（滿分150分，答題時間120分鐘）
一、題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分．
1．已知全集 ，集合 ，則 .
2．若復(fù)數(shù) 滿足 （ 是虛數(shù)單位），則 .
3．已知直線 的傾斜角大小是 ，則 .
4．若關(guān)于 的二元一次方程組 有唯一一組解，則實(shí)數(shù) 的取值范圍
是 .
5．已知函數(shù) 和函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 對稱，則函數(shù) 的解析式為 .
6．已知雙曲線的方程為 ，則此雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為 .
7．函數(shù) 的最小正周期 .
8．若 展開式中含 項的系數(shù)等于含 項系數(shù)的8倍，則正整數(shù) .
9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 的值是 ，則輸出 的值是 .
10．已知圓錐底面半徑與球的半徑都是 ，如果圓錐的體積恰好也與球的體積相等，那么這個圓錐的母線長為 ．
11．某中學(xué)在高一年級開設(shè)了 門選修課，每名學(xué)生必須參加這 門選修課中的一門，對于該年級的甲、乙、丙 名學(xué)生，這 名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率是 (結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)．
12．各項為正數(shù)的無窮等比數(shù)列 的前 項和為 ，若 ， 則其公比 的取值范圍是 .
13．已知兩個不相等的平面向量 ， ( )滿足 ＝2，且 與 － 的夾角為120°，則 的最大值是 .
14．給出30行30列的數(shù)表 ： ，其特點(diǎn)是每行每列都構(gòu)成等差數(shù)列，記數(shù)表主對角線上的數(shù) 按順序構(gòu)成數(shù)列 ，存在正整數(shù) 使 成等差數(shù)列，試寫出一組 的值 .
二、（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答案紙的相應(yīng)編號上，填上正確的答案，選對得5分，否則一律得零分.
15．已知 ， ，則 的值等于………………………（ ）
（A） ． （B） ． （C） ． （D） ．
16．已知圓 的極坐標(biāo)方程為 ，則“ ”是“圓 與極軸所在直線相切”的 ………………………………………………………………………………（ ）
（A）充分不必要條件．（B）必要不充分條件．（C）充要條件．（D）既不充分又不必要條件．
17． 若直線 經(jīng)過點(diǎn) ，則 …………………………（ ）
（A） ． （B） ． （C） ． （D） ．
18．已知集合 ，若對于任意 ，存在 ，使
得 成立，則稱集合 是“ 集合”. 給出下列4個集合：
① ②
③ ④
其中所有“ 集合”的序號是……………………………………………………（ ）
（A）②③ ． （B）③④ ． （C）①②④． （D）①③④．
三、解答題（本大題滿分74分）本大題共5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.
19．（本題滿分12分）本題共有2小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分．
在棱長為 的正方體 中， 分別為 的中點(diǎn)．
（1）求直線 與平面 所成角的大�。�
（2）求二面角 的大�。�
20．（本題滿分14分）本題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分 ．
如圖所示，扇形 ，圓心角 的大小等于 ，半徑為 ，在半徑 上有一動點(diǎn) ，過點(diǎn) 作平行于 的直線交弧 于點(diǎn) ．
（1）若 是半徑 的中點(diǎn)，求線段 的大�。�
（2）設(shè) ，求△ 面積的最大值及此時 的值．
21．（本題滿分14分）本題共有2小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分 ．
已知函數(shù) ．
（1）若 是偶函數(shù)，在定義域上 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
（2）當(dāng) 時，令 ，問是否存在實(shí)數(shù) ，使 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)？如果存在，求出 的值；如果不存在，請說明理由．
22．（本題滿分16分）本題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.
已知點(diǎn) ， 、 、 是平面直角坐標(biāo)系上的三點(diǎn)，且 、 、 成等差數(shù)列，公差為 ， ．
（1）若 坐標(biāo)為 ， ，點(diǎn) 在直線 上時，求點(diǎn) 的坐標(biāo)；
（2）已知圓 的方程是 ，過點(diǎn) 的直線交圓于 兩點(diǎn)， 是圓 上另外一點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
（3）若 、 、 都在拋物線 上，點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 ，求證：線段 的垂直平分線與 軸的交點(diǎn)為一定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
23．（本題滿分18分）本題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.
已知數(shù)列 的前 項和為 ，且滿足 ( )， ，設(shè) ， ．
（1）求證：數(shù)列 是等比數(shù)列；
（2）若 ≥ ， ，求實(shí)數(shù) 的最小值；
（3）當(dāng) 時，給出一個新數(shù)列 ，其中 ，設(shè)這個新數(shù)列的前 項和為 ，若 可以寫成 ( 且 )的形式，則稱 為“指數(shù)型和”．問 中的項是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請說明理由．
2013年靜安、楊浦、青浦寶山區(qū)高三二模卷(理科)
參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2013.04
說明
1．本解答列出試題一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答中評分標(biāo)準(zhǔn)的精神進(jìn)行評分．
2．評閱試卷，應(yīng)堅持每題評閱到底，不要因?yàn)榭忌慕獯鹬谐霈F(xiàn)錯誤而中斷對該題的評閱．當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤，影響了后續(xù)部分，但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時，可視影響程度決定后面部分的給分，但是原則上不應(yīng)超出后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半，如果有較嚴(yán)重的概念性錯誤，就不給分．
3．第19題至第23題中右端所注的分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該題分?jǐn)?shù)．
4．給分或扣分均以1分為單位．
一．題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分．
1． ； 2． ； 3． ； 4． ； 5． ； 6． ；
7．（文、理） ；8．（文）4（理） ；9． ；10． ；11．（文） （理） ；12． ；13．（文） （理） ；14．（文）②③⑤（理） ． ②
二、（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答案紙的相應(yīng)編號上，填上正確的答案，選對得5分，否則一律得零分.
15． D ； 16．（文）B （理）A ； 17． B ；18．（文）C（理）A
三、解答題（本大題滿分74分）本大題共5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟 .
19．（本題滿分12分）本題共有2小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分 ．
(文)解：（1）如圖正四棱錐底面的邊長是 米，高是 米
所以這個四棱錐冷水塔的容積是 ．
(2)如圖，取底面邊長的中點(diǎn) ，連接 ，
答：制造這個水塔的側(cè)面需要3.40平方米鋼板．
（理）
19．（1）（理）解法一：建立坐標(biāo)系如圖
平面 的一個法向量為
因?yàn)?， ，
可知直線 的一個方向向量為 ．
設(shè)直線 與平面 成角為 ， 與 所成角為 ，則
19（1）解法二： 平面 ，即 為 在平面 內(nèi)的射影，故 為直線 與平面 所成角，
在 中， ,
19（2）（理科）
解法一：建立坐標(biāo)系如圖．平面 的一個法向量為
設(shè)平面 的一個法向量為 ，因?yàn)?，
所以 ，令 ，則
由圖知二面角 為銳二面角，故其大小為 ．
19（2）解法二：過 作平面 的垂線，垂足為 ， 即為所求
，過 作 的垂線設(shè)垂足為 ， ∽
即
在 中
所以二面角 的大小為 ．
20．（本題滿分14分）本題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分 ．
解:（1）在△ 中， ，
由
得 ，解得 ．
（2）∵ ∥ ，∴ ，
在△ 中，由正弦定理得 ，即
∴ ,又 ．
（文）記△ 的周長為 ，則
=
∴ 時， 取得最大值為 .
（理）解法一：記△ 的面積為 ，則 ，
∴ 時， 取得最大值為 .
解法二：
即 ，又 即
當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立,
所以
∴ 時， 取得最大值為 .
21．（本題滿分14分）本題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分 ．
（文）解：(1)依題意， ， ，
由 ，得 ，
設(shè) ，
∴ ；
(2)如圖，由 得 ，
依題意， ，設(shè) ，線段 的中點(diǎn) ，
則 ， ， ，
由 ，得 ，∴
（理）解:（1） 是偶函數(shù)，
即 ，
又 恒成立即
當(dāng) 時
當(dāng) 時， ，
當(dāng) 時， ，
綜上：
（2）
是偶函數(shù)，要使 在 上是減函數(shù)在 上是增函數(shù)，即 只要滿足在區(qū)間 上是增函數(shù)在 上是減函數(shù)．
令 ，當(dāng) 時 ； 時 ，由于 時，
是增函數(shù)記 ，故 與 在區(qū)間 上有相同的增減性，當(dāng)二次函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)在 上是減函數(shù)，其對稱軸方程為 ．
22．（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.
（文）解:（1） 過原點(diǎn)，
得 或
(2)(3)同理21
（理）解（1） ，所以 ，設(shè)
則 ，消去 ，得 ，…（2分）
解得 ， ,所以 的坐標(biāo)為 或
（2）由題意可知點(diǎn) 到圓心的距離為 …（6分）
（?）當(dāng) 時，點(diǎn) 在圓上或圓外， ，
又已知 ， ，所以 或
（?）當(dāng) 時，點(diǎn) 在圓內(nèi)，所以 ，
又已知 ， ，即 或
結(jié)論：當(dāng) 時， 或 ；當(dāng) 時， 或
（3）因?yàn)閽佄锞�方程為 ，所以 是它的焦點(diǎn)坐標(biāo)，
點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 ，即
設(shè) ， ，則 ， ， ，
所以
直線 的斜率 ，則線段 的垂直平分線 的斜率
則線段 的垂直平分線 的方程為
直線 與 軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)
23．（本題滿分18分）本題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.
（文）解：（1）令 得 ，即 ；
又
（2）由 和
，
所以數(shù)列 是以2為首項， 為公差的等差數(shù)列，所以 ．
解法一：數(shù)列 是正項遞增等差數(shù)列，故數(shù)列 的公比 ，若 ，則由 得 ，此時 ，由 解得 ，所以 ，同理 ；若 ，則由 得 ，此時 組成等比數(shù)列，所以 ， ，對任何正整數(shù) ，只要取 ，即 是數(shù)列 的第 項．最小的公比 ．所以 ．………（10分）
解法二: 數(shù)列 是正項遞增等差數(shù)列，故數(shù)列 的公比 ，設(shè)存在 組成的數(shù)列 是等比數(shù)列，則 ，即
因?yàn)?所以 必有因數(shù) ，即可設(shè) ，當(dāng)數(shù)列 的公比 最小時，即 ， 最小的公比 ．所以 ．
（3）由（2）可得從 中抽出部分項 組成的數(shù)列 是等比數(shù)列，其中 ，那么 的公比是 ，其中由解法二可得 ．
，
所以
（理）解：（1） ， ， ，當(dāng) 時，
=2，所以 為等比數(shù)列．
， ．
（2） 由（1）可得
；
， ，
所以 ，且 ．所以 的最小值為
（3）由（1）當(dāng) 時，
當(dāng) 時， ， ，
所以對正整數(shù) 都有 ．
由 ， ，( 且 )， 只能是不小于3的奇數(shù)．
①當(dāng) 為偶數(shù)時， ，
因?yàn)?和 都是大于1的正整數(shù)，
所以存在正整數(shù) ，使得 ， ，
, ，所以 且 ，相應(yīng)的 ，即有 ， 為“指數(shù)型和”；
本文來自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/gaosan/69552.html
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