第十二 立體幾何
一、基礎知識
公理1 一條直線。上如果有兩個不同的點在平面。內(nèi)．則這條直線在這個平面內(nèi)，記作：a a．
公理2 兩個平面如果有一個公共點，則有且只有一條通過這個點的公共直線，即若P∈α∩β，則存在唯一的直線m，使得α∩β=m,且P∈m。
公理3 過不在同一條直線上的三個點有且只有一個平面。即不共線的三點確定一個平面．
推論l 直線與直線外一點確定一個平面．
推論2 兩條相交直線確定一個平面．
推論3 兩條平行直線確定一個平面．
公理4 在空間內(nèi)，平行于同一直線的兩條直線平行．
定義1 異面直線及成角：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線．過空間任意一點分別作兩條異面直線的平行線，這兩條直線所成的角中，不超過900的角叫做兩條異面直線成角．與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做異面直線的公垂線，公垂線夾在兩條異面直線之間的線段長度叫做兩條異面直線之間的距離．
定義2 直線與平面的位置關系有兩種；直線在平面內(nèi)和直線在平面外．直線與平面相交和直線與平面平行(直線與平面沒有公共點叫做直線與平面平行)統(tǒng)稱直線在平面外．
定義3 直線與平面垂直：如果直線與平面內(nèi)的每一條直線都垂直，則直線與這個平面垂直．
定理1 如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則直線與平面垂直．
定理2 兩條直線垂直于同一個平面，則這兩條直線平行．
定理3 若兩條平行線中的一條與一個平面垂直，則另一條也和這個平面垂直．
定理4 平面外一點到平面的垂線段的長度叫做點到平面的距離，若一條直線與平面平行，則直線上每一點到平面的距離都相等，這個距離叫做直線與平面的距離．
定義5 一條直線與平面相交但不垂直的直線叫做平面的斜線．由斜線上每一點向平面引垂線，垂足叫這個點在平面上的射影．所有這樣的射影在一條直線上，這條直線叫做斜線在平面內(nèi)的射影．斜線與它的射影所成的銳角叫做斜線與平面所成的角．
結論1 斜線與平面成角是斜線與平面內(nèi)所有直線成角中最小的角．
定理4 (三垂線定理)若d為平面。的一條斜線，b為它在平面a內(nèi)的射影，c為平面a內(nèi)的一條直線，若c b，則c a．逆定理：若c a，則c b．
定理5 直線d是平面a外一條直線，若它與平面內(nèi)一條直線b平行，則它與平面a平行
定理6 若直線。與平面α平行，平面β經(jīng)過直線a且與平面a交于直線6，則a//b．
結論2 若直線。與平面α和平面β都平行，且平面α與平面β相交于b，則a//b．
定理7 (等角定理)如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行且方向相同，則兩個角相等．
定義6 平面與平面的位置關系有兩種：平行或相交．沒有公共點即平行，否則即相交．
定理8 平面a內(nèi)有兩條相交直線a，b都與平面β平行，則α//β.
定理9 平面α與平面β平行，平面γ∩α=a，γ∩β=b，則a//b．
定義7 (二面角)，經(jīng)過同一條直線m的兩個半平面α,β(包括直線m，稱為二面角的棱)所組成的圖形叫二面角，記作α—m—β，也可記為A—m一B，α—AB—β等．過棱上任意一點P在兩個半平面內(nèi)分別作棱的垂線AP，BP，則∠APB(≤900)叫做二面角的平面角．
它的取值范圍是[0，π]．
特別地，若∠APB＝900，則稱為直二面角，此時平面與平面的位置關系稱為垂直，即α β.
定理10 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．
定理11 如果兩個平面垂直，過第一個平面內(nèi)的一點作另一個平面的垂線在第一個平面內(nèi)．
定理12 如果兩個平面垂直，過第一個子面內(nèi)的一點作交線的垂線與另一個平面垂直．
定義8 有兩個面互相平行而其余的面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個平行四邊形的公共邊(稱為側(cè)棱)都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱．兩個互相平行的面叫做底面．如果底面是平行四邊形則叫做平行六面體；側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．底面是矩形的直棱柱叫做長方體．棱長都相等的正四棱柱叫正方體．
定義9 有一個面是多邊形(這個面稱為底面)，其余各面是一個有公共頂點的三角形的多面體叫棱錐．底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面的中心的棱錐叫正棱錐．
定理13 (凸多面體的歐拉定理)設多面體的頂點數(shù)為V，棱數(shù)為E，面數(shù)為F，則
V+F-E=2．
定義10 空間中到一個定點的距離等于定長的點的軌跡是一個球面．球面所圍成的幾何體叫做球．定長叫做球的半徑，定點叫做球心．
定理14 如果球心到平面的距離d小于半徑R，那么平面與球相交所得的截面是圓面，圓心與球心的連線與截面垂直．設截面半徑為r，則d2+r2＝R2．過球心的截面圓周叫做球大圓．經(jīng)過球面兩點的球大圓夾在兩點間劣弧的長度叫兩點間球面距離．
定義11 (經(jīng)度和緯度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做緯線．緯線上任意一點與球心的連線與赤道平面所成的角叫做這點的緯度．用經(jīng)過南極和北極的平面去截地球所得到的截面半圓周(以兩極為端點)叫做經(jīng)線，經(jīng)線所在的平面與本初子午線所在的半平面所成的二面角叫做經(jīng)度，根據(jù)位置不同又分東經(jīng)和西經(jīng)．
定理15 (祖 原理)夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.
定理16 (三面角定理)從空間一點出發(fā)的不在同一個平面內(nèi)的三條射線共組成三個角．其中任意兩個角之和大于另一個，三個角之和小于3600．
定理17 （面積公式）若一個球的半徑為R，則它的表面積為S球面=4πR2。若一個圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則它的側(cè)面積S側(cè)=πrl.
定理18 （體積公式）半徑為R的球的體積為V球= ；若棱柱（或圓柱）的底面積為s，高h，則它的體積為V=sh；若棱錐（或圓錐）的底面積為s，高為h，則它的體積為V=
定理19 如圖12-1所示，四面體ABCD中，記∠BDC=α，∠ADC=β，∠ADB=γ，∠BAC=A，∠ABC=B，∠ACB=C。DH 平面ABC于H。
（1）射影定理：SΔABD•cosФ=SΔABH，其中二面角D—AB—H為Ф。
（2）正弦定理：
（3）余弦定理：cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.
cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosα.
（4）四面體的體積公式 DH•SΔABC
=
（其中d是a1, a之間的距離， 是它們的夾角）
SΔABD•SΔACD•sinθ(其中θ為二面角B—AD—C的平面角)。
二、方法與例題
1．公理的應用。
例1 直線a,b,c都與直線d相交，且a//b,c//b，求證：a,b,c,d共面。
[證明] 設d與a,b,c分別交于A,B,C,因為b與d相交，兩者確定一個平面，設為a.又因為a//b，所以兩者也確定一個平面，記為β。因為A∈α，所以A∈β，因為B∈b，所以B∈β，所以d β.又過b,d的平面是唯一的，所以α，β是同一個平面，所以a α.同理c α.即a,b,c,d共面。
例2 長方體有一個截面是正六邊形是它為正方體的什么條？
[解] 充要條。先證充分性，設圖12-2中PQRST是長方體ABCD-A1B1C1D1的正六邊形截面，延長PQ，SR設交點為O，因為直線SR 平面CC1D1D，又O∈直線SR，所以O∈平面CC1D1D，又因為直線PQ 平面A1B1C1D1，又O∈直線PQ，所以O∈平面A1B1C1D1。所以O∈直線C1D1，由正六邊形性質(zhì)知，∠ORQ=∠OQR=600，所以ΔORQ為正三角形，因為CD//C1D1，所以 =1。所以R是CC1中點，同理Q是B1C1的中點，又ΔORC1≌ΔOQC1，所以C1R=C1Q，所以CC1=C1B1，同理CD=CC1，所以該長方體為正方體。充分性得證。必要性留給讀者自己證明。
2．異面直線的相關問題。
例3 正方體的12條棱互為異面直線的有多少對？
[解] 每條棱與另外的四條棱成異面直線，重復計數(shù)一共有異面直線12×4=48對，而每一對異面直線被計算兩次，因此一共有 24對。
例4 見圖12-3，正方體，ABCD—A1B1C1D1棱長為1，求面對角線A1C1與AB1所成的角。
[解] 連結AC，B1C，因為A1A B1B C1C，所以A1A C1C，所以A1ACC1為平行四邊形，所以A1C1 AC。
所以AC與AB1所成的角即為A1C1與AB1所成的角，由正方體的性質(zhì)AB1=B1C=AC，所以∠B1AC=600。所以A1C1與AB1所成角為600。
3．平行與垂直的論證。
例5 A，B，C，D是空間四點，且四邊形ABCD四個角都是直角，求證：四邊形ABCD是矩形。
[證明] 若ABCD是平行四邊形，則它是矩形；若ABCD不共面，設過A，B，C的平面為α，過D作DD1 α于D1，見圖12-4，連結AD1，CD1，因為AB AD1，又因為DD1 平面α，又AB α，所以DD1 AB，所以AB 平面ADD1，所以AB AD1。同理BC CD1，所以ABCD1為矩形，所以∠AD1C=900，但AD1<AD,CD1<CD，所以AD2+CD2=AC2= ，與 <AD2+CD2矛盾。所以ABCD是平面四邊形，所以它是矩形。
例6 一個四面體有兩個底面上的高線相交。證明：它的另兩條高線也相交。
[證明] 見圖12-5，設四面體ABCD的高線AE與BF相交于O，因為AE 平面BCD，所以AE CD，BF 平面ACD，所以BF CD，所以CD 平面ABO，所以CD AB。設四面體另兩條高分別為C，DN，連結CN，因為DN 平面ABC，所以DN AB，又AB CD，所以AB 平面CDN，所以AB CN。設CN交AB于P，連結PD，作 PD于 ，因為AB 平面CDN，所以AB ，所以 平面ABD，即 為四面體的高，所以 與C重合，所以C，DN為ΔPCD的兩條高，所以兩者相交。
例7 在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD中點，沿BE將ΔABE折起，并使AC=AD，見圖12-6。求證：平面ABE 平面BCDE。
[證明] 取BE中點O，CD中點，連結AO，O，OD，OC，則O//BC，又CD BC，所以O CD。又因為AC=AD，所以A CD，所以CD 平面AO，所以AO CD。又因為AB=AE，所以AO BE。因為ED≠BC，所以BE與CD不平行，所以BE與CD是兩條相交直線。所以AO 平面BC-DE。又直線AO 平面ABE。所以平面ABE 平面BCDE。
4．直線與平面成角問題。
例8 見圖12-7，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，G為BF的中點，將正方形沿EF折成1200的二面角，求AG和平面EBCF所成的角。
[解]設邊長AB=2，因為EF AD，又AD AB。所以EF AB，所以BG= ，又AE EF，BE EF，所以∠AEB=1200。過A作A BE于，則∠AE=600，E= ，A=AEsin600= .由余弦定理G2=B2+BG2-2B•BGcos∠BG= =2，所以G= 因為EF AE，EF BE，所以EF 平面AEB，所以EF A，又A BE，所以A 平面BCE。所以∠AG為AG與平面EBCF所成的角。而tan∠AG= 。所以AG與平面EBCF所成的角為 .
例9 見圖12-8，OA是平面α的一條斜角，AB α于B，C在α內(nèi)，且AC OC，∠AOC=α，∠AOB=β，∠BOC=γ。證明：cosα=cosβ•cosγ.
[證明] 因為AB α，AC OC，所以由三垂線定理，BC OC，所以OAcosβ=OB,OBcosγ=OC,又RtΔOAC中，OAcosα=OC，所以OAcosβcosγ=OAcosα，所以cosα=cosβ•cosγ.
5．二面角問題。
例10 見圖12-9，設S為平面ABC外一點，∠ASB=450，∠CSB=600，二面角A—SB—C為直角二面角，求∠ASC的余弦值。
[解] 作C SB于，N AS于N，連結CN，因為二面角A—SB—C為直二面角，所以平面ASB 平面BSC。又C SB，所以C 平面ASB，又N AS，所以由三垂線定理的逆定理有CN AS，所以SC•cos∠CSN=SN=SC•cos∠CS•cos∠ASB，所以cos∠ASC=cos450cos600= 。
例11 見圖12-10，已知直角ΔABC的兩條直角邊AC=2，BC=3，P為斜邊AB上一點，沿CP將此三角形折成直二面角A—CP—B，當AB= 時，求二面角P—AC—B的大小。
[解] 過P作PD AC于D，作PE CP交BC于E，連結DE，因為A—CP—B為直二面角，即平面ACP 平面CPB，所以PE 平面ACP，又PD CA，所以由三垂線定理知DE AC，所以∠PDE為二面角P—AC—B的平面角。設∠BCP=θ，則cos∠ECD=cosθ•cos(900-θ)=sinθcosθ，由余弦定理cos∠ACB= ，所以sinθcosθ= ，所以sin2θ=1.又0<2θ<π，所以θ= ，設CP=a，則PD= a,PE=a.所以tan∠PDE=
所以二面角P—AC—B的大小為 。
6．距離問題。
例12 正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為a，求對角線AC與BC1的距離。
[解] 以B為原點，建立直角坐標系如圖12-11所示。設P，Q分別是BC1，CA上的點，且 ，各點、各向量的坐標分別為A(a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0)， ,所以 ，所以 a×a+ a×a=0, a×a- a×a=0.所以 。所以PQ為AC與BC1的公垂線段，所以兩者距離為
例13 如圖12-12所示，在三棱維S—ABC中，底面是邊長為 的正三角形，棱SC的長為2，且垂直于底面，E，D分別是BC，AB的中點，求CD與SE間的距離。
[分析] 取BD中點F，則EF//CD，從而CD//平面SEF，要求CD與SE間的距離就轉(zhuǎn)化為求點C到平面SEF間的距離。
[解] 設此距離為h，則由體積公式
計算可得SΔSEF=3， 所以
7．凸多面體的歐拉公式。
例14 一個凸多面體有32個面，每個面或是三角形或是五邊形，對于V個頂點每個頂點均有T個三角形面和P個五邊形面相交，求100P+10T+V。
[解] 因F=32，所以32-E+V=2，所以E=V+30。因為T+P個面相交于每個頂點，每個頂點出發(fā)有T+P條棱，所以2E=V(T+P). 由此得V(T+P)=2(V+30)，即V(T+P-2)=60. 由于每個三角形面有三條棱，故三角形面有 個，類似地，五邊形有 個，又因為每個面或者是三角形或者是五邊形，所以 =32，由此可得3T+5P=16，它的唯一正整數(shù)解為T=P=2，代入V(T+P-2)=60得V=30，所以100P+10T+V250。
8．與球有關的問題。
例15 圓柱直徑為4R，高為22R，問圓柱內(nèi)最多能裝半徑為R的球多少個？
[解] 最底層恰好能放兩個球，設為球O1和球O2，兩者相切，同時與圓柱相切，在球O1與球O2上放球O3與球O4，使O1O2與O3O4相垂直，且這4個球任兩個相外切，同樣在球O3與球O4上放球O5與球O6，……直到不能再放為止。
先計算過O3O4與過O1O2的兩平行面與圓柱底面的截面間距離為 。設共裝層，則(22- )R< R(-1)+2R≤22R，解得=15，因此最多裝30個。
9．四面體中的問題。
例16 已知三棱錐S—ABC的底面是正三角形，A點在側(cè)面SBC上的射影H是ΔSBC的垂心，二面角H—AB—C的平面角等于300，SA= 。求三棱錐S—ABC的體積。
[解] 由題設，AH 平面SBC，作BH SC于E，由三垂線定理可知SC AE，SC AB，故SC 平面ABE。設S在平面ABC內(nèi)射影為O，則SO 平面ABC，由三垂線定理的逆定理知，CO AB于F。同理，BO AC，所以O為ΔABC垂心。又因為ΔABC是等邊三角形，故O為ΔABC的中心，從而SA=SB=SC= ，因為CF AB，CF是EF在平面ABC上的射影，又由三垂線定理知，EF AB，所以∠EFC是二面角H—AB—C的平面角，故∠EFC=300，所以OC=SCcos600= ,SO= tan600=3，又OC= AB，所以AB= OC=3。所以VS—ABC= ×32×3= 。
例17 設d是任意四面體的相對棱間距離的最小值，h是四面體的最小高的長，求證：2d>h.
[證明] 不妨設A到面BCD的高線長AH=h，AC與BD間的距離為d，作AF BD于點F，CN BD于點N，則CN//HF，在面BCD內(nèi)作矩形CNFE，連AE，因為BD//CE，所以BD//平面ACE，所以BD到面ACE的距離為BD與AC間的距離d。在ΔAEF中，AH為邊EF上的高，AE邊上的高FG=d，作E AF于，則由EC//平面ABD知，E為點C到面ABD的距離（因E 面ABD），于是E≥AH=h。在RtΔEF與RtΔAHF中，由E≥AH得EF≥AF。又因為ΔAEH∽ΔFEG，所以 ≤2。所以2d>h.
注：在前面例題中除用到教材中的公理、定理外，還用到了向量法、體積法、射影法，請讀者在解題中認真總結。
三、基礎訓練題
1．正三角形ABC的邊長為4，到A，B，C的距離都是1的平面有__________個.
2．空間中有四個點E，F(xiàn)，G，H，命題甲：E，F(xiàn)，G，H不共面；命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙的__________條。
3．動點P從棱長為a的正方體的一個頂點出發(fā)，沿棱運動，每條棱至多經(jīng)過一次，則點P運動的最大距離為__________。
4．正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是面ADD1A1、面ABCD的中心，G為棱CC1中點，直線C1E，GF與AB所成的角分別是α，β。則α+β=__________。
5．若a,b為兩條異面直線，過空間一點O與a,b都平行的平面有__________個。
6．CD是直角ΔABC斜邊AB上的高，BD=2AD，將ΔACD繞CD旋轉(zhuǎn)使二面角A—CD—B為600，則異面直線AC與BD所成的角為__________。
7．已知PA 平面ABC，AB是⊙O的直徑，C是圓周上一點且AC= AB，則二面角A—PC—B的大小為__________。
8．平面α上有一個ΔABC，∠ABC=1050，AC= ，平面α兩側(cè)各有一點S，T，使得SA=SB=SC= ，TA=TB=TC=5，則ST=_____________.
9．在三棱錐S—ABC中，SA 底面ABC，二面角A—SB—C為直二面角，若∠BSC=450，SB=a，則經(jīng)過A，B，C，S的球的半徑為_____________.
10．空間某點到棱長為1的正四面體頂點距離之和的最小值為_____________.
11．異面直線a,b滿足a//α,b//β,b//α,a//β，求證：α//β。
12．四面體SABC中，SA，SB，SC兩兩垂直，S0，S1，S2，S3分別表示ΔABC，ΔSBC，ΔSCA，ΔSAB的面積，求證：
13．正三棱柱ABC—A1B1C1中，E在棱BB1上，截面A1EC 側(cè)面AA1C1C，（1）求證：BE=EB1；（2）若AA1=A1B1，求二面角EC-A1-B1C1的平面角。
四、高考水平訓練題
1．三棱柱ABC-A1B1C1中，為A1B1的中點，N為B1C與BC1的交點，平面AN交B1C1于P，則 =_____________.
2.空間四邊形ABCD中，AD=1，BC= ，且AD BC，BD= ，AC= ，則AC與BD所成的角為_____________.
3．平面α 平面β，α β=直線AB，點C∈α，點D∈β，∠BAC=450，∠BAD=600，且CD AB，則直線AB與平面ACD所成的角為_____________.
4．單位正方體ABCD—A1B1C1D1中，二面角A—BD1—B1大小為_____________.
5．如圖12-13所示，平行四邊形ABCD的頂點A在二面角α—N—β的棱N上，點B，C，D都在α上，且AB=2AD，∠DAN=450，∠BAD=600，若◇ABCD在半平面β上射影為為菜，則二面角α—N—β=_____________.
6．已知異面直線a,b成角為θ，點，A在a上，點N，B在b上，N為公垂線，且N=d，A=m，NB=n。則AB的長度為_____________.
7．已知正三棱錐S—ABC側(cè)棱長為4，∠ASB=450，過點A作截面與側(cè)棱SB，SC分別交于，N，則截面ΔAN周長的最小值為_____________.
8．l1與l2為兩條異面直線，l1上兩點A，B到l2的距離分別為a,b，二面角A—l2—B大小為θ，則l1與l2之間的距離為_____________.
9．在半徑為R的球O上一點P引三條兩兩垂直的弦PA，PB，PC，則PA2+PB2+PC2=_____________.
10．過ΔABC的頂點向平面α引垂線AA1，BB1，CC1，點A1，B1，C1∈α，則∠BAC與∠B1A1C1的大小關系是_____________.
11．三棱錐A—BCD中∠ACB=∠ADB=900，∠ABC=600，∠BAD=450，二面角A—CD—B為直角二面角。（1）求直線AC與平面ABD所成的角；（2）若為BC中點，E為BD中點，求A與CE所成的角；（3）二面角—AE—B的大小。
12．四棱錐P—ABCD底面是邊長為4的正方形，PD 底面ABCD，PD=6，，N分別是PB，AB的中點，（1）求二面角—DN—C的大��；（2）求異面直線CD與N的距離。
13．三棱錐S—ABC中，側(cè)棱SA，SB，SC兩兩互相垂直，為ΔABC的重心，D為AB中點，作與SC平行的直線DP，證明：（1）DP與S相交；（2）設DP與S的交點為 ，則 為三棱錐S—ABC外接球球心。
五、聯(lián)賽一試水平訓練題
1．現(xiàn)有邊長分別為3，4，5的三角形兩個，邊長分別為4，5， 的三角形四個，邊長分別為 ，4，5的三角形六個，用上述三角形為面，可以拼成_________個四面體。
2．一個六面體的各個面和一個正八面體的各個面都是邊長為a的正三角形，這兩個多面體的內(nèi)切球的半徑之比是一個既約分數(shù) ，那么mn=_________。
3．已知三個平面α，β，γ每兩個平面之間的夾角都是 ，且 =a, ，命題甲： ；命題乙：a,b,c相交于一點。則甲是乙的_________條。
4．棱錐—ABCD的底面是正方形，且A AB，如果ΔAD的面積為1，則能放入這個棱錐的最大球的半徑為_________.
5．將給定的兩個全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個所有二面角都相等的六面體，并且該六面體的最短棱長為2，則最遠兩個頂點間距離為_________。
6．空間三條直線a,b,c兩兩成異面直線，那么與a,b,c都相交的直線有_________條。
7．一個球與正四面體的六條棱都相切，正四面體棱長為a，這個球的體積為_________。
8．由曲線x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V1，滿足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的點(x,y)組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V2，則 _________。
9．頂點為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓圍上的點，B是底面圓內(nèi)的點，O為底面圓圓心，AB OB，垂足為B，OH PB，垂足為H，且PA=4，C為PA的中點，則當三棱錐C—HPC體積最大時，OB=_________。
10． 是三個互相垂直的單位向量，π是過點O的一個平面， 分別是A，B，C在π上的射影，對任意的平面π，由 構成的集合為_________。
11．設空間被分為5個不交的非空集合，證明：一定有一個平面，它至少與其中的四個集合有公共點。
12．在四面體ABCD中，∠BDC=900，D到平面ABC的垂線的垂足S是ΔABC的垂心，試證：(AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2)，并說明等號成立時是一個什么四面體？
13．過正四面體ABCD的高AH作一平面，與四面體的三個側(cè)面交于三條直線，這三條直線與四面體的底面夾角為α，β，γ，求tan2α+tan2β+tan2γ之值。
六、聯(lián)賽二試水平訓練題
1．能否在棱長為1的正方體形狀的盒子里放入三個彼此至多有一個公共點的棱長為1的正四面體？
2．P，Q是正四面體A—BCD內(nèi)任意兩點，求證：
3．P，A，B，C，D是空間五個不同的點，∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=θ，這里θ為已知銳角，試確定∠APC+∠BPD的最大值和最小值。
4．空間是否存在有限點集，使得對中的任意兩點A，B，可以在中另取兩點C，D，使直線AB和CD互相平行但不重合。
5．四面體ABCD的四條高AA1，BB1，CC1，DD1相交于H點（A1，B1，C1，D1分別為垂足）。三條高上的內(nèi)點A2，B2，C2滿足AA2：AA=BB2：B2B1=CC2：C2C1=2：1。證明：H，A2，B2，C2，D1在同一個球面上。
6．設平面α，β，γ，δ與四面體ABCD的外接球面分別切于點A，B，C，D。證明：如果平面α與β的交線與直線CD共面，則γ與δ的交線與直線AB共面。
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