專題四：立體幾何
第三講 空間向量與立體幾何
【最新考綱透析】
1．空間向量及其運算
（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的線性運算及其坐標表示。
（2）掌握空間向量的線性運算及其坐標表示。
（3）掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。
2．空間向量的應用
（1）理解直線的方向向量與平面的法向量。
（2）能用向量語言表述直線與直線，直線與平面，平面與平面的垂直、平行關系。
（3）能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）。
（4）能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何 問題中的應用。
【核心要點突破】
要點考向1：利用空間向量證明空間位置關系
考情聚焦：1．平行與垂直是空間關系中最重要的位置關系，也是每年的必考內(nèi)容，利用空間向量判斷空間位置關系更是近幾年高考題的新亮點。
2．題型靈活多樣，難度為中檔題，且常考常新。
考向鏈接：1．空間中線面的平行與垂直是立體幾何中經(jīng)常考查的一個重要內(nèi)容，一方面考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；另一個方面考查“向量法”的應用。
2．空間中線面的平行與垂直的證明有兩個思路：一是利用相應的判定定理和性質(zhì)定理去解決；二是利用空間向量來論證。
例1：（2010?安徽高考理科?Ｔ18）如圖，在多面體 中，四邊形 是正方形， ∥ ， ， ， ， ， 為 的中點。
(1)求證： ∥平面 ；
(2)求證： 平面 ；
(3)求二面角 的大小。
【命題立意】本題主要考查了空間幾何體的 線面平行、線面垂直的證明、二面角的求解的問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力。
【思路點撥】可以采用綜合法證明，亦可采用向量法證明。
【規(guī)范解答】
(1)
(2)
(3)
【方法技巧】1、證明線面平行通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行；
2、證明線面垂直通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；
3、確定二面角的大小，可以先構造二面角的平面角，然后轉(zhuǎn)化到一個合適的三角形中進行求解。
4、以上立體幾何中的常見問題，也可以采用向量法建立空間直角坐標系，轉(zhuǎn)化為向量問題進行求解證明。應用向量法解題，思路簡單，易于操作，推薦使用。
要點考向2：利用空間向量求線線角、線面角
考情聚焦：1．線線角、線面角是高考命題的重點內(nèi)容，幾乎每年都考。
2．在各類題型中均可出現(xiàn)，特別以解答題為主，屬于低、中檔題。
考向鏈接：1．利用空間向量求兩異面直線所成的角,直線與平面所成的角的方法及公式為:
（1）異面直線所成角
設 分別為異面直線 的方向向量，則
（2）線面角
設 是直線 的方向向量， 是平面的法向量，則
2．運用空間向量坐標運算求空間角的一般步驟為：
（1）建立恰當?shù)目臻g直角坐標。（2）求出相關點的坐標。（3）寫出向量坐標。（4）結合公式進行論證、計算。（5）轉(zhuǎn)化為幾何結論。
例2：（2010?遼寧高考理科?Ｔ19）已知三棱錐P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC= AB，N為AB上一點，AB=4AN,M,S分別 為PB,BC的中點.
（Ⅰ）證明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小.
【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、線面角的求解以及幾何體的計算問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力。
【思路點撥】建系，寫出有關點坐標、向量的坐標，
計算 的數(shù)量積，寫出答案；
求平面CMN的法向量，求線面角的余弦，求線面角，寫出答案。
【規(guī)范解答】
設PA＝1，以A為原點，射線AB、AC、AP分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系，如圖。
則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, )，N( ,0,0)，S(1, ,0)
（I）
【方法技巧】（1）空間中證明線線，線面垂直，經(jīng)常用向量法。
（2）求線面角往往轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角問題來解決。
（3）線面角的范圍是0°～90°，因此直線的方向向 量與平面法向量的夾角的余弦是非負的，要取絕對值。
要點考向3：利用空間向量求二面角
考情聚焦：1．二面角是高考命題的重點內(nèi)容，是年年必考的知識點。
2．常以解答題的形式出現(xiàn)，屬中檔題或高檔題。
考向鏈接：求二面角最常用的辦法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。
其計算公式為：設 分別為平面 的法向量，則 與 互補或相等，
例3：（2010?天津高考理科?Ｔ１9）
如圖，在長方體 中， 、 分別是棱 ,
上的點， ,
求異面直線 與 所成角的余弦值；
證明 平面
求二面角 的正弦值。
【命題立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力。
【思路點撥】建立空間直角坐標系或常規(guī)方法處理問題。
【規(guī)范解答】方法一：以A為坐標原點，AB所在直線為X軸，AD所在直線為Y軸建立空間直角坐標系（如圖所示），設 ,依題意得 , , ,
易得 , ，于是 ，
所以異面直線 與 所成角的余弦值為 。
證明：已知 , ,
于是 ? =0， ? =0.因此， , ,又
所以 平面
(3)解：設平面 的法向量 ，則 ,即
不妨令X=1,可得 。由（2）可知， 為平面 的一個法向量。
于是 ，從而
所以二面角 的正弦值為
要點考向4：利用空間向量解決探索性問題
考情聚焦：立體幾何中已知結論尋求結論成立的條件（或是否存在問題），能較好地考查學生的邏輯推理能力和空間想象能力，是今后考查的重點，也能很好地體現(xiàn)新課標高考的特點。
例4：（2010?福建高考理科?Ｔ18）如圖，圓柱OO1內(nèi)有一個三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑。
（I）證明：平面A1ACC1 平面B1BCC1；
（II）設AB＝AA1,在圓柱OO1內(nèi)隨機選取一點，記該點取自三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)的概率為p。
（i）當點C在圓周上運動時，求p的最大值；
（ii）記平面A1ACC1與平面B1OC所成的角為 （ ）。當p取最大值時，求cos 的值。
【命題立意】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力；考查數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想。
【思路點撥】第一步先由線線垂直得到線面垂直，再由線面垂直得到面面垂直；第二步首先求出長方體的體積，并求解三棱柱的體積的最大值，利用體積比計算出幾何概率。立體幾何中 我們可以利用向量處理角度問題，立體幾何中涉及的角：有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等。關于角的計算，均可歸結為兩個向量的夾角。對于空間向量 ，有 ，利用這一結論，我們可以較方便地處理立體幾何中的角的問題。
【規(guī)范解答】 （I） 平面 ， 平面 ， ，又 是 的直徑， ，又 ， 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 ；
（II）（i）設圓柱的底面半徑為 ，則 ，故圓柱的體積為 ，設三棱柱ABC-A1B1C1,的體積為 ，所以 ，所以當 取得最大值時 取得最大值。又因為點 在圓周上運動，所以當 時， 的面積最大，進而，三棱柱ABC-A1B1C1,的體積 最大，且其最大值為 ，故 的最大值為 ；
（ii）由（i）知， 取最大值時， ，于是，以 為坐標原點，建立空間直角坐標系 ，則 平面 ， 是平面 的一個法向量，設平面 的法向量為 ，由于 ， ，
所以平面 的一個法向量為 ， ， 。
【方法技巧】立體幾何中我們可以利用空間向量處理常見的問題，本題的（II）（i）也可以采用向量法進行證 明：以 為坐標原點，建立空間直角坐標系 ，設圓柱的底面半徑為 ， ，則 ，故圓柱的體積為 ，設三棱柱ABC-A1B1C1,的體積為 ，所以 ，所以當 取得最大值時 取得最大值。 ，所以當 時的 的面積最大，進而，三棱柱ABC-A1B1C1,的體積 最大，且其最大值為 ，故 的最大值為 ；
【高考真題探究】
1. （2010?廣東高考理科?Ｔ１0）若向量 =（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),滿足條件 =-2,則 = .
【命題立意】本題考察空間向量的坐標運算及向量的數(shù)量積運算.
【思路點撥】 先算出 、 ，再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出
【規(guī)范解答】 ， ，由
得 ，即 ，解得
【答案】2
2. （2010?浙江高考理科?Ｔ20）如圖， 在矩形 中，點 分別在線段
上， .沿直線 將 翻折成 ，使平面 .
（Ⅰ）求二面角 的余弦值；
（Ⅱ）點 分別在線段 上，若沿直線 將四邊形 向上翻折，使 與 重合，求線段 的長。
【命題立意】本題主要考察空間點、線、面位置關系，二面角等基礎知識，考查空間向量的應用，同時考查空間想象能力和運算求解能力。
【思路點撥】方法一利用相應的垂直關系建立空間直角坐標系，利用空間向量解決問題；方法二利用幾何法解決求二面角問題和翻折問題。
【規(guī)范解答】方法一：（Ⅰ）取線段EF的中點H，連結 ，因為 = 及H是EF的中點，所以 ,又因為平面 平面 .
如圖建立空間直角坐標系A-xyz，則 （2，2， ），C（10，8，0），F(xiàn)（4，0，0），D（10，0，0）. 故 =（-2，2，2 ）， =（6，0，0）.設 =（x,y,z）為平面 的一個法向量，所以 。
取 ，則 。
又平面 的一個法向量 ，故 。
所以二面角的余弦值為
（Ⅱ）設 ，則 ， ，
因為翻折后， 與 重合，所以 ， ，
故， ，得 ， ，
所以 。
3. （2010?陜西高考理科?Ｔ１8）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB=2， BC= ，E，F(xiàn)分別是AD,PC的中點.
（Ⅰ）證明：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF與平面BAP夾角的大小。
【命題立意】本題考查了空間幾何體的的線線、線面垂直、以及二面角的求解問題，考查了同學們的空間想象能力以及空間思維能力以及利用空間向量解決立體幾何問題的方法與技巧。
【思路點撥】思路一：建立空間直角坐標系，利用空間向量求解；思路二：利用幾何法求解.
【規(guī)范解答】解法一 （Ⅰ）如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系.∵AP=AB=2， BC= ，四邊形ABCD是矩形.
∴A，B，C，D的坐標為A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, ,0)，D(0， ，0)，P(0,0,2)
又E，F(xiàn)分別是AD ，PC的中點，
∴E(0， ，0),F(1， ，1).
∴ =（2， ，-2） =（-1， ，1） =（1,0, 1），
∴ ? =-2+4-2=0， ? =2+0-2=0，
∴ ⊥ ， ⊥ ，
∴PC⊥BF,PC⊥EF, ,
∴PC⊥平面BEF
（II）由（I）知平面BEF的法向量
平面BAP 的法向量
設平面BEF與平面BAP的夾角為 ，
則
∴ ， ∴ 平面BEF與平面BAP的夾角為
4. （2010?重慶高考文科?Ｔ20）如題圖，四棱錐 中，
底面 為矩形， ， ，
點 是棱 的中點.
（I）證明： ；
（II）若 ，求二面角 的平面角的余弦值.
【命題立意】本小題考查空間直線與直線、直線與平面的位置關系，
考查余弦定理及其應用，考查空間向量的基礎知識和在立體幾何中的應用，考查空間想象能力，推理論證能力，運算求解能力，考查數(shù)形結合的思想，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想.
【思路點撥】（1）通過證明線線垂直證明結論：線面垂直，（II）作出二面角的平面角，再利用三角函數(shù)、余弦定理等知識求余弦值.或建立空間直角坐標系，利用向量的坐標運算證明垂直和求出有關角的三角函數(shù)值.
【規(guī)范解答】（I）以 為坐標原點，
射線 分別為 軸、 軸、 軸的正半軸，
建立空間直角坐標系 .如圖所示.
設設 ，則 ， ， ， 。于是 ， ， ，則 ，
所以 ，故 .
（II）設平面BEC的法向量為 ，由（Ⅰ）知， ，故可取 .設平面DEC的法向量 ，則 ，，由 ，得D ，G ，
從而 ， ，故 ，所以 ， ，可取 ，則 ，從而 .
【方法技巧】（1）用幾何法推理證明、計算求解；（2）空間向量坐標法，通過向量的坐標運算解題.
5. （2010?江西高考文科?Ｔ２０）
如圖， 與 都是邊長為2的正三角形，
平面 平面 ， 平面 ， .
（1）求直線 與平面 所成的角的大小；
（2）求平面 與平面 所成的二面角的正弦值.
【命題立意】本題主要考查空間幾何體的線線、線面與面面垂直關系及平行關系，考查空間線面角、二面角的問題以及有關的計算問題，考查空間向量的坐標運算，考查數(shù)形結合思想，考查考生的空間想象能力、推理論證能力、劃歸轉(zhuǎn)化能力和運算求解能力。
【思路點撥】本題主要有兩種方法，法一：幾何法（1）直接找出線面角，然后求解；
（2）對二面角的求法思路， 一般是 分三步①“作”，②“證”，③“求”. 其中“作”是關鍵， “證”
是難點.法二：建立空間直角坐標系，利用空間向量中的法向量求解.
【規(guī)范解答】取CD中點O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD，又平面 平面 ,則MO⊥平面 .
以O為原點，直線OC、BO、OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系如圖.
OB=OM= ，則各點坐標分別為O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0， ），B（0，- ，0），A（0，- ，2 ），
（1）設直線AM與平面BCD所成的角為 .
因 （0， ， ），平面
的法向量為 .則有
，所以 .
（2） ， .
設平面ACM的法向量為 ，由 得 .
解得 ， ，取 .又平面BCD的法向量為 ，
則
設所求二面角為 ，則 .
6. （2010?四川高考理科?Ｔ18）
已知正方體 的棱長為1，點 是棱 的中點，
點 是對角線 的中點.
（Ⅰ）求證： 為異面直線 和 的公垂線；
（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）求三棱錐 的體積.
【命題立意】本題主要考查異面直線、直線與平面垂直、
二面角、正方體、三棱錐體積等基礎知識，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應用向量知識解決數(shù)學問題的能力，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想.
【思路點撥】方法一：幾何法 問題（Ⅰ），分別證明 ， 即可.
問題（II）首先利用三垂線定理，作出二面角 的平面角， 然后通過平面角所在的直角三角形，求出平面角的一個三角函數(shù)值，便可解決問題.
問題（Ⅲ）選擇便于計算的底面和高，觀察圖形可知， 和 都在平面 內(nèi)，且 ，故 ，利用三棱錐的體積公式很快求出 .
方法二：建立空間直角坐標系，利用空間向量中的法向量求解.
【規(guī)范解答】(方法一)：（I）連結 .取 的中點 ，則 為 的中點，連結 .
∵點 是棱 的中點，點 是 的中點，
由 ，得 .
∵ ，∴ .
∴ .∴ .
又∵ 與異面直線 和 都相交，
故 為異面直線 和 的公垂線，
（II）取 的中點 ，連結 ，則 ，
過點 過點 作 于 ，連結 ，則由三垂線
定理得， .
∴ 為二面角 的平面角.
.
在 中.
故二面角 的大小為 .
（III）易知， ,且 和 都在平面 內(nèi)，
點 到平面 的距離 ，
∴ .
(方法二)：以點 為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 ，
則 ， ， ， ， ，
（I） ∵點 是棱 的中點，點 是 的中點，
∴ , ， , , .
, ,
∴ , ,
又∵ 與異面直線 和 都相交，
故 為異面直線 和 的公垂線，
（II）設平面 的一個法向量為 ，
， .
即
取 ，則 . .
取平面 的 一個法向量 .
，
由圖可知，二面角 的平面角為銳角，
故二面角 的大小為 .
（III）易知， ，設平面 的一個法向量為 ，
, ,
即
取 ，則 ，從而 .
點 到平面 的距離 .
.
【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題(每小題6分，共36分)
1.已知點A（-3,1,-4），則點A關于x軸的對稱點的坐標為( )
(A)（-3,-1,4）
(B)(-3,-1,-4)
(C)(3,1,4)
(D)(3,-1,-4)
2.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中點，AB1⊥BC1，則平面DBC1與平面CBC1所成的角為( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
3. 設動直線 與函數(shù) 和 的圖象分別交于 、 兩點，則 的最大值為（ ）
A． B． C．2 D．3
4. 在直角坐標系中，設 ， ，沿 軸把坐標平面折成 的二面角后， 的長為（ ）
A． B． C． D．
5. 矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B－AC－D，則四面體ABCD的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
6. 如圖：在平行六面體 中， 為 與 的交點。若 ， ， 則下列向量中與 相等的向量是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
二、填空題（每小題6分，共18分）
7． ， ， 是空間交于同一點 的互相垂直的三條直線，點 到這三條直線的距離分別為 , , ，則 ,則 _ _。
8．平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=1，且AB、AD、AA1兩兩之間夾角均為600，則 ? =
9．將正方形 沿對角線 折成直二面角后，有下列四個結論：
（1） ； （2） 是等邊三角形；
（3） 與平面 成60° ； （4） 與 所成的角為60°．
其中正確結論的序號為_________（填上所有正確結論的序號）．
三、解答題（共46分）
10. 如圖，在四棱錐P—ABCD中， 底面是邊長為 2的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD相交于點O， ,E、F分別是BC、AP的中點．
（1）求證：EF∥平面PCD；
（2）求二面角A—BP—D的余弦值．
11. 某組合體由直三棱柱 與正三棱錐 組成，如圖所示，其中， ．它的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的面積分別為 +1， ， +1．
（1）求直線 與平面 所成角的正弦；
（2）在線段 上是否存在點 ，使 平面 ，若存在，確定點 的位置；若不存在，說明理由．
12. 如圖，三棱柱 中， 面 ，
, ， ， 為 的中點。
(I)求證： 面 ；
(Ⅱ)求二面角 的余弦值
參考答案
1．【解析】選A.∵點A關于x軸對稱點的規(guī)律是在x軸上的坐標不變，在y軸，z軸上的坐標分別變?yōu)橄喾磾?shù)，∴點A（-3，1，-4）關于x軸的對稱點的坐標為（-3,-1,4）.
2．【解析】選B.以A為坐標原點，AC、AA1分別為y軸和z軸建立空間直角坐標系.設底面邊長為2a.側(cè)棱長為2b.
3．D
4．D
5．C
6．A
7．64
8．3
9．（1）（2）（4）
10．解：（1）證明：取PD的中點G，連接FG、CG
∵FG是△PAD的中衛(wèi)縣 ，∴FG ，
在菱形ABCD中，AD BC，又E為BC的中點，
∴CE FG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，
∴EF∥CG
又EF 面PCD，CG 面PCD，
∴EF∥面PCD
（2）法1：以O為原點，OB，OC，OP所在直線分別為 、 、 軸建立如
圖所示的空間直角坐標系。
則0（0，0，0），A（0， ，0），B（1，0，0） （0，0， ）
=（1， ，0） =（0， ， ）
設面ABP的發(fā)向量為 ，則
，即 即
取
又 ， ，
∴OA⊥面PBD，∴ 為面PBD的發(fā)向量，
∴ =（0， ，0）
.
所以所求二面角的余弦值為
法2：在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵OP⊥面ABCD，AC 面ABCD，
∴AC⊥OP，OP BD=0，
∴AC⊥面PBD，AC⊥BP，
在面PBD中，過O作ON⊥PB，連AN，PB⊥面AON，則AN⊥PB。
即∠ANO為所求二面角的平面角
AO=ABcos30°=
在Rt△POB中，
，
∴
∴cos∠ 。
所以所求二面角的余弦值為
11．【解析】
12．解：（1）連接B1C，交BC1于點O，則O為B1C的中點，
∵D為 AC中點 ∴OD∥B1A
又B1A 平面BDC1，OD 平面BDC1
∴B1A∥平面BDC1
（2）∵AA1⊥面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1
∴CC1⊥面ABC 則BC⊥平面AC1，CC1⊥AC
如圖以C為坐標原點，CA所在直線為X軸，CB所在直線為Y軸， 所在直線為 軸建立空間直角坐標系 則C1(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0)
∴設平面 的法向量為 由 得
，取 ， 則
又平面BDC的法向量為
cos
∴二面角C1—BD—C的余弦值為
【備課資源】
1.已知兩條異面直線a、b所成的角為40°，直線l與a、b所成的角都等于θ，則θ的取值范圍是( )
(A)［20°,90°］(B)［20°,90°)
(C)(20°,40°］(D)［70°,90°］
【解析】選A.
取空間任一點O，將直線a,b,l平移到過O點后分別為a′,b′,l′，則l′與a′,b′所成的角即為l與a,b所成的角.當l′與a′,b′共面時θ最小為20°.當l′與a′,b′確定的平面垂直時，θ最大為90°.故θ的取值范圍為［20°,90°］.
3.如圖甲,直角梯形ABCD中,AB∥CD, ∠DAB= ,點M、N分別在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC=2，MB=4，現(xiàn)將梯形 ABCD沿MN折起，使平面AMND與平面MNCB垂直(如圖乙).
(1)求證：AB∥平面DNC；
(2)當DN的長為何值時，二面角D-BC-N的大小為30°？
本文來自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/gaosan/72662.html
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