。

七、課后練習(xí)

1.命題p：存在實(shí)數(shù)m，使方程x2+mx+1=0有實(shí)數(shù)根，則“非p”形式的命題是( )

A.存在實(shí)數(shù)m，使得方程x2+mx+1=0無實(shí)根;

B.不存在實(shí)數(shù)m，使得方程x2+mx+1=0有實(shí)根;

C.對任意的實(shí)數(shù)m，使得方程x2+mx+1=0有實(shí)根;

D.至多有一個實(shí)數(shù)m，使得方程x2+mx+1=0有實(shí)根;

2.有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是分?jǐn)?shù)”結(jié)論顯然是錯誤的，是因?yàn)? )

A.大前提錯誤 B.小前提錯誤 C.推理形式錯誤 D.非以上錯誤

3.命題“xR，x2-x+3>0”的否定是

4.“末位數(shù)字是0或5的整數(shù)能被5整除”的

否定形式是

否命題是

5.寫出下列命題的否定，并判斷其真假：

(1)p：m∈R，方程x2+x-m=0必有實(shí)根;

(2)q：R，使得x2+x+1≤0;

6.寫出下列命題的“非P”命題，并判斷其真假：

(1)若m>1，則方程x2-2x+m=0有實(shí)數(shù)根.

(2)平方和為0的兩個實(shí)數(shù)都為0.

(3)若 是銳角三角形， 則 的任何一個內(nèi)角是銳角.

(4)若abc=0，則a,b,c中至少有一為0.

(5)若(x-1)(x-2)=0 ，則x≠1,x≠2.

八、參考答案：

1. B

2.C

3. xR，x2-x+3≤0

4.否定形式：末位數(shù)是0或5的整數(shù)，不能被5整除

否命題：末位數(shù)不是0且不是5的整數(shù)，不能被5整除

5.(1)p：m∈R，方程x2+x-m=0無實(shí)根;真命題。

(2)q：R，使得x2+x+1>0;真命題。

6. ⑴ 若m>1，則方程x2-2x+m=0無實(shí)數(shù)根，(真);

⑵平方和為0的兩個實(shí)數(shù)不都為0(假);

⑶若 是銳角三角形， 則 的任何一個內(nèi)角不都是銳角(假);

⑷若abc=0，則a,b,c中沒有一個為0(假);

⑸若(x-1)(x-2)=0，則 或 ，(真).

本文來自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/gaozhong/199585.html

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