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一. 教學(xué)內(nèi)容：三角函數(shù)

【結(jié)構(gòu)】

二、要求

（一）理解任意角的概念、弧度的意義、正確進(jìn)行弧度與角度的換算；掌握任意角三角函數(shù)的定義、會(huì)利用單位圓中的三角函數(shù)線表示正弦、余弦、正切。

（二）掌握三角函數(shù)公式的運(yùn)用（即同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、和差及倍角公式）

（三）能正確運(yùn)用三角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明。

（四）會(huì)用單位圓中的三角函數(shù)線畫出正弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖線、并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫出余弦函數(shù)的圖象、會(huì)用“五點(diǎn)法”畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)及Y=Asin（ωx φ）的簡(jiǎn)圖、理解A、ω、 < 1271864542"> 的意義。

三、熱點(diǎn)分析

1. 近幾年高考對(duì)三角變換的考查要求有所降低，而對(duì)本章的內(nèi)容的考查有逐步加強(qiáng)的趨勢(shì)，主要表現(xiàn)在對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查上有所加強(qiáng).

2. 對(duì)本章內(nèi)容一般以選擇、填空題形式進(jìn)行考查，且難度不大，從1993年至2002年考查的內(nèi)容看，大致可分為四類問(wèn)題（1）與三角函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問(wèn)題；（2）與三角函數(shù)圖象有關(guān)的問(wèn)題；（3）應(yīng)用同角變換和誘導(dǎo)公式，求三角函數(shù)值及化簡(jiǎn)和等式證明的問(wèn)題；（4）與周期有關(guān)的問(wèn)題

3. 基本的解題規(guī)律為：觀察差異（或角，或函數(shù)，或運(yùn)算），尋找聯(lián)系（借助于熟知的公式、或技巧），分析綜合（由因?qū)Ч�或�?zhí)果索因），實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.解題規(guī)律：在三角函數(shù)求值問(wèn)題中的解題思路，一般是運(yùn)用基本公式，將未知角變換為已知角求解；在最值問(wèn)題和周期問(wèn)題中，解題思路是合理運(yùn)用基本公式將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為由一個(gè)三角函數(shù)表達(dá)的形式求解.

4. 立足課本、抓好基礎(chǔ).從前面敘述可知，我們已經(jīng)看到近幾年高考已逐步拋棄了對(duì)復(fù)雜三角變換和特殊技巧的考查，而重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查上來(lái)，所以在中首先要打好基礎(chǔ).在考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的同時(shí)，也直接考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象的變換，可見高考在降低對(duì)三角函數(shù)恒等變形的要求下，加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)和圖象的考查力度.

四、復(fù)習(xí)建議

本章內(nèi)容由于公式多，且習(xí)題變換靈活等特點(diǎn)，建議同學(xué)們復(fù)習(xí)本章時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

（1）首先對(duì)現(xiàn)有公式自己推導(dǎo)一遍，通過(guò)公式推導(dǎo)了解它們的內(nèi)在聯(lián)系從而培養(yǎng)邏輯推理。

（2）對(duì)公式要抓住其特點(diǎn)進(jìn)行。有的公式運(yùn)用一些順口溜進(jìn)行。

（3）三角函數(shù)是階段研究的一類初等函數(shù)。故對(duì)三角函數(shù)的性質(zhì)研究應(yīng)結(jié)合一般函數(shù)研究方法進(jìn)行對(duì)比。如定義域、值域、奇偶性、周期性、圖象變換等。通過(guò)與函數(shù)這一章的對(duì)比，加深對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解。但又要注意其個(gè)性特點(diǎn)，如周期性，通過(guò)對(duì)三角函數(shù)周期性的復(fù)習(xí)，類比到一般函數(shù)的周期性，再結(jié)合函數(shù)特點(diǎn)的研究類比到抽象函數(shù)，形成解決問(wèn)題的能力。

（4）由于三角函數(shù)是我們研究的一門基礎(chǔ)工具，近幾年高考往往考查知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處的知識(shí)，故學(xué)習(xí)本章時(shí)應(yīng)注意本章知識(shí)與其它章節(jié)知識(shí)的聯(lián)系。如平面向量、參數(shù)方程、換元法、解三角形等。（2003年高考應(yīng)用題源于此）

（5）重視數(shù)學(xué)思想方法的復(fù)習(xí)，如前所述本章都以選擇、填空題形式出現(xiàn)，因此復(fù)習(xí)中要重視選擇、填空題的一些特殊解題方法，如數(shù)形結(jié)合法、代入檢驗(yàn)法、特殊值法，待定系數(shù)法、排除法等.另外對(duì)有些具體問(wèn)題還需要掌握和運(yùn)用一些基本結(jié)論.如：關(guān)于對(duì)稱問(wèn)題，要利用y＝sinx的對(duì)稱軸為x＝kπ＋ （k∈Z），對(duì)稱中心為（kπ，0），（k∈Z）等基本結(jié)論解決問(wèn)題，同時(shí)還要注意對(duì)稱軸與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)特征.在求三角函數(shù)值的問(wèn)題中，要學(xué)會(huì)用勾股數(shù)解題的方法，因?yàn)楦哳}一般不能查表，給出的數(shù)都較特殊，因此主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用勾股數(shù)來(lái)解題能起到事半功倍的效果.

（6）加強(qiáng)三角函數(shù)應(yīng)用意識(shí)的訓(xùn)練，1999年高考理科第20題實(shí)質(zhì)是一個(gè)三角問(wèn)題，由于考生對(duì)三角函數(shù)的概念認(rèn)識(shí)膚淺，不能將以角為自變量的函數(shù)迅速與三角函數(shù)之間建立聯(lián)系，造成障礙，思路受阻.實(shí)際上，三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，也是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，它產(chǎn)生于生產(chǎn)實(shí)踐，是客觀實(shí)際的抽象，同時(shí)又廣泛地應(yīng)用于客觀實(shí)際，故應(yīng)培養(yǎng)實(shí)踐第一的觀點(diǎn).總之，三角部分的考查保持了內(nèi)容穩(wěn)定，難度穩(wěn)定，題量穩(wěn)定，題型穩(wěn)定，考查的重點(diǎn)是三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象，三角函數(shù)的求值問(wèn)題以及三角變換的方法.

（7）變?yōu)橹骶�、抓好訓(xùn)練.變是本章的主題，在三角變換考查中，角的變換，三角函數(shù)名的變換，三角函數(shù)次數(shù)的變換，三角函數(shù)式表達(dá)形式的變換等比比皆是，在訓(xùn)練中，強(qiáng)化“變”意識(shí)是關(guān)鍵，但題目不可太難，較特殊技巧的題目不做，立足課本，掌握課本中常見問(wèn)題的解法，把課本中習(xí)題進(jìn)行歸類，并進(jìn)行分析比較，尋找解題規(guī)律.針對(duì)高考中的題目看，還要強(qiáng)化變角訓(xùn)練，經(jīng)常注意收集角間關(guān)系的觀察分析方法.另外如何把一個(gè)含有不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只含有一個(gè)三角函數(shù)關(guān)系式的訓(xùn)練也要加強(qiáng)，這也是高考的重點(diǎn).同時(shí)應(yīng)掌握三角函數(shù)與二次函數(shù)相結(jié)合的題目.

（8）在復(fù)習(xí)中，應(yīng)立足基本公式，在解題時(shí)，注意在條件與結(jié)論之間建立聯(lián)系，在變形過(guò)程中不斷尋找差異，講究算理，才能立足基礎(chǔ)，發(fā)展能力，適應(yīng)高考.

在本章內(nèi)容中，高考試題主要反映在以下三方面：其一是考查三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象變換，尤其是三角函數(shù)的最大值與最小值、周期。多數(shù)題型為選擇題或填空題；其次是三角函數(shù)式的恒等變形。如運(yùn)用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值解決簡(jiǎn)單的綜合題等。除在填空題和選擇題出現(xiàn)外，解答題的中檔題也經(jīng)常出現(xiàn)這方面內(nèi)容。

另外，還要注意利用三角函數(shù)解決一些應(yīng)用問(wèn)題。

【典型例題】

兩角和與差的三角函數(shù)

例1. 已知解：設(shè) = = ∴ =

從而可得： 的最值。

解：∵ ∴- ， ∴∵ ∴即∴

y=

當(dāng)sina∈[ ，1]時(shí)函數(shù)y遞增，∴當(dāng)sina= 時(shí) ymin= ；

當(dāng)sina∈ 時(shí)，函數(shù)y遞減，∴當(dāng)sina=0時(shí)，ymin=

例3.

解：∵ A B C=π，

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例4. 求函數(shù)解：∵

∴

當(dāng)

例5. 已知函數(shù)f（asin2asinx a、b為常數(shù)，a<0），它的定義域?yàn)閇0， ]，值域?yàn)閇－3，1]，試求解：x）=2x－2 xcosa b－1

=x）－ x =－2asin

∵0≤x≤ ∴ ≤2 ∴

∵a≤－2a

∴3asina b－1≤b－1

∵值域?yàn)閇－3，1] ∴

例6. 已知函數(shù)y軸上的截距為1，它在 ）和（ ）.

（1）求y=x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的y=g（y=g（y=g（解：（1）由已知，易得A=2.

，解得 ，得

. 又 ，解得 . ∴ 為所求.

（2）壓縮后的函數(shù)解析式為 再平移，

得

0

0

2

0

-2

0

例7. 在Δ 的最小值.并指出取最小值時(shí)ΔABC的形狀，并說(shuō)明理由.

解：令

∵在Δ ，∴

又 .

∴

當(dāng) 時(shí)，y取得最小值 ；

由 知 知 ，B=60°；

故 時(shí)，Δ ） b；（1）求這段時(shí)間的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式.

） b的半個(gè)周期的圖象.

∴ ，由圖示A=<0" > （30－10）=10，b=<1" > （30 10）=20，這時(shí)y=10sin（ x <3" style=' > ） 20，將x=6，y=10代入上式可取 （<9" style='' > ，且均為常數(shù)），

（1）求函數(shù) 的最小正周期；

（2）若 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，且恰好能夠取到 的值.

）、一種三角函數(shù)的形式.

（1）

（其中 ）

所以，函數(shù) 的最小正周期為 （2） 由（1）可知： .

另外，由 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，可知： ，所以， .

解之得： ，試比較 =解：觀察所給的兩個(gè)函數(shù)，它們均是兩個(gè)三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，因此，我們不難想到：它們可能仍然具備三角函數(shù)的某些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性、奇偶性等.

初步判斷便可以確定： 都是周期函數(shù)，且最小正周期分別為 . 所以，只需考慮 為偶函數(shù)， 的范圍繼續(xù)縮��？

事實(shí)上，當(dāng) >0， > 的余弦函數(shù)，把 看作是關(guān)于 的正弦函數(shù)，那么這兩個(gè)函數(shù)既不同名，自變量也不相同，為了能進(jìn)行比較，我們可以作如下恒等變換，使之成為同名函數(shù)，以期利用三角函數(shù)的單調(diào)性.

至此為止，可以看出：由于 和 ， 與 ）－ －

所以，利用余弦函數(shù)在 < . 也即

綜上， .

2. 函數(shù)f（x）=cos2x sin（ x）是（ ）

A. 非奇非偶函數(shù) B. 僅有最小值的奇函數(shù)

C. 僅有最大值的偶函數(shù) D. 高中語(yǔ)文 既有最大值又有最小值的偶函數(shù)

二、填空題

3. 函數(shù)f（x）=（ ）｜c(diǎn)osx｜在［－π，π］上的單調(diào)減區(qū)間為_________.

4. 設(shè)ω＞0，若函數(shù)f（x）=2sinωx在［－ a－ 在閉區(qū)間［0， ］上的最大值是1？若存在，求出對(duì)應(yīng)的a值；若不存在，試說(shuō)明理由.

【試題答案

一、

1. 解析：函數(shù)y=－xcosx是奇函數(shù)，圖象不可能是A和C，又當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，y＜0.

答案：D

2. 解析：f（x）=cos2x sin（ x）=2cos2x－1 cosx=2［（cosx ）－1.

答案：D

二、3. 解：在［－π，π］上，y=｜c(diǎn)osx｜的單調(diào)遞增區(qū)間是［－ ，0］及［ ，π］.而f（x）依｜c(diǎn)osx｜取值的遞增而遞減，故［－ ，0］及［ ，π］為f（x）的遞減區(qū)間.

4. 解：由－ ≤ωx≤ ，得f（x）的遞增區(qū)間為［－ ， ］，由題設(shè)得

三、5. 證明：（1）∵－1≤sinα≤1且f（sinα）≥0恒成立，∴f（1）≥0

∵1≤2 cosβ≤3，且f（2 cosβ）≤0恒成立.∴f（1）≤0.

從而知f（1）=0∴b c 1=0.

（2）由f（2 cosβ）≤0，知f（3）≤0，∴9 3b c≤0.又因?yàn)閎 c=－1，∴c≥3.

解：（3）∵f（sinα）=sin2α （－1－c）sinα c=（sinα－ ）2 c－ 2，

當(dāng)sinα=－1時(shí)，［f（sinα）］max=8，由 解得b=－4，c=3.

6. 解：如圖，設(shè)矩形木板的長(zhǎng)邊AB著地，并設(shè)OA=x，OB=y，則a2=x2 y2－2xycosα≥2xy－2xycosα=2xy（1－cosα）.

∵0＜α＜π，∴1－cosα＞0，∴xy≤ （當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取“=”號(hào)），故此時(shí)谷倉(cāng)的容積的最大值V1=（ xysinα）b= .同理，若木板短邊著地時(shí)，谷倉(cāng)的容積V的最大值V2= ab2cos ，

∵a＞b，∴V1＞V2

從而當(dāng)木板的長(zhǎng)邊著地，并且谷倉(cāng)的底面是以a為底邊的等腰三角形時(shí)，谷倉(cāng)的容積最大，其最大值為 a2bcos .

7. 解：如下圖，扇形AOB的內(nèi)接矩形是MNPQ，連OP，則OP=R，設(shè)∠AOP= ，NP=Rsin ，

∴PQ= ）.S矩形MNPQ=QP?NP= sin（45°－ －45°）－ ］≤ －45°）=1，即θ=22.5°時(shí)，

S矩形MNPQ的值最大且最大值為 R2.

8. 解：∵在［－ ］上恒成立，

∴原函數(shù)即是y=2log2cosx，

在x∈［－ ≤log2cosx≤log21，即－1≤y≤0，

也就是在x∈［－

綜合上述知，存在

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