從哲學(xué)上來看，矛盾是無處不存在的，即便以確定無疑著稱的數(shù)學(xué)也不例外。數(shù)學(xué)中有大大小小的許多矛盾，例如正與負、加與減、微分與積分、有理數(shù)與無理數(shù)、實數(shù)與虛數(shù)等等。在整個數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮、連續(xù)與離散、存在與構(gòu)造、邏輯與直觀、具體對象與抽象對象、概念與計算等等。
在數(shù)學(xué)史上，貫穿著矛盾的斗爭與解決。當矛盾激化到涉及整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)時，就會產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機。而危機的解決，往往能給數(shù)學(xué)帶來新的內(nèi)容、新的發(fā)展，甚至引起革命性的變革。
數(shù)學(xué)的發(fā)展就經(jīng)歷過三次關(guān)于基礎(chǔ)理論的危機。
一、第一次數(shù)學(xué)危機
從某種意義上來講，現(xiàn)代意義下的數(shù)學(xué)，也就是作為演繹系統(tǒng)的純粹數(shù)學(xué)，來源予古希臘畢達哥拉斯學(xué)派。它是一個唯心主義學(xué)派，興旺的時期為公元前500年左右。他們認為，“萬物皆數(shù)”(指整數(shù))，數(shù)學(xué)的知識是可靠的、準確的，而且可以應(yīng)用于現(xiàn)實的世界，數(shù)學(xué)的知識由于純粹的思維而獲得，不需要觀察、直覺和日常經(jīng)驗。
整數(shù)是在對于對象的有限整合進行計算的過程中產(chǎn)生的抽象概念。日常生活中，不僅要計算單個的對象，還要度量各種量，例如長度、重量和時間。為了滿足這些簡單的度量需要，就要用到分數(shù)。于是，如果定義有理數(shù)為兩個整數(shù)的商，那么由于有理數(shù)系包括所有的整數(shù)和分數(shù)，所以對于進行實際量度是足夠的。
有理數(shù)有一種簡單的幾何解釋。在一條水平直線上，標出一段線段作為單位長，如果令它的定端點和右端點分別表示數(shù)0和1，則可用這條直線上的間隔為單位長的點的集合來表示整數(shù)，正整數(shù)在0的右邊，負整數(shù)在0的左邊。以q為分母的分數(shù)，可以用每一單位間隔分為q等分的點表示。于是，每一個有理數(shù)都對應(yīng)著直線上的一個點。
古代數(shù)學(xué)家認為，這樣能把直線上所有的點用完。但是，畢氏學(xué)派大約在公元前400年發(fā)現(xiàn)：直線上存在不對應(yīng)任何有理數(shù)的點。特別是，他們證明了：這條直線上存在點p不對應(yīng)于有理數(shù)，這里距離op等于邊長為單位長的正方形的對角線。于是就必須發(fā)明新的數(shù)對應(yīng)這樣的點，并且因為這些數(shù)不可能是有理數(shù)，只好稱它們?yōu)闊o理數(shù)。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，是畢氏學(xué)派的最偉大成就之一，也是數(shù)學(xué)史上的重要里程碑。
無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起了第一次數(shù)學(xué)危機。首先，對于全部依靠整數(shù)的畢氏哲學(xué)，這是一次致命的打擊。其次，無理數(shù)看來與常識似乎相矛盾。在幾何上的對應(yīng)情況同樣也是令人驚訝的，因為與直觀相反，存在不可通約的線段，即沒有公共的量度單位的線段。由于畢氏學(xué)派關(guān)于比例定義假定了任何兩個同類量是可通約的，所以畢氏學(xué)派比例理論中的所有命題都局限在可通約的量上，這樣，他們的關(guān)于相似形的一般理論也失效了。
“邏輯上的矛盾”是如此之大，以致于有一段時間，他們費了很大的精力將此事保密，不準外傳。但是人們很快發(fā)現(xiàn)不可通約性并不是罕見的現(xiàn)象。泰奧多勒斯指出，面積等于3、5、6、……17的正方形的邊與單位正方形的邊也不可通約，并對每一種情況都單獨予以了證明。隨著時間的推移，無理數(shù)的存在逐漸成為人所共知的事實。
誘發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機的一個間接因素是之后“芝諾悖論”的出現(xiàn)，它更增加了數(shù)學(xué)家們的擔憂：數(shù)學(xué)作為一門精確的科學(xué)是否還有可能？宇宙的和諧性是否還存在？
在大約公元前370年，這個矛盾被畢氏學(xué)派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現(xiàn)在歐幾里得《原本》第5卷中，并且和狄德金于1872年繪出的無理數(shù)的現(xiàn)代解釋基本一致。今天中學(xué)幾何課本中對相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微炒之處。
第一次數(shù)學(xué)危機表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示。反之，數(shù)卻可以由幾何量表示出來。整數(shù)的尊祟地位受到挑戰(zhàn)，古希臘的數(shù)學(xué)觀點受到極大的沖擊。于是，幾何學(xué)開始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。同時也反映出，直覺和經(jīng)驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始從“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過演繹推理，并由此建立幾何學(xué)體系。這是數(shù)學(xué)思想上的一次革命，是第一次數(shù)學(xué)危機的自然產(chǎn)物。
回顧在此以前的各種數(shù)學(xué)，無非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數(shù)學(xué)也是從實際出發(fā)，應(yīng)用到實際問題中去的。例如，泰勒斯預(yù)測日食、利用影子計算金字塔高度、測量船只離岸距離等等，都是屬于計算技術(shù)范圍的。至于埃及、巴比倫、中國、印度等國的數(shù)學(xué)，并沒有經(jīng)歷過這樣的危機和革命，也就繼續(xù)走著以算為主，以用為主的道路。而由于第一次數(shù)學(xué)危機的發(fā)生和解決，希臘數(shù)學(xué)則走上完全不同的發(fā)展道路，形成了歐幾里得《原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系，為世界數(shù)學(xué)作出了另一種杰出的貢獻。
但是，自此以后希臘人把幾何看成了全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，把數(shù)的研究隸屬于形的研究，割裂了它們之間的密切關(guān)系。這樣做的最大不幸是放棄了對無理數(shù)本身的研究，使算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展受到很大的限制，基本理論十分薄溺。這種畸形發(fā)展的局面在歐洲持續(xù)了2000多年。
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