【摘要】鑒于大家對(duì)十分關(guān)注，小編在此為大家整理了此文“高考數(shù)學(xué)沖刺易錯(cuò)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用”，供大家參考!
本文題目：高考數(shù)學(xué)沖刺易錯(cuò)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用
一、高考預(yù)測(cè)
從近幾年考查的趨勢(shì)看，本專題考查的重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性和極值中的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)在研究方程和不等式中的應(yīng)用，考查的形式是解答題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問(wèn)題中的綜合運(yùn)用，但常圍繞一些交叉點(diǎn)設(shè)計(jì)一些新穎的試題，大部分函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)試題難度也不大，但少數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)試題難度較大，解答題中的函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題也具有一定的難度.
由于該專題的絕大多數(shù)內(nèi)容(除定積分)都是傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容，在考查上已經(jīng)基本穩(wěn)定(難度穩(wěn)定、考查重點(diǎn)穩(wěn)定、考查的分值穩(wěn)定)，預(yù)計(jì)2012年基本上還是這個(gè)考查趨勢(shì)，具體為：以選擇題或者填空題的方式考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，定積分的計(jì)算及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.以解答題的方式考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問(wèn)題中的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)是使用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性和極值以及能夠轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題的不等式和方程等問(wèn)題，考查函數(shù)建模和利用導(dǎo)數(shù)解模.
導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用：要掌握好導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性與極值的關(guān)系，由于函數(shù)的極值和最值的解決是以函數(shù)的單調(diào)性為前提的，因此要重點(diǎn)解決導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，特別是含有字母參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性(這是高考考查分類與整合思想的一個(gè)主要命題點(diǎn))，在解決好上述問(wèn)題后，要注意把不等式問(wèn)題、方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值進(jìn)行研究性訓(xùn)練，這是高考命制壓軸題的一個(gè)重要考查點(diǎn).
二、知識(shí)導(dǎo)學(xué)
要點(diǎn)1：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線
1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù) 在 處的導(dǎo)數(shù) 的幾何意義是：曲線 在點(diǎn) 處的切線的斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù) 對(duì)時(shí)間 的導(dǎo)數(shù))。
2.求曲線切線方程的步驟：(1)求出函數(shù) 在點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)，即曲線 在點(diǎn) 處切線的斜率;(2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo) 和切線斜率的條件下，求得切線方程為 。注：①當(dāng)曲線 在點(diǎn) 處的切線平行于 軸(此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在)時(shí)，由切線定義可知，切線方程為 ;②當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)未知時(shí)，應(yīng)首先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求解。
要點(diǎn)2：利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟。(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù) ;(3)①若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只需在函數(shù) 的定義域內(nèi)解(或證明)不等式 >0或 <0。②若已知 的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式 ≥0或 ≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問(wèn)題求解。
要點(diǎn)3：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值
1.在求可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)，應(yīng)注意：(以下將導(dǎo)函數(shù) 取值為0的點(diǎn)稱為函數(shù) 的駐點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是它的駐點(diǎn)，注意一定要是可導(dǎo)函數(shù)。例如函數(shù) 在點(diǎn) 處有極小值 =0，可是這里的 根本不存在，所以點(diǎn) 不是 的駐點(diǎn).(1) 可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)可能是它的極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)。例如函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) ，在點(diǎn) 處有 ，即點(diǎn) 是 的駐點(diǎn)，但從 在 上為增函數(shù)可知，點(diǎn) 不是 的極值點(diǎn).(2) 求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)，常常把駐點(diǎn)附近的函數(shù)值的討論情況列成表格，這樣可使函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間的增減情況一目了然.(3) 在求實(shí)際問(wèn)題中的最大值和最小值時(shí)，一般是先找出自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域.如果定義域是一個(gè)開(kāi)區(qū)間，函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)(其實(shí)只要是初等函數(shù)，它在自己的定義域內(nèi)必然可導(dǎo))，并且按常理分析，此函數(shù)在這一開(kāi)區(qū)間內(nèi)應(yīng)該有最大(小)值(如果定義域是閉區(qū)間，那么只要函數(shù)在此閉區(qū)間上連續(xù)，它就一定有最大(小).記住這個(gè)定理很有好處)，然后通過(guò)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)定義域內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，那么立即可以斷定在這個(gè)駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是最大(小)值。知道這一點(diǎn)是非常重要的，因?yàn)樗趹?yīng)用 一般情況下選那個(gè)不帶常數(shù)的。因?yàn)?.
3.利用定積分來(lái)求面積時(shí)，特別是位于 軸兩側(cè)的圖形的面積的計(jì)算，分兩部分進(jìn)行計(jì)算，然后求兩部分的代數(shù)和.
三、易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛
命題角度 1導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算
1.設(shè) ， , …, ,n∈N,則 ( )
A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx
[考場(chǎng)錯(cuò)解] 選C
[專家把脈] 由 = , ,f3(x) =(-sinx)’=-cosx, ， ，故周期為4。
[對(duì)癥下藥] 選A
2.已知函數(shù) 在x=1處的導(dǎo)數(shù)為3， 的解析式可能為 ( )
A. =(x-1)3+32(x-1) B. =2x+1 C. =2(x-1)2 D. =-x+3
[考場(chǎng)錯(cuò)解] 選B ∵f(x)=2x+1,∴f’(x)=(2x+1)’=2x+1x=1=3.
[專家把脈] 上面解答錯(cuò)誤原因是導(dǎo)數(shù)公式不熟悉，認(rèn)為(2x+1)’=2x+1.正確的是(2x+1)’=2,所以x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)是2，不是3。
=2e-xcosx令f’(x)=0,x=nπ+ (n=1，2，3，…)從而xn=nπ+ 。f(xn)=e-( nπ+ )(-1)n• =-e .
∴數(shù)列{f(xn)}是公比為q=-e-π的等比數(shù)列。
[專家把脈] 上面解答求導(dǎo)過(guò)程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，即(e-x)’=e-x是錯(cuò)誤的，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知(e-x)’=e-x(-x)’=-e-x才是正確的。
[對(duì)診下藥](1)證明：f’(x)=(e-x)’(cos+sinx)+e-x(cosx+sinx)’ =-e-x(cosx+sinx) +e-x(-sinx+cos)
=-2e-xsinx. 令f’(x)=0得-2e-xsinx=0，解出x=nπ,(n為整數(shù)，從而xn=nπ(n=1,2,3,…)，
f(xn)=(-1)ne-nπ ,所以數(shù)列f(xn)是公比q=-e-π的等比數(shù)列，且首項(xiàng)f(x1)=-e-π
(2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+…+xnf(xn)=nq(1+2q+…+nqn-1)
aSn=πq(q+2q2+…+nqn)=πq( -nqn)從而Sn= ( -nqn)
∵q=e-π<1 ∴ qn=0,∴
專家會(huì)診1.理解導(dǎo)數(shù)的概念時(shí)應(yīng)注意導(dǎo)數(shù)定義的另一種形式：設(shè)函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則 的運(yùn)用。2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是搞清復(fù)合關(guān)系，求導(dǎo)應(yīng)從外層到內(nèi)層進(jìn)行，注意不要遺漏3.求導(dǎo)數(shù)時(shí)，先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)是運(yùn)算的基本方法，一般地，分式函數(shù)求導(dǎo)，先看是否化為整式函數(shù)或較簡(jiǎn)單的分式函數(shù);對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)先化為和或差形式;多項(xiàng)式的積的求導(dǎo)，先展開(kāi)再求導(dǎo)等等。
命題角度 2導(dǎo)數(shù)幾何意義的運(yùn)用
1.曲線y=x3在點(diǎn)(1,1)的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形面積為_(kāi)________.
[考場(chǎng)錯(cuò)解] 填2 由曲線y=x3在點(diǎn)(1，1)的切線斜率為1，∴切線方程為y-1==x-1,y=x.所以三條直線y=x,x=0,x=2所圍成的三角形面積為S= ×2×2=2。
[專家把脈] 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在某點(diǎn)處的切線斜率等于函數(shù)在這點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，上面的解答顯然是不知道這點(diǎn)，無(wú)故得出切線的斜率為1顯然是錯(cuò)誤的。
[對(duì)癥下藥] 填 。∵ =3x2 當(dāng)x=1時(shí)f’(1)=3.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在點(diǎn)(1，1)處的斜率為3。即切線方程為y-1=3(x-1) 得y=3x-2.聯(lián)立 得交點(diǎn)(2，4)。又y=3x-2與x軸交于( ，0)。∴三條直線所圍成的面積為S= ×4×(2- )= 。
2.設(shè)t≠0,點(diǎn)P(t,0)是函數(shù) =x3+ax與g(x)=bx3+c的圖像的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖像在P點(diǎn)處有相同的切線。(1)用t表示a、b、c;(2)若函數(shù)y=f(x)-g(x)在(-1，3)上單調(diào)遞減，求t的取值范圍。
[考場(chǎng)錯(cuò)解] (1)∵函數(shù) =x3+ax與g(x)=bx2+c的圖像的一個(gè)公共點(diǎn)P(t,0).∴f(t)=g(t) t3+at=bt2+c. ①又兩函數(shù)的圖像在點(diǎn)P處有相同的切線，∴f’(t)=g’(t) 3t3+a=2bt. ②由①得b=t,代入②得a=-t2.∴c=-t3.
[專家把脈] 上面解答中得b=t理由不充足，事實(shí)上只由①、②兩式是不可用t表示a、b、c，其實(shí)錯(cuò)解在使用兩函數(shù)有公共點(diǎn)P，只是利用f(t)=g(t)是不準(zhǔn)確的，準(zhǔn)確的結(jié)論應(yīng)是f(t)=0，即t3+at=0，因?yàn)閠≠0,所以a=-t2.g(t)=0即bt2+c=0,所以c=ab又因?yàn)閒(x)、g(x)在(t,0)處有相同的切線，
所以f’(t)=g;(t).即3t2+a=2bt, ∵a=-t2, ∴b=t.因此c=ab=-t2•t=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3
(2)解法1 y= -g(x)=x3-t2x-tx2+t3 y’=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).
當(dāng)y’=(3x+t)(x-t)<0時(shí),函數(shù)y=f(d)-g(x)單調(diào)遞減。 由y’<0,若t<0,則t0,則-
解法2 y= -g(x)=x3-t2x-tx2+t3,y’=3x2-3tx-t2=(3x+t)(x-t).
成為切點(diǎn)。因此過(guò)點(diǎn)A不在曲線，因此根求方程必須先求切點(diǎn)坐標(biāo)。
[對(duì)癥下藥] (1)f’(x)=3ax2+2bx-3，依題意f’(1)=f’(-1)=0
即 解得 a=1,b=0∴f(x)=x3+3x,f’(x)=3x2-3=0.解得x=±1.
又∵x∈(-∞,-1) ∪(1,+∞)f’(x)>0∴f(x)在(-∞,-1)與(1，+∞)上是增函數(shù)。
若x∈[-1,1]時(shí)，f’(x) ≤0,故f9x)在[-1，1]上是減函數(shù)。
∴f(-1)=2是極大值。f(1)=-2是極小值。
(2)解：曲線方程為y= =x3-3x,點(diǎn)A(0，16)不在曲線上。設(shè)切點(diǎn)M(x0,y0),則點(diǎn)M在曲線上，
∴y0=x30-3x0.因f’(x0)=3x20-3.故切線的方程為y-y0=(3x20-3)(x-x0). ∵點(diǎn)A(0，16)在曲線上，有16-(x20-0)=3(x20-1)(0-x0),化簡(jiǎn)得x30=-8，得x0=-2.
專家會(huì)診 設(shè)函數(shù)y=f(x),在點(diǎn)(x0,y0)處的導(dǎo)數(shù)為f’(x0)，則過(guò)此點(diǎn)的切線的斜率為f’(x0),在此點(diǎn)處的切線方程為y-y0=f’(x0)(x-x0).利用導(dǎo)數(shù)的這個(gè)幾何意義可將解析幾何的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求解。
命題角度 3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
1.(典型例題)已知函數(shù) =-x3+3x2+9x+a.(1)求 的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若 在區(qū)間[-2，2]上最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值。
[考場(chǎng)錯(cuò)解](1) =-3x2+6x+9,令 <0,解得x<-1或x>3,∴函數(shù) 的音調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，-1)(3，+∞)
(2)令 =0,得x=-1或x=3當(dāng)-20;當(dāng)x>3時(shí)， <0.
∴x=-1,是 的極不值點(diǎn)，x=3是極大值點(diǎn)。∴f(3)=-27+27+27+a=20,∴a=-7. 的最小值為f(-1)=-1+3-9+a=-14.
[專家把脈] 在閉區(qū)間上求函數(shù)的最大值和最小值，應(yīng)把極值點(diǎn)的函數(shù)值與兩端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較大小才能產(chǎn)生最大(小)值點(diǎn)，而上面解答題直接用極大(小)值替代最大(小)值，這顯然是錯(cuò)誤的。
[專家把脈] 當(dāng) >0時(shí)， 是減函數(shù)，但反之并不盡然，如 =-x3是減函數(shù)， =3x2并不恒小于0，(x=0時(shí) =0).因此本題應(yīng)該有 在R上恒小于或等于0。
[對(duì)癥下藥] 函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)： =3x2+6x-1.
當(dāng) =3ax2+6x-1<0對(duì)任何x∈R恒成立時(shí)， 在R上是減函數(shù)。
①對(duì)任何x∈R,3ax2+6x-1<0恒成立， a<0且△=36+12a<0 a<-3.
所以當(dāng)a<-3時(shí)，由 <0對(duì)任何x∈R恒成立時(shí)， 在R上是減函數(shù)。
②當(dāng)a=-3時(shí), =-3x3+3x2-x+1=-3(x- )3+ .
由函數(shù)y=x3在R上的單調(diào)性知，當(dāng)a=-3時(shí)， 在R上是減函數(shù)。
③當(dāng)a>-3時(shí)，f’(x)=3ax2+6x-1>0在R上至少可解得一個(gè)區(qū)間，所以當(dāng)a>-3時(shí)， 是在R上的減函數(shù)。綜上，所求a的取值范圍是(-∞，-3)。
3.已知a∈R,討論函數(shù) =ex(x2+ax+a+1)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)。
[對(duì)癥下藥] =ex(a2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]
令 =0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.
(1)當(dāng)△=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0即a<0或a>4時(shí),方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1、x2,不妨設(shè)x1
X (-∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+ ∞)
F’(x) + 0 - 0 +
F(x) f(x1)有極大值 f(x2)有極小值
即此時(shí)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)。
(2)當(dāng)△=0，即a=0或a=4時(shí)，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有兩個(gè)相同的實(shí)根x1=x2
于是f’(x)=ex(x1-x1)2.故當(dāng)x0;當(dāng)x>x1時(shí)，f’(x)>0因此f(x)無(wú)極值。
(3)當(dāng)△<0，即00 ,f’(x)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]>0,故f(x)為增函數(shù)，此時(shí)f(x)無(wú)極值點(diǎn)，因此，當(dāng)a>4或a<0時(shí)，f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)0≤a≤4時(shí)，f(x)無(wú)極值點(diǎn)。
4.設(shè)函數(shù) =x-ln(x+m)其中常數(shù)m為整數(shù)。(1)當(dāng)m為何值時(shí)， ≥0;(2)定理：若g(x)在[a、b]上連續(xù)，且g(a)與g(b)異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)x0∈(a、b),使g(x0)=0.試用上述定理證明：當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，方程 =0，在[e-m-m,e2m-m]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根。
[考場(chǎng)錯(cuò)解] 令 ≥0,x≥ln(x+m).∴m≤ex-x ∴m取小于或等于ex-x的整數(shù)。
[專家把脈] 上面解答對(duì)題意理解錯(cuò)誤，原題“當(dāng)m為何值時(shí)， ≥0恒成立”，并不是對(duì)x的一定范圍成立。因此，m≤ex-x這個(gè)結(jié)果顯然是錯(cuò)誤的。
[對(duì)癥下藥] (1)函數(shù) =x-ln(x+m),x∈(-m,+ ∞)連續(xù)，且f’(x)=1- ,令f’(x)=0,得x=1-m.當(dāng)-m1-m時(shí)， >0, 為增函數(shù)。
根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1-m)=1-m為極小值，而且對(duì)x∈(-m,+ ∞)都有 ≥f(1-m)=1-m，故當(dāng)1-m=f( )≥0,即m≤1時(shí)， ≥0.即m≤1且m∈Z時(shí)， ≥0.
(2)證明：由(1)可知，當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，f(1-m)=1-m<0,f(e-m-m)=e-m-m-ln(e-m-m+m)=e-m>0,又 為連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)m>1時(shí)，f(e-m-m)與f(1-m)異號(hào)，由所給定理知，存在唯一的x1∈(e-m-m;1-m),使f(x1)=0,而當(dāng)m>1時(shí)，f(e2m-m)=e2m-3m>(1+1)2m-3m>1+2m+ -3m>0.(∵m>1 2m-1>1).
類似地，當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)， =x-ln(x+m)在[1-m,e2m-m]上為連續(xù)增函數(shù)，且f(1-m)與f(e2m-m) ∵x<10時(shí),V’>0,1036時(shí)V’>0.所以，當(dāng)x=10時(shí)V有最大值V(10)=1960cm3
又V(0)=0,V(24)=0所以當(dāng)x=10時(shí),V有最大值V(10)=1960。所以該窗口的高為10cm，容器的容積最大，最大容積是1960cm3.
專家會(huì)診1.證函數(shù) 在(a,b)上單調(diào)，可以用函數(shù)的單調(diào)性定義，也可用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明，前者較繁，后者較易，要注意若 在(a、b)內(nèi)個(gè)別點(diǎn)上滿足 =0(或不存在但連續(xù))其余點(diǎn)滿足 >0(或 <0)函數(shù) 仍然在(a、b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)，即導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是增、減區(qū)間的分界點(diǎn)。
2.函數(shù)的極值是在局部對(duì)函數(shù)值的比較，函數(shù)在區(qū)間上的極大值(或極小值)可能有若干個(gè)，而且有時(shí)極小值大于它的極大值，另外， =0是可導(dǎo)數(shù)f(x)在x=x0處取極值的必要而不充分條件，對(duì)于連續(xù)函數(shù)(不一定處處可導(dǎo))時(shí)可以是不必要條件。
3.函數(shù)的最大值、最小值，表示函數(shù)f(x)在整個(gè)區(qū)間的情況，即是在整體區(qū)間上對(duì)函數(shù)值 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 且 則
由 ，解得 或 ; ，解得 或 ; ，解得
的遞增區(qū)間為: 和 ; 遞減區(qū)間為: 又
要 有兩個(gè)根,則 有兩解，由函數(shù)的單調(diào)性可得： 。
2、設(shè)函數(shù) ， .(Ⅰ)試問(wèn)函數(shù) 能否在 時(shí)取得極值?說(shuō)明理由;(Ⅱ)若 ，當(dāng) 時(shí)， 與 的圖象恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)，求 的取值范圍.
【解析】：(Ⅰ) ， 令 ， …… 2分
當(dāng) 時(shí)， ， 在 上單調(diào)遞增，函數(shù)無(wú)極值.所以 在 處無(wú)極值.… 4分
(Ⅱ) ， ，令 ， ， ， 或
正 負(fù) 正
單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增
與 的圖象恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)，等價(jià)于 的圖象與直線 恰好有兩個(gè)交點(diǎn)
或 ………………… 12分
3、已知函數(shù) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，曲線在點(diǎn) 處的切線恰好與直線 垂直。(Ⅰ)求實(shí)數(shù) 的值;(Ⅱ)若函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，求 的取值范圍。
【解析】：(Ⅰ) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) ， 。…2分又 ，則 。由條件知 ，即 。…4分聯(lián)立 解得 6分
(Ⅱ) ， ，令 ，解得 ，或 。…8分
函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增， 。…10分
則 ，即 …12分
4、已知函數(shù) (Ⅰ)若曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為 ,求函數(shù) 解析式;(Ⅱ) 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;(Ⅲ) 若對(duì)于任意的 ,不等式 在 上恒成立,求 的取值范圍.
對(duì)任意的 成立.從而得 所以滿足條件 的取值范圍是 ……….13分
5、若定義在 上的函數(shù) 同時(shí)滿足以下條件：① 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù); ② 是偶函數(shù);③ 在 處的切線與直線 垂直. (Ⅰ)求函數(shù) 的解析式;(Ⅱ)設(shè) ，若存在 ，使 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍
【解析】：(Ⅰ) ，∵ 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)，
∴ ， ( )由 是偶函數(shù)得： ，又 在 處的切線與直線 垂直， ，代入( )得： 即 ....5分
(Ⅱ)由已知得：若存在 ，使 ，即存在 ，使 .
設(shè) ，則 ，.....8分
令 =0，∵ ，∴ ， 當(dāng) 時(shí)， ，∴ 在 上為減函數(shù)，當(dāng) 時(shí)， ，∴ 在 上為增函數(shù)，∴ 在 上有最大值.
又 ，∴ 最小值為 . 于是有 為所求..13分
6、設(shè)函數(shù) (Ⅰ) 當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的極值;
(Ⅱ)當(dāng) 時(shí)，討論函數(shù) 的單調(diào)性.(Ⅲ)若對(duì)任意 及任意 ，恒有
成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
【解析】：(Ⅰ)函數(shù)的定義域?yàn)?. 當(dāng) 時(shí)， 2分
當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 無(wú)極大值. 4分
(Ⅱ) 5分
當(dāng) ，即 時(shí)， 在定義域上是減函數(shù);
當(dāng) ，即 時(shí)，令 得 或
令 得 當(dāng) ，即 時(shí)，令 得 或
令 得 綜上，當(dāng) 時(shí)， 在 上是減函數(shù);
當(dāng) 時(shí)， 在 和 單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增;
當(dāng) 時(shí)， 在 和 單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增; 8分
即 .令 ，解得： 或 .
當(dāng) 時(shí)， ，故 的單調(diào)遞增區(qū)間是 .……3分
當(dāng) 時(shí)， ， 隨 的變化情況如下：
[ 極大值 極小值
所以，函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 和 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 .……5分
當(dāng) 時(shí)， ， 隨 的變化情況如下：
極大值 極小值
所以，函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 和 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 .…7分
(Ⅱ)當(dāng) 時(shí)， 的極大值等于 . 理由如下：當(dāng) 時(shí)， 無(wú)極大值.
當(dāng) 時(shí)， 的極大值為 ，…8分
令 ，即 解得 或 (舍)…9分 當(dāng) 時(shí)， 的極大
值為 .……10分因?yàn)?， 所以 .因?yàn)?，所以
的極大值不可能等于 .綜上所述，當(dāng) 時(shí)， 的極大值等于 ……12分
8、已知函數(shù) ( 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(Ⅰ)若對(duì)于任意 恒成立，試確定實(shí)數(shù) 的取值范圍;(Ⅱ)當(dāng) 時(shí)，是否存在 ，使曲線 在點(diǎn) 處的切線斜率與 在 上的最小值相等?若存在，求符合條件的 的個(gè)數(shù);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】：(Ⅰ) ①當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增，且當(dāng) 時(shí)， ， ，故 不恒成立，所以 不合題意;②當(dāng) 時(shí)， 對(duì) 恒成立，所以 符合題意;
③當(dāng) 時(shí)令 ，得 ，當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，故 在 上是單調(diào)遞減，在 上是單調(diào)遞增, 所以 又 ， ，綜上： .
(Ⅱ)當(dāng) 時(shí)，由(2)知 ，
設(shè) ，則 ，
【解析】：(1)
， ，
(Ⅱ) 因?yàn)?，所以 恒成立求 的最小值
令
故 在(2，+∞)上為增函數(shù)
, ,
所以最小值點(diǎn) 滿足 ， ∴
當(dāng)
∵ ∴
∴
故：
10、已知函數(shù) .(Ⅰ)當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值與最小值;(Ⅱ)若存在 ，使 ，求 的取值范圍.
【解析】：(Ⅰ)由 則 得
知 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減.-- -----------(4分)
故 .又 ， ，故 .---------------(2分)
(Ⅱ)依題意，只需 ， .則依
①當(dāng) 時(shí)，得 ，知 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減.
故 得 .---------(3分)
②當(dāng) 時(shí)， ，知 在區(qū)間 上單調(diào)遞減.
不成立.綜上所述，所求 的取值范圍是 ---------------(3分)
11、函數(shù)¦(x)=x2?x?lnx. (Ⅰ)求函數(shù)¦(x)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)m,n，同時(shí)滿足下列條件①1≤m
【解析】：(Ⅰ) ，…3分 ……5分
所以：遞增區(qū)間是 ，遞減區(qū)間是 ;……6分
(Ⅱ)因?yàn)?在 是單調(diào)遞增的，所以當(dāng) 時(shí)， 的值域?yàn)?，所以 在 時(shí)的值域是 等價(jià)于： 在區(qū)間 上有兩不同解…8分設(shè) ，則 ，
由 得 …10分所以 在 上單調(diào)遞減，在 上遞增，…11分
且 ，所以：存在， .…………………13分
12、設(shè)函數(shù) (I)若函數(shù)f(x)在x=1處與直線y= 相切， ①求實(shí)數(shù)a，b的值; ②求函數(shù)f(x)在[ 土，e]上的最大值.(II)當(dāng)b=0時(shí)，若不等式f(x)≥m+x對(duì)所有的 都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，
立，則 對(duì)所有的 都成立，即 對(duì)所有的 都成立，令 為一次函數(shù)， 上單調(diào)遞增 ， 對(duì)所有的 都成立 …12分
(注：也可令 對(duì)所有的 都成立，分類討論得 對(duì)所有的 都成立， ，請(qǐng)根據(jù)過(guò)程酌情給分)
13、已知函數(shù) (Ⅰ)求函數(shù) 的極值點(diǎn);(Ⅱ)若直線 過(guò)點(diǎn) 且與曲線 相切，求直線 的方程;(Ⅲ)設(shè)函數(shù) 其中 求函數(shù) 在 上的最小值.( )
【解析】：(Ⅰ) >0 1分而 >0 lnx+1>0 > <0 <0 0< < 所以 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增.………………3分
所以 是函數(shù) 的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)不存在.…………………4分
(Ⅱ)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 ，則 切線的斜率為
所以切線 的方程為 …………6分
又切線 過(guò)點(diǎn) ，所以有
解得 所以直線 的方程為 ………8分
(Ⅲ) ，則 <0 <0 0< < >0 > 所以 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增.………………9分
當(dāng) 即 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增，所以 在 上的最小值為 ……10分
當(dāng)1<
在 上的最小值為 ………12分
當(dāng) 即 時(shí)， 在 上單調(diào)遞減，
所以 在 上的最小值為 ……13分
綜上，當(dāng) 時(shí)， 的最小值為0;當(dāng)1
當(dāng) 時(shí)， 的最小值為 ………14分
14、己知函數(shù) (Ⅰ)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè)函數(shù)
是否存在實(shí)數(shù)a、b、c∈[0，1]，使得 若存在，求出t的取值范圍;若不存在，說(shuō)明理由.
得 .…8分③當(dāng) 時(shí)，在 上， ， 在 上單調(diào)遞減，
在 上， ， 在 上單調(diào)遞增， …9分
即 .(*) 由(1)知 在 上單調(diào)遞減，
故 ，而 ，不等式(*)無(wú)解. ……11分
綜上所述，存在 ，使得命題成立. …12分
15、已知函數(shù) (Ⅰ)試判斷函數(shù) 的單調(diào)性，并說(shuō)明理由;(Ⅱ)若 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍;(Ⅲ)求證： .
【解析】：(Ⅰ) 故 在 遞減 …3分
(Ⅱ) 記 ………5分
再令 在 上遞增。
，從而 故 在 上也單調(diào)遞增
………8分
(Ⅲ)方法1： 由(Ⅱ)知： 恒成立，即
令 則 ………10分 ， ， … 12分 疊加得：
…… 14分
方法2：用數(shù)學(xué)歸納法證明(略)。
16、已知函數(shù) .(Ⅰ)分別求函數(shù) 和 的圖象在 處的切線方程;(Ⅱ)證明不等式 ;(Ⅲ)對(duì)一個(gè)實(shí)數(shù)集合 ,若存在實(shí)數(shù) ,使得 中任何數(shù)都不超過(guò) ,則稱 是 的一個(gè)上界.已知 是無(wú)窮數(shù)列 所有項(xiàng)組成的集合的上界(其中 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求實(shí)數(shù) 的最大值.
【解析】：(Ⅰ) ,則 ,且
,所以函數(shù) 和 的圖象在 處的切線方程都是 ……3分
(Ⅱ)令函數(shù) ,定義域是 ，
,
設(shè) ,則 ,
令 ,則 ,
當(dāng) 時(shí), , 在 上為增函數(shù),
,設(shè) ,則
………10分
由(Ⅱ)知， ,即 ,
所以 ,于是 在 上為減函數(shù).
故函數(shù) 在 上的最小值為 ,所以 的最大值為 ………13分
17、 已知函數(shù) .(Ⅰ)討論函數(shù) 的單調(diào)性;(Ⅱ)對(duì)于任意正實(shí)數(shù) ，不等式
恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍;(Ⅲ)求證:當(dāng) 時(shí)，對(duì)于任意正實(shí)數(shù) ，不等式 恒成立.
構(gòu)造函數(shù) ，則問(wèn)題就是要求 恒成立. (9分)
對(duì)于 求導(dǎo)得 .
令 ，則 ，顯然 是減函數(shù). 當(dāng) 時(shí)， ，從而函數(shù) 在 上也是減函數(shù).從而當(dāng) 時(shí)， ，即 ，即函數(shù) 在區(qū)間 上是減函數(shù).當(dāng) 時(shí)，對(duì)于任意的非零正數(shù) ， ，進(jìn)而有 恒成立，結(jié)論得證. (12分)
18、設(shè)函數(shù) ， .(Ⅰ)當(dāng) 時(shí)，求曲線 在 處的切線方程;(Ⅱ)如果存在 ，使得 成立，求滿足上述條件的最大整數(shù) ;
(Ⅲ)如果對(duì)任意的 都有 成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
【解析】：(Ⅰ)當(dāng) 時(shí), , , …2分
所以曲線 在 處的切線方程為
(Ⅱ) 使得 成立，等價(jià)于 …4分
考慮
0 2
0 - 0 +
遞減 極(最)小值 遞增 1
由上表可知， …………………………7分
所以滿足條件的最大整數(shù) …………8分
(Ⅲ)對(duì)任意的 ，都有 ，等價(jià)于：在區(qū)間 上，函數(shù) 的最小值不小于 的最大值……9分有(2)知，在區(qū)間 上， 的最大值為
，等價(jià)于 恒成立…………………………10分
記 …………………11分
記 由于 ，
，所以 在 上遞減，
當(dāng) 時(shí)， ， 時(shí)，
所以， 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 .………4分
(Ⅱ)(法1)對(duì)任意的正實(shí)數(shù) ，且 ，取 ，則 ，由(1)得 ，
即 ，所以， ①…6分
取 ，則 ，由(1)得 ，
即 ，
所以， ……②.
綜合①②，得 .…………8分
(法2)因?yàn)?，所以，當(dāng) 時(shí)， ;當(dāng) 時(shí)， .
(Ⅲ)對(duì) ，令 ( )，則
，
顯然 ， ，所以 ，
所以 ， 在 上單調(diào)遞減.由 ，得 ，
即 .所以 ， .……10分
所以
. ……12分又由(2)知 ，所以 . .
所以， .……14分
20、已知函數(shù) 的圖象在 處的切線與直線 平行.(Ⅰ)求實(shí)數(shù) 的值;(Ⅱ)若方程 在 上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù) 的取值范圍;(Ⅲ)設(shè)常數(shù)
，數(shù)列 滿足 ( )， .求證： .
【解析】：(Ⅰ) ， -----3分
(Ⅱ)由(Ⅰ) ，
設(shè) ，得 ，
，
------9分
(Ⅲ)證明：由
當(dāng)x>0時(shí)，
【總結(jié)】2013年為小編在此為您收集了此文章“高考數(shù)學(xué)沖刺易錯(cuò)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用”，今后還會(huì)發(fā)布更多更好的文章希望對(duì)大家有所幫助，祝您在學(xué)習(xí)愉快!
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