專題七：思想方法專題
第二講 數(shù)形結(jié)合思想
【思想方法詮釋】
一、數(shù)形結(jié)合的思想
所謂的數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路 ，使問題得到解決，數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從形的直觀和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)兩方面思考問題，拓寬了解題思路，是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合．
數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化．
二、數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種：
1．構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍；
2．構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍；
3．構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系；
4．構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；
5．構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題；
6．構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；
7．構(gòu)建方程模型，求根的個數(shù)；
8．研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等。
三、數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常見方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時發(fā)揮奇特功效，具體操作時，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
1．準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；
2．用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）的解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達(dá)式（有時可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖）然后作出兩個函數(shù)的圖象，由圖求解。
四、在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點(diǎn)：
1．要清楚一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；
2．要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；
3．要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏；
4．精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，以便于問題求解。
【核 心要點(diǎn)突破】
要點(diǎn)考向1：利用數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)式的幾何意義解題
例1：實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+ax+2b=0有兩個根，一個根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一個根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求：
（1）點(diǎn)（a,b）對應(yīng)的區(qū)域的面積；
（2） 的取值范圍；
（3）(a-1)2+(b-2)2的值域．
思路精析：列出a,b滿足的條件→畫出點(diǎn)(a,b)對應(yīng)的區(qū)域→求面積→根據(jù) 的幾何意義求范圍→根據(jù)(a-1)2+(b-2)2的幾何意義求值域．
解析：方程x2+ax+2b=0的兩根在區(qū)間（0，1）和（1，2）上的幾何意義分別是：函數(shù)y=f(x)= x2+ax+2b與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別在區(qū)間（0，1）和（1，2）內(nèi)，
由此可得不等式組
由 ，解得A（-3，1）．
由 ，解得C（-1，0）．
∴在如圖所示的aOb坐標(biāo)平面內(nèi)，滿足條件的點(diǎn)(a,b)對應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)椤鰽BC（不包括邊界）．
（1）△ABC的面積為 （h為A到Oa軸的距離）．
（2） 幾何意義是點(diǎn)(a,b)和點(diǎn)D(1,2)邊線的斜率．
由圖可知
（3）∵(a-1)2+(b-2)2表示的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(a,b)與定點(diǎn)(1,2)之間距離的平方，
注：如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著明顯的幾何特征，就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解題，即所謂的幾何法求解，比較常見的對應(yīng)有：
（1） 連線的斜率；
（2） 之間的距離；
（3） 為直角三角形的三邊；
（4） 圖象的對稱軸為x= ．只要具有一定的觀察能力，再掌握常見的數(shù)與形的對應(yīng)類型，就一定能得心應(yīng)手地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法．
要點(diǎn)考向2：用數(shù)形結(jié)合求方程根的個數(shù)，解決與不等式有關(guān)的問題
例2：（1）已知：函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系：①f(x+1)=f(x-1);②當(dāng)x∈[-1,1]時，f(x)=x2,則方程f(x)=lgx解的個數(shù)是（ ）
(A)5 (B)7 (C)9 (D)10
(2)設(shè)有函數(shù)f(x)=a+ 和g(x)= ,已知x∈[-4,0]時，恒有f(x)≤g(x)，求實(shí)數(shù)a的范圍．
思路精析：（1）畫出f(x)的圖象→畫出y=lgx的圖象→數(shù)出交點(diǎn)個數(shù)．
（2）f(x)≤g(x)變形為 →畫出 的圖象→畫出 的圖象→尋找 成立的位置
解析：（1）選C．由題間可知，f(x)是以2為周期，值域?yàn)閇0，1]的函數(shù)．又f(x) =lgx，則x∈（0，10]，畫出兩函數(shù)圖象，則交點(diǎn)個數(shù)即為解的個數(shù)．由圖象可知共9個交點(diǎn)．
（2）f(x)≤g(x)，即 ，變形得 ，令 …………①， ………………②
①變形得 ，即表示以（-2，0）為圓心，2為半徑的圓的上半圓；
②表示斜率為 ，縱截距為1-a的平行直線系．設(shè)與圓相切的直線為AT，其傾斜角為 ，則有tan = , ,
要使f(x)≤g(x)在x∈[-4,0]時恒成立，則②成立所表示的直線應(yīng)在直線AT的上方或與它重合，故有1-a≥6,∴a≤-5．
注：（1）用函數(shù)的圖象討論方程（特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程）的解的個數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達(dá)式（不熟悉時，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)），然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象，圖象的交點(diǎn)個數(shù)即為方程解的個數(shù)．
（2）解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚�（或多個）函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來解決不等式的解的問題，往往可以避免繁瑣的運(yùn)算，獲得簡捷的解答．
（3）函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降；奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對稱性；最值（值域）經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
要點(diǎn)考向2：數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用
例3：已知橢圓 的中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn) ，且長軸長與短軸長的比是 ．
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）若橢圓 在第一象限的一點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 ，過點(diǎn) 作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線 ， 分別交橢圓 于另外兩點(diǎn) ， ，求證：直線 的斜率為定值；
（Ⅲ）求 面積的最大值．
解析：（ Ⅰ）設(shè)橢圓 的方程為 ．
由題意 ………………………………………………2分
解得 ， ．
所以橢圓 的方程為 ．………………………………………………4分
（Ⅱ）由題意知，兩直線 ， 的斜率必存在，設(shè) 的斜率為 ，則 的直線方程為 .
由 得
.………………6分
設(shè) ， ，則
，
同理可得 ，
則 ， .
所以直線 的斜率 為定值. ……………………………………8分
（Ⅲ）設(shè) 的直線方程為 .
由 得 .
由 ，得 .……………………………………10分
此時 ， .
到 的距離為 ，
則
.
因?yàn)?使判別式大于零，
所以當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號，
所以 面積的最大值為 ．………………………………………………………13分
注：1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想中一個非常重要的方面是以數(shù)輔形，通過方程等代數(shù)的方法來研究幾何問題，也就是解析法，解析法與幾何法結(jié)合來解題，會有更大的功效．
2．此類題目的求解要結(jié)合該類圖形的幾何性質(zhì)，將條件信息或結(jié)論信息結(jié)合在一起，觀察圖形特征，轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言，即方程（組）或不等式（組），從而將問題解決．
要點(diǎn)考向2：數(shù)形結(jié)合在立體幾何中的應(yīng)用
例4：如圖1,在直角梯形 中, , , , 為線段 的中點(diǎn).將 沿 折起,使平面 平面 ,得到幾何體 ,如圖2所示.
(Ⅰ) 求證: 平面 ；
(Ⅱ) 求二面角 的余弦值.
解析:（Ⅰ）在圖1中,可得 ,從而 ,故 .
取 中點(diǎn) 連結(jié) ,則 ,又面 面 ,
面 面 , 面 ,從而 平面 . …………………4分
∴ ， 又 , .
∴ 平面 . ……………………… ………………………6分
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示,則 , ,
, . ………………………………………………8分
設(shè) 為面 的法向量,
則 即 ,解得 .
令 ,可得 .
又 為面 的一個法向量，
∴ .
∴二面角 的余弦值為 .
注：1．應(yīng)用空間向量可以解決的常見問題有空間角中的異面直線所成的角、線面角、二面角；位置關(guān)系中的平行、垂直及點(diǎn)的空間位置．其一般思路是：盡量建立空間直角坐標(biāo)系，將要證、要求的問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算．
2．立體幾何問題的求解往往將題目所給信息先轉(zhuǎn)換成幾何圖形性質(zhì)，結(jié)合該類圖形的幾何性質(zhì)，將條件信息和結(jié)論信息結(jié)合在一起，觀察圖形特征，為代數(shù)法求解找到突破口．
【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題（每小題6分，共36分）
1.方程lgx=sinx的根的個數(shù)( )
(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個
2．已知全集U=R，集合A={xx2-3x-10<0},B={xx>3},則右圖中陰影部分表示的集合為( )
A．(3,5) B．(-2,+ ) C．(-2,5) D．(5,+ )
3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平面區(qū)域A={(x,y)x+y≤1,且x≥0,y≥0}，則平面區(qū)域B={(x+y,x-y)(x,y)∈A}的面積為（ ）
(A)2 (B)1 (C) (D)
4．函數(shù) 圖象如圖，則函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
5．不等式組 有解，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知f(x)是定義在（-3，3）上 的奇函數(shù)，當(dāng)0
二、填空題（每小題6分，共18分）
7．復(fù)數(shù)(x-2)+yi，其中x、y均為實(shí)數(shù)，當(dāng)此虛數(shù)的模為1時， 的取值范圍是
8.已知關(guān)于x的方程x2-4x+5=m有四個不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的范圍是_______.
9.設(shè)A={(x,y)x2+(y-1)2=1},B={(x,y)x+y+m≥0}，則使A?B成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.
三、解答題（10、11題每題15分，12題16分，共46分）
10．如圖，已知四棱錐 的底面是正方形， ⊥底面 ，且 ，點(diǎn) 、 分別 在側(cè)棱 、 上，且
（Ⅰ）求證： ⊥平面 ；
（Ⅱ）若 ，求平面 與平面 的所成銳
二面角的大小
11．如圖， ， 是通過某市開發(fā)區(qū)中心0的兩條南北和東西走向的道路，連接M、N兩地的鐵路是一段拋物線弧，它所在的拋物線關(guān)于直線L1對稱．M到L1、L2的距離分別是2 km、4km，N到L1、L2的距離分別是3 km、9 kin．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線弧MN的方程；
（Ⅱ）該市擬在點(diǎn)0的正北方向建設(shè)一座工廠，考慮到環(huán)境問題，要求 廠址到點(diǎn)0的距離大于5km而不超過8km，并且鐵路上任意一點(diǎn)到工廠的距離不能小于 km．求 此廠離點(diǎn)0的最近距離．（注：工廠視為一個點(diǎn)）
12．已知函數(shù)f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.
(1)求f(x)在區(qū)間［t,t+1］上的最大值h(t);
(2)是否存在實(shí)數(shù)m,使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由.
參考答案
1．【解析】選C.在同一坐標(biāo)系中作出y=lgx與y=sinx的圖象，如圖.其交點(diǎn)數(shù)為3.
2．答案：B
3．
作出不等式組表示的平面區(qū)域B，如圖所示，根據(jù)圖形可知該區(qū)域?yàn)榈妊苯侨切危汕蟪雒娣e ，所以平面區(qū)域B的面積為1．
4．答案：D
5．答案：A
6．【解析】選B.根據(jù)對稱性畫出
f(x)在（-3,0）上的圖象如
圖，結(jié)合y=cosx在(-3,0),
(0,3)上函數(shù)值的正負(fù),
易知不等式f(x)cosx<0的解集是
7．【解析】由題意知 ，設(shè) ，則k為過圓(x-2)2+y2=1上的點(diǎn)及原點(diǎn)的直線斜率，作圖如下：
又 由對稱性，可得答案：
答案：
8．【解析】令f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1，其圖象如圖.
畫直線y=m,由圖象知當(dāng)1
9．【解析】由于集合A，B都是點(diǎn)的集合,故可結(jié)合圖形進(jìn)行分析、求解.集合A是一個圓x2+(y-1)2=1上的點(diǎn)的集合,集合B是一個不等式x+y+m≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的集合, 要使A B，則應(yīng)使圓被平面區(qū)域所包含（如圖 ），
即直線x+y+m=0應(yīng)與圓相切或相離(在圓的下方)，而當(dāng)直線與圓相切時有
故m的取值范圍是m≥ -1.
答案：m≥ -1
10．解：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 又
PA=AD=2，則有P（0，0，2），D（0，2，0）
……3分
（Ⅰ）
又 ……………7分
（Ⅱ）設(shè) 則有
同理可得 即得 ………………9分
由
而平面PAB的法向量可為
故所求平面AMN與PAB所成銳二面角的大小為 …………12分
11．解析：（1）分別以 、 為 軸、 軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則M（2，4），N（3，9）
設(shè)MN所在拋物線的方程為 ，則有
，解得
∴所求方程為 （2≤ ≤3）5分
（說明：若建系后直接射拋物線方程為 ，代入一個點(diǎn)坐標(biāo)求對方程，本問扣2分）
（2）設(shè)拋物線弧上任意一點(diǎn)P（ ， ）（2≤ ≤3）
廠址為點(diǎn)A（0， ）（5＜t≤8 ，由題意得 ≥
∴ ≥07分
令 ，∵2≤ ≤3，∴4≤ ≤9
∴對于任意的 ，不等式 ≥0恒成立（*）8分
設(shè) ，∵ ≤8
∴ ≤ .
要使（*）恒成立，需△≤0，即 ≤010分
解得 ≥ ，∴ 的最小值為
所以，該廠距離點(diǎn)O的最近距離為6.25km12分
12．【解析】（1）f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.
①當(dāng)t+1<4即t<3時，f(x)在
［t,t+1］上單調(diào)遞增(如圖①).
h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)
=-t2+6t+7.
②當(dāng)t≤4≤t+1即3≤t≤4時，f(x)的最大值為h(t)=f(4)=16(如圖②)
③當(dāng)t>4時，f(x)在［t,t+1］上單調(diào)遞減（如圖③），
h(t)=f(t)=-t2+8t.
(2)函數(shù)y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點(diǎn)，即函數(shù)φ(x)=g(x)-f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點(diǎn).
∵φ(x)=x2-8x+6lnx+m,
當(dāng)x∈(0,1)時φ′(x)>0,φ(x)是增函數(shù);
當(dāng)x∈(1,3)時,φ′(x)<0,φ(x)是減函數(shù);
當(dāng)x∈(3,+∞)時,φ′(x)>0,φ(x)是增函數(shù);
當(dāng)x=1或x=3時，φ′（x）=0.
∴φ(x)極大值=φ（1）=m-7,
φ(x)極小值=φ（3）=m+6ln3-15.
∵當(dāng)x充分接近0時，φ（x）<0，
當(dāng)x充分大時,φ(x)>0,
∴要使φ(x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點(diǎn)，
即7
【備課資源】
4.已知函數(shù)f(x)=x2+2x,若關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個不同的實(shí)數(shù)根，則b，c的大小關(guān)系是( )
(A)b>c
(B)b≥c或b≤c中至少有一個正確
(C)b
【解析】選C.f(x)=x2+2x的圖象如圖.要使關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個不同的實(shí)數(shù)根，則關(guān)于f(x)的一元二次方程f2(x)+bf(x)+c=0有兩個不同的根.且一個根在（0,1）內(nèi)，另一個根為1.
∴b
【解析】∵曲線y= 的定義域?yàn)椋?,3］，且其圖象為圓(x-2)2+y2=1的下半圓，如圖所示，
則直線y=kx-1要與曲線有公共點(diǎn)，則直線只能處于l1,l2之間，且可與l1、l2重合，則k的取值范圍是［0，1］.
答案：［0，1］
6.已知有向線段PQ的起點(diǎn)P與終點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為P(-1,1)，
Q（2,2）.若直線l:x+my+m=0與有向線段PQ延長線相交，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
8.集合A={x-1
(2)若A∪B={xx<1},求a的取值范圍.
【解析】(1)如圖所示：A={x-1
B={xx
∴a≤-1.
(2)如圖所示：A={x-1
B={xx
∴-1
(1)證明AC⊥NB;
(2)若∠ACB=60°,求NB與平面ABC所成角的余弦值.
【解析】如圖，
建立空間直角坐標(biāo)系M-xyz.令MN=1,則有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0).
(1)∵M(jìn)N是l1、l2的公垂線，l1⊥l2,∴l(xiāng)2⊥平面ABN，
∴l(xiāng)2平行于z軸.故可設(shè)C(0,1,m).于是
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