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P>18．（本題滿分16分）

a2

和g?x??x?2ax?2． x

⑴命題p:?x??2,???，f?x??2恒成立；命題q:函數(shù)g?x?在?2,???上單調(diào)遞增．若p和q都是真命題，求實數(shù)a的取值范圍；

已知函數(shù)f?x??x?⑵設(shè)F?x???

??f?x?,x?2

，若對?x1??2,???，總存在x2????,2?，使得

??g?x?,x?2

F?xF?2?x成立，求實數(shù)a的取值范圍． 1??

19．（本題滿分16分） 設(shè)集合A,An,1,A2,A3,

中元素的個數(shù)分別為1,2,3,,n,

．現(xiàn)從集合

An,An?1,An?2,An?3中各取一個元素，記不同取法種數(shù)為f(n)． ⑴求f(1)；

⑵是否存在常數(shù)a,b，使得f(1)?f(2)??f(n)?a(n?2)5?(n?2)3?b(n?2)對任

*

意n?N總成立？若存在，請求出a,b的值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；若不存在，請說明理

由． 20．（本題滿分16分）

已知等差數(shù)列{an}的公差為d，且(a1x?d)5的展開式中x與x的系數(shù)之比為2． a3?5，⑴求(a1x?a2)6的展開式中二項式系數(shù)最大的項； ⑵設(shè)[a1x2?(a3?a1)x?a3]n?b0?b1(x?2)?b2(x?2)2?

2

3

?b2n(x?2)2n，n?N*，求

a1b1?a2b2??a2nb2n；

an?1

⑶當n?2時，求證：(an?1)

?11?16n?8n4．

2018～2018學(xué)年度第二學(xué)期期末聯(lián)考

高二數(shù)學(xué)試題（理科）參考答案

1．四 2．?x?R，2sinx?1總成立 3．1 4．若b?0，則abc?0

1

2222

7．若x1?2y1?1，則過點?x1,y1?的直線與橢圓x?2y?1有兩個公共點 8．8 9．1?2?3?4??99?100??50

k?1

10．?4 11．5或14 12．2 13．930 14．⑴⑶⑷

?,y0?)，則 15．解：⑴設(shè)P(x0,y0)為圓C上的任意一點，在伸壓變換下變?yōu)榱硪稽cP?(x0

5．12 6．

???20??x0??x0

?y????01??y?，

??0??0??x????2x0?x0?x0?0

即?，所以，?2

??y0?y0???y0?y0

?2x0

?2?1． ?y0又因為點P在曲線x?y?1上，所以x?y?1，故有4x222

?y2?1．…………4分 即圓C：x?y?1在矩陣M對應(yīng)的伸壓變換下變?yōu)闄E圓：4

?xy??20??xy??10?

⑵設(shè)矩陣M的逆矩陣為??，則?01??zw???01?，

zw????????

1?x??2

?2x2y??10??y?0即? ???01?，故?zw?????z?0

?

?w?1?1?

0?1

?． …………8分 從而所求的逆矩陣M??2?01???

??20

⑶矩陣M的特征多項式為f(?)??(??2)(??1)，

0??1

令f(?)?0，解得矩陣M的特征值?1?2，?2?1． …………10分

?(??2)x?0?y?0

將?1?2代入二元一次方程組?

?0?x?(??1)y?0

解得y?0，x可以為任何非零實數(shù)，不妨記x?k,k?R，且k?0．

?1?

于是，矩陣M的屬于特征值2的一個特征向量為??． …………12分

?0?

?(??2)x?0?y?0

將?2?1代入二元一次方程組?

?0?x?(??1)y?0

解得x?0，y可以為任何非零實數(shù)，不妨記y?m,m?R，且m?0．

?0?

于是，矩陣M的屬于特征值1的一個特征向量為??．

?1?

?1??20?

??2??1因此，矩陣M??的特征值為，，分別對應(yīng)的一個特征向量是，12???

?0??01?

2

2

2

020

P>

?0?

?1?． …………14分 ??

16．解：⑴設(shè)直線l上任意一點為Q(?,?)， 如圖，在?POQ中，由正弦定理得

OQOP

?

sin?OPQsin?OQP

3?4??)?22．，即?sin(34sin??；3???)?22．…………7分所以，直線的極坐標；12⑵應(yīng)用代入消元法，得x?(2y)，8；因此所求的普通方程是y2?2x，它表示的曲線是拋；直線l的普通標方程是x?y?4；設(shè)直線l與曲線的交點記作A(x1,y1),B(x；?x?y?4?y1?2?y2??4；AB?(8?2)2?(?4?2)2?62；所以，直

--------------------------------------------------------------------------------

3?4??)?22． ，即?sin(34sin??)44

3???)?22． …………7分 所以，直線的極坐標方程是?sin(4

12⑵應(yīng)用代入消元法，得x?(2y)， 8

因此所求的普通方程是y2?2x，它表示的曲線是拋物線．

直線l的普通標方程是x?y?4

設(shè)直線l與曲線的交點記作A(x1,y1),B(x2,y2)， 于是???y2?2x?x1?2?x2?8聯(lián)立成方程組，得?，?或?，

?x?y?4?y1?2?y2??4

AB?(8?2)2?(?4?2)2?62

所以，直線l被曲線截得的弦長為62． …………14分

17．解⑴記“從中取出兩個球，恰好有一個紅球”為事件A

113C3C6n4P(A)?2n?2?，(n?4)(2n?3)?0，解得n?4或n?（舍） 2Cn?3n?5n?67

故n?4． …………2分

①事件“從盒子中取出3個球中至少有一個紅球”是事件“從盒子中取出3個球都是白球”的對立事件，記“從盒子中取出3個球中至少有一個紅球”為事件B，則記“從盒子中取出3個球都是白球”為B．

3C44P(B)?3?， C735

31． 35

31答：從盒子中取出3個球中至少有一個紅球的概率為． …………6分 35

②用隨機變量X為取出的4個球中紅球的個數(shù)，則X服從超幾何分布H(4,3,7)． 隨機變量X的可能值有4種，它的取值集合是?0,1,2,3?． 根據(jù)對立事件的概率公式P(B)?1?P(B)，得P(B)?

4C41 P(X?0)?4?C735

13C3C412P(X?1)?? 435C7

2C32C418 P(X?2)??435C7

6

31C3C44 P(X?3)??435C7

隨機變量X

1?1??2??3???． 從而E(X)?0?35353535357

n11218412V(X)??xi2pi??2,(??E(X))?02??12??22??32??()2 353535357i?1

2414424???． 49749

1224答：隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為，方差為 …………10分 749

11C3Cn3n6n6???⑵證法一：P? 22Cn?3n?5n?6n??52?1n

63?記f(n)?n?,n?N當n=2或3時取最小值為5，P?． …………14分 n5

證法二：反證法． 36n3?，即n2?5n?6?0，解得2?n?3 ，即25n?5n?65

33*因為n?N，所以不存在正整數(shù)n，滿足P?．因此，P?． …………14分 55假設(shè)P?

18．⑴命題p:不等式x?

2a?2在?2,???上恒成立， x即a??x?2x在?2,???上恒成立，

即a??(x?1)?1在?2,???上恒成立， 2

即a?0． …………2分 命題q:函數(shù)g?x??x?2ax?2在?2,???上單調(diào)遞增 2

即a?2．

若p和q都是真命題，則0?a?2．

所以，實數(shù)a的取值范圍是?0,2?． …………4分

a在x??2,???上的值域記作集合M， x

g?x??x2?2ax?2在x????,2?上的值域記作集合N，

由題意可得，M?N． ⑵f(x)?x?

7

（?）當a?0時，滿足M?N， …………5分 （?）當a?0或0?a?2時，x??2,???f?

(x)?0， a在x??2,???上單調(diào)遞增， x

?a?集合M???2,???， ?2?

g?x??x2?2ax?2在???,a?上單調(diào)遞減，在?a,2?上單調(diào)遞增， 則f(x)?x?

集合N??a2?2,??， ??

a1?2，即a?0或a?? 22

1又a?0或0?a?2，所以a??或0?a?2． …………8分 2

（?）當2?a?4時，x??2,???時f?(x)?0， a?a?則f(x)?x?在x??2,???上單調(diào)遞增，集合M???2,???， x?2?

g?x??x2?2ax?2在x????,2?上單調(diào)遞減，集合N??6?4a,???， 因為M?N，所以?a?2?2

4??2?a?a因為M?N，所以?即2?a?4． …………12分 6?4a??2?2?

（?）當a

?4時，x??時f

?(x)?0，x???時f?(x)?0 ??

則f

(x)的單調(diào)減區(qū)間是?，單調(diào)增區(qū)間是??，集合M????， ?

?

g?x??x2?2ax?2在x????,2?上單調(diào)遞減，集合N??6?4a,???， ??

因為M?N，所以?

綜上，a??a?4?即a?4． ?6?4a?2a1或a?0． …………16分 2

19．解：⑴從A1中取一個元素，有1種取法；從A2中取一個元素，有2種取法，依次類推，不同取法種數(shù)為4!?24 …………4分 ⑵f(n)?n(n?1)(n?2)(n?3)

1?a?????f(1)?a?3?3?3b5由?解得 …………8分 ?534??f(1)?f(2)?a?4?4?4b?b??5?53

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當n?1時，左邊?f(1)?24，右邊?1534?3?3??3?24 55

8

左邊?右邊，所以當n?1時命題成立； …………9分 ②假設(shè)當n?k時命題成立，即

14?f(k)?(k?2)5?(k?2)3?(k?2)， 55

則當n?k?1時，f(1)?f(2)??f(k)?f(k?1)

14?(k?2)5?(k?2)3?(k?2)?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4) 55

1?(k?2)[(k?2)4?5(k?2)2?4?5(k?1)(k?3)(k?4)] 5

1?(k?2){[(k?2)4?1][(k?2)4?4]?5(k?1)(k?3)(k?4)} 5

1?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5

141(k?3)5?(k?3)3?(k?3)?(k?3)[(k?3)4?5(k?3)2?4]555

1?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5

1所以f(1)?f(2)??f(k)?f(k?1)?(k?1)(k?2)(k?3)(k?4)(k?5) 5

從而當n?k?1時，命題也成立． f(1)?f(2)?

綜上可知，原命題成立． …………16分

323220．解：(a1x?d)5的展開式中含x的項為C5a1dx?10a12d3x2，含x的項為23

10a12d3d??2，得d?2a1，又a1?2d?5， Cadx?10adx，所以3210a1da12351233123

解得a1?1,d?2，所以an?2n?1(n?N*) …………4分 ⑴a1?1,a2?3，(a1x?a2)6?(x?3)6，

則(x?3)的展開式中二項式系數(shù)最大的項為T4?C6x(?3)??540x；…………6分 ⑵a1?1,a3?5，則[a1x2?(a3?a1)x?a3]n?(x2?4x?5)n?[(x?2)2?1]n

01?Cn[(x?2)2]0?Cn[(x?2)2]1?

01?Cn(x?2)0?Cn(x?2)2?n?1n?Cn[(x?2)2]n?1?Cn[(x?2)2]n

n?1n?Cn(x?2)2n?2?Cn(x?2)2n 63333

?b0?b1(x?2)?b2(x?2)2?

∴b1?b3?b5?

∴a1b1?a2b2?

12?b2n(x?2)2n 01n …………8分 ?b2n?1?0，b0?Cn,b2?Cn,,b2n?Cn?a2nb2n?a2b2?a4b4??a2nb2n n ?(4n?1)Cn123?3Cn?7Cn?11Cn?令S?3Cn?7C

n?11Cn?

0123n ?(4n?1)Cn3n?(4n?1)Cn]?1 則S?[(?1)Cn?3Cn?7Cn?11Cn?

9

nn?1S?[(4n?1)Cn?(4n?5)Cn?

012∴2S?(4n?2)(Cn?Cn?Cn?0?(?1)Cn]?1

n?Cn)?2

∴S?(2n?1)?2n?1 …………11分 ⑶(an?1)an?1?(2n?1)2n?1

2n?122n?C2n?1(2n)?C2n?1(2n)?1 12n22n?1?(2n)2n?1?C2?C2?n?1(2n)n?1(2n)

∵n?2

∴2n?4

∴(aan?1n?1)??2n?1?2n?1?42n?1?C1?42n?1?C22

5?42n?C2

52n?1(2n) ?4?16n?5?16n?5?16n?8n4

2?11?16n?8n4

10 16分 …………