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江蘇省南京、鹽城市屆高三第二次模擬考試 數(shù) 學(xué) .03注意事項(xiàng)：1．本試卷共160分考試時(shí)120分鐘．2．答題前，務(wù)必將自己的班級、寫在答題考試結(jié)束后，交回答題．公式：V＝中S為式：SπRh，其中為一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分. 不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上）1．函數(shù)＝＋的定義域?yàn)?．(i為虛數(shù)單位，aR)．若z1z2為實(shí)數(shù)，則a的值為 ▲ ．3．某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成績進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了150分到450分之間的1000名學(xué)生的成績，并根據(jù)這1000名學(xué)生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，則成績在[300，350)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)共有 ▲ ．4．5．a(chǎn)n}的公差d不為0，且a1，a3，a7成等比數(shù)列，則的值為 ▲ ．6．執(zhí)行如圖所示的程圖，則輸出的的值7．(ωx＋φ)(ω，φ為常數(shù)，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π))的．－＝1(a＞b＞0)2＝4x的準(zhǔn)線相交于A，B兩點(diǎn)．若△AOB的面積為2，則雙曲線的離心率為 ▲ ．9．π的圓柱，當(dāng)其體積最大時(shí)，該圓柱的底面半徑與高的比為10．已知＝1，＝，＝＝，則的為 ▲ ．1．(5，3)作直線l與圓x2＋2＝12．＞為 ▲ ．1．在中，，則實(shí)數(shù)的取值范圍14．＝＋＋＝為二、解答題（本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）15．(本小題滿分14分)如圖，四棱錐－中，為矩形，平面平面， BP＝為的中點(diǎn) （1）求證：平面； （2）求證：平面．16．(本小題滿分14分)α的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，終邊與單位圓O交于點(diǎn)A(x1 ，y1 )，α∈(，α終邊繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交單位圓于點(diǎn)B(x2，y2)．（1）若x1＝，求x2；（2）過A，B作x軸的垂線，垂足分別為C，D，記△AOC及 △BOD的面積分別為S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值．17．(本小題滿分14分)如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉庫M、N (異于村莊A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米)．如何設(shè)計(jì)，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn))．18． (本小題滿分16分)已知橢圓C∶＋＝1(a＞b＞0)焦點(diǎn)為焦距為，準(zhǔn)線方程為＝2（1）求橢圓的方程；(0，b)，求過P，Q，F(xiàn)2三點(diǎn)的圓的方程；（3）若＝λλ∈[，?的最大值．19．(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)＝R，且a＞（1）＝＝，求函數(shù)的極值（2）設(shè)g(x)＝(x－)ex－f(x)．① 當(dāng)a＝，(0，＋)，都有g(shù)(x)≥1成立，求的值② 設(shè)g′(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)．若存在x＞1使g(x)＋g′(x)＝成立，求的取值范圍20．(本小題滿分16分)n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差數(shù)列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比數(shù)列．（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；（2）設(shè)a1＜n∈N*，且n≥2，都有＜南京市屆高三 .03注意事項(xiàng)：1．本試卷共．答題前，務(wù)必將自己的班級、寫在答題考試結(jié)束后，交回答題．答卷卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．選修4—1：幾何證明選講如圖△ABC為圓的內(nèi)接三角形＝為圓的弦且∥AC．過點(diǎn)作圓的切線與的延長線交于點(diǎn)與交于點(diǎn) （1）求證：四邊形ACBE為平行四邊形；＝＝CF的長.B．選修4—2：矩陣與變換 的一個(gè)特征值為2，其對應(yīng)的一個(gè)特征向量為α＝． （1）求矩陣A； （2）若A＝，求x，y的值．C．選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，(＝2cosθ關(guān)于直線θ＝(()對稱的曲線的極坐標(biāo)方程．D．選修4—5：不等式選講已知R，且x＋，x－，求證：x＋【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．請?jiān)诖鹁砜ㄖ付▍^(qū)域內(nèi)作答．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．22．（本小題滿分10分）某申請AB，C三每位申請其中一，且申請其中是等可能的（）求有2人申請A的概率（）申請個(gè)數(shù)分布列與期望(X)．23．（本小題滿分10分） n)是定義在N*上的增函數(shù)，f(4)＝5，且滿足：①任意n∈N*，f(n)Z；②任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；（2）求f(n)的表達(dá)式．參考答案一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分.1(0，1] 2．4 3．300 4． 5．2 6．4 7．1 8． 9． 10．60° 11．1或 12．2－2 13．(，) 14．[－1，1]二、解答題15．證：（1）設(shè)AC連結(jié)因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)是的中點(diǎn)是中點(diǎn)平面BDE，OE平面BDE，所以AP∥平面BDE． …………………………………………6分（2）平面平面平面平面＝所以BC⊥平面平面因?yàn)镻B⊥PA，BC∩PB＝，平面PBC，所以PA⊥平面PBC． …………………………………………12分因?yàn)锽E平面因?yàn)锽P＝，平面PAC，所以BE⊥平面PAC． …………………………………………14分16．，y1＞0，所以y1＝＝． 所以sinα＝，cosα＝． ………………………2分所以x2＝cos(α＋)＝αcos－αsin＝－ 解法二：因?yàn)閤1＝，y1＞0，所以y1＝＝．A(，)，則＝(，)，…………2分＝?＝cos∠AOB，所以x2＋y2＝ ……4分 又x22＋y22＝1，聯(lián)立消去y2得50 x22－30x2－7＝0 解得x2＝－或，又x2＜0，所以x2＝－． ………………………6分 解法三：因?yàn)閤1＝，y1＞0，所以y1＝＝． 因此A(，)，所以tanα＝．………2分α＋)＝＝－7，所以直線OB的方程為y＝－7x ……………4分 由得x＝±，又x2＜0，所以x2＝－． …………………6分（2）S1＝sinαcosα＝－sin2α． …………………………………………8分因?yàn)棣?，)，所以α＋()． 所以S2sin(α＋)(α＋)＝－(2α＋)＝－α．……………………………10分 因?yàn)镾1＝S2，所以α＝－cos2α，即tan2α＝－． …………………………………12分 所以＝－，解得tanαα＝－． 因?yàn)棣?，)，所以tanα＝2．………14分解：設(shè)∠AMN＝θ，在△A＝．因?yàn)镸N＝2，所以AM＝sin(120°－θ) ． ………………2分在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)． …………………6分AP2＝AM2＋MP2－2 AM?MP?cos∠AMP＝sin2(120°－θ)＋4－2×2× sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分＝sin2(θ＋60°)－ sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4＝[1－cos (2θ＋120°)]－ sin(2θ＋120°)＋4＝－[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0，°)． …………………………………………12分 當(dāng)且僅當(dāng)2θ＋150°＝270°，即θ＝60°時(shí)，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．答：設(shè)計(jì)∠AMN為60(時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小．……………………………………14分解法二(構(gòu)造直角三角形)：設(shè)∠PMD＝θ，在△PMD中，∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ． ……………2分在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴＝，AM＝sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，(θ≥時(shí)，結(jié)論也正確)．……………6分AP2＝AD2＋PD2＝(sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ)2＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ …………………………8分＝?＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋＝＋sin(2θ－)，θ∈(0，)12分當(dāng)且僅當(dāng)2θ－＝，即θ＝時(shí)，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2． 此時(shí)AM＝AN＝2，∠PAB＝30° …………………………14分解法三：設(shè)AM＝x，AN＝y(tǒng)，∠AMN＝α．在△AMN中，因?yàn)镸N＝2，∠MAN＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM?AN?cos∠MAN，即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4． …………………………………………2分因?yàn)椋剑�即＝，所以sinα＝y(tǒng)，cosα＝＝＝． …………………………………………6分cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝cosα－sinα＝?－?y＝．……………………………8分在△AMP中，AP2＝AM2＋PM2－2 AM?PM?cos∠AMP，即AP2＝x2＋4－2×2×x×＝x2＋4－x(x－2y)＝4＋2xy．………………………………………12分因?yàn)閤2＋y2－xy＝4，4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4．所以AP2≤12，即AP≤2．當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時(shí)，AP取得最大值2． 答：設(shè)計(jì)AM＝AN＝2 km時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最�。�………………………………14分 解法四(坐標(biāo)法)：以AB所在的直線為x軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)．∵M(jìn)N＝2，∴(x1－x2)2＋3x＝4． …………………………………………2分MN的中點(diǎn)K(，x2)． ∵△MNP為正三角形，且MN＝2．∴PK＝，PK⊥MN．∴PK2＝－＋－＝?kPK＝－?＝－1， …………………………………………6分 ∴y0－＝－∴(y0－＝－∴(1＋－＝(x0－＝∴(x0－＝．∵x0－∴x0－x2，∴x0＝x1＋2x2，∴y0＝x1． …………………………………………8分∴AP2＝x＝(2x2＋x1)2＋x＝x＋4x＋2x1x2＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分即AP≤2． 答：設(shè)計(jì)AM＝AN＝2 km時(shí)，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最�。�…………………………14分解法五(變換法)：以AB所在的直線為x軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)．∵M(jìn)N＝2，∴(x1－x2)2＋3x＝4．即x＋4x＝4＋2x1x2∴4＋2x1x2≥4x1x2，即x1x2≤2． …………………4分∵△MNP為正三角形，且MN＝2．∴PK＝，PK⊥MN．順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到．＝(x0－x1，y0)，＝(x2－x1江蘇省南京、鹽城市屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（WORD版）
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