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考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等腰梯形的判定．
分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角之間的關(guān)系進(jìn)而得出答案；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，根據(jù)全等三角形證明方法得出即可；
（3）分別根據(jù)①當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)M重合時(shí)，則四邊形ABCM為等腰梯形，②當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)N重合時(shí)，求出α即可．
解答：（1）證明：∵AB=BC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=36°，
∴∠BEC=180°?∠C?∠CBE=72°，
∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，
∴AE=BE，BE=BC，
∴AE=BC．
（2）證明：∵AC=AB且EF∥BC，
∴AE=AF；
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，
∵在△CAE′和△BAF′中
，
∴△CAE′≌△BAF′，
∴CE′=BF′．
（3）存在CE′∥AB，
理由：由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，E點(diǎn)經(jīng)過的路徑（圓�。┡c過點(diǎn)C且與AB平行的直線l交于M、N兩點(diǎn)，
如圖：①當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)M重合時(shí)，則四邊形ABCM為等腰梯形，
∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°，
∴α=∠CAM=36°．
②當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)N重合時(shí)，
由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，
∵AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN=72°，
∴∠MAN=180°?2×72°=36°，
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°．
所以，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為36°或72°時(shí)，CE′∥AB．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合熟練掌握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．
46、（2013•嘉興）小明在做課本“目標(biāo)與評(píng)定”中的一道題：如圖1，直線a，b所成的角跑到畫板外面去了，你有什么辦法量出這兩條直線所成的角的度數(shù)？小明的做法是：如圖2，畫PC∥a，量出直線b與PC的夾角度數(shù)，即直線a，b所成角的度數(shù)．
（1）請寫出這種做法的理由；
（2）小明在此基礎(chǔ)上又進(jìn)行了如下操作和探究（如圖3）：①以P為圓心，任意長為半徑畫圓弧，分別交直線b，PC于點(diǎn)A，D；②連結(jié)AD并延長交直線a于點(diǎn)B，請寫出圖3中所有與∠PAB相等的角，并說明理由；
（3）請?jiān)趫D3畫板內(nèi)作出“直線a，b所成的跑到畫板外面去的角”的平分線（畫板內(nèi)的部分），只要求作出圖形，并保留作圖痕跡．
考點(diǎn)：作圖―應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．
分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可；
（2）根據(jù)題意，有3個(gè)角與∠PAB相等．由等腰三角形的性質(zhì)，可知∠PAB=∠PDA；又對(duì)頂角相等，可知∠BDC=∠PDA；由平行線性質(zhì)，可知∠PDA=∠1．因此∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；
（3）作出線段AB的垂直平分線EF，由等腰三角形的性質(zhì)可知，EF是頂角的平分線，故EF即為所求作的圖形．
解答：解：（1）PC∥a（兩直線平行，同位角相等）；
（2）∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1，
如圖，∵PA=PD，
∴∠PAB=∠PDA，
∵∠BDC=∠PDA（對(duì)頂角相等），
又∵PC∥a，
∴∠PDA=∠1，
∴∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；
（3）如圖，作線段AB的垂直平分線EF，則EF是所求作的圖形．
點(diǎn)評(píng)：本題涉及到的幾何基本作圖包括：（1）過直線外一點(diǎn)作直線的平行線，（2）作線段的垂直平分線；涉及到的考點(diǎn)包括：（1）平行線的性質(zhì)，（2）等腰三角形的性質(zhì)，（3）對(duì)頂角的性質(zhì)，（4）垂直平分線的性質(zhì)等．本題借助實(shí)際問題場景考查了學(xué)生的幾何基本作圖能力，是一道好題．題目篇幅較長，需要仔細(xì)，理解題意，正確作答．
47、（2013杭州）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，線段AG，BG分別交CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，DE=CF．
求證：△GAB是等腰三角形．
考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定．
專題：證明題．
分析：由在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，DE=CF，利用SAS，易證得△ADE≌△BCF，即可得∠DAE=∠CBF，則可得∠GAB=∠GBA，然后由等角對(duì)等邊，證得：△GAB是等腰三角形．
解答：證明：∵在等腰梯形中ABCD中，AD=BC，
∴∠D=∠C，∠DAB=∠CBA，
在△ADE和△BCF中，
，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴∠DAE=∠CBF，
∴∠GAB=∠GBA，
∴GA=GB，
即△GAB為等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
48、（2013•荊門）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上．
（1）求證：BE=CE；
（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點(diǎn)F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45°，原題設(shè)其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF．
考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．
專題：證明題．
分析：（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠BAE=∠EAC，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ACE全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；
（2）先判定△ABF為等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的兩直角邊相等可得AF=BF，再根據(jù)同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角邊角”證明△AEF和△BCF全等即可．
解答：證明：（1）∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，
∴∠BAE=∠EAC，
在△ABE和△ACE中， ，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE；
（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，
∴△ABF為等腰直角三角形，
∴AF=BF，
∵AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中， ，
∴△AEF≌△BCF（ASA）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記三角形全等的判定方法與各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
49、（2013哈爾濱）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，以0A為邊作等邊三角形OAB，點(diǎn)B在第一象限，過點(diǎn)B作AB的垂線交x軸于點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)P從0點(diǎn)出發(fā)沿0C向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿BA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，P,Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度均為1個(gè)單位／秒。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
(1)求線段BC的長；
(2)連接PQ交線段OB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作x軸的平行線交線段BC于點(diǎn)F。設(shè)線段EF的長為m，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍：
(3)在(2)的條件下，將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△BE1F1,使點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E1落在線段AB上，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F1，E1F1交x軸于點(diǎn)G，連接PF、QG，當(dāng)t為何值時(shí)，2BQ-PF= QG?
考點(diǎn)：等邊三角形判定與性質(zhì)、相似三角形判定與性質(zhì)、直角三角形的判定、三角形內(nèi)角和、等腰三角形判定，一元一次方程
分析：（1）由△AOB為等邊三角形得∠ACB=∠OBC=300，
由此CO=OB=AB=OA=3，在RT△ABC中，AC為6 ，從而BC= （2）過點(diǎn)Q作QN∥0B交x軸于點(diǎn)N，先證△AQN為等邊三角形，從而NQ=NA=AQ=3-t，NON=3- (3-t)=t
PN=t+t=2t，再由△POE∽△PNQ后 對(duì)應(yīng)邊成比例計(jì)算得 再由EF=BE易得出m與t之間的函數(shù)關(guān)系式
(3)先證△AE’G為等邊三角形，再證∠QGA=900
通過兩邊成比例夾角相等得△FCP∽△BCA 再用含t的式子表示BQ、、PF、QG通過解方程求出
解答：(1)解：如圖l∵△AOB為等邊三角形 ∴∠BAC=∠AOB=60。
∵BC⊥AB ∴∠ABC=900 ∴∠ACB=300∠OBC=300
∴∠ACB=∠OBC ∴CO=OB=AB=OA=3
∴AC=6 ∴BC= AC=
(2)解：如圖l過點(diǎn)Q作QN∥0B交x軸于點(diǎn)N
∴∠QNA=∠BOA=600=∠QAN ∴QN=QA
∴△AQN為等邊三角形
∴NQ=NA=AQ=3-t
∴NON=3- (3-t)=t
∴PN=t+t=2t
∴OE∥QN．∴△POE∽△PNQ
∴
∴ ∴
∵EF∥x軸
∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=300
∴EF=BE∴m=BE=OB-OE
(0<t<3)
(3)解：如圖2
∴∠AEG=600=∠EAG
∴GE1=GA ∴△AE’G為等邊三角形
∴∠l=∠2 ∠3=∠4
∵∠l+∠2+∠3+∠4=1800∴∠2+∠3=900
即∠QGA=900
∵∠FCP=∠BCA ∴△FCP∽△BCA．
∵2BQ―PF= QG ∴ ∴t=1∴當(dāng)t=1 時(shí)，2BQ―PF= QG
50、（2013•牡丹江）已知∠ACD=90°，MN是過點(diǎn)A的直線，AC=DC，DB⊥MN于點(diǎn)B，如圖（1）．易證BD+AB= CB，過程如下：
過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．
∵四邊形ACDB內(nèi)角和為360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．
∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB為等腰直角三角形，∴BE= CB．
又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB= CB．
（1）當(dāng)MN繞A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）和圖（3）兩個(gè)位置時(shí)，BD、AB、CB滿足什么樣關(guān)系式，請寫出你的猜想，并對(duì)圖（2）給予證明．
（2）MN在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠BCD=30°，BD= 時(shí)，則CD= 2 ，CB= +1 ．
考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
分析：（1）過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，證明△ACE≌△DCB，則△ECB為等腰直角三角形，據(jù)此即可得到BE= CB，根據(jù)BE=AB?AE即可證得；
（2）過點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H，證明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的長，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可求得．
解答：（1）如圖（2）：AB?BD= CB．
證明：過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°?∠DCE，∠BCD=90°?∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°?∠AFC，∠D=90°?∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE= CB．
又∵BE=AB?AE，
∴BE=AB?BD，
∴AB?BD= CB．
如圖（3）：BD?AB= CB．
證明：過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°?∠AFB，∠D=90°?∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE= CB．
又∵BE=AE?AB，
∴BE=BD?AB，
∴BD?AB= CB．
（2）如圖（1），過點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H，
∵∠ABC=45°，DB⊥MN，
∴∠CBD=135°，
∵∠BCD=30°，
∴∠CBH=60°，
∴∠DBH=75°，
∴∠D=15°，
∴BH=B D•sin45°，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴DH=BH= BD= × =1，
∵∠BCD=30°
∴CD=2DH=2，
∴CH= = ，
∴CB=CH+BH= +1；
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性質(zhì)是全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．
51、（2013•綏化壓軸題）如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點(diǎn)，分別過A，C兩點(diǎn)作x軸，y軸的垂線相交于B點(diǎn)，且OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x2?14x+48=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求直線MN的解析式；
（3）在直線MN上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題
分析：（1）通過解方程x2?14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．則C（0，6）；
（2）設(shè)直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別代入解析式，列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組，通過解方程組即可求得它們的值；
（3）需要分類討論：PB為腰，PB為底兩種情況下的點(diǎn)P的坐標(biāo)．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行解答．
解答：解：（1）解方程x2?14x+48=0得
x1=6，x2=8．
∵OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x2?14x+48=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴OC=6，OA=8．
∴C（0，6）；
（2）設(shè)直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．
由（1）知，OA=8，則A（8，0）．
∵點(diǎn)A、C都在直線MN上，
∴ ，
解得， ，
∴直線MN的解析式為y=? x+6；
（3）∵A（8，0），C（0，6），
∴根據(jù)題意知B（8，6）．
∵點(diǎn)P在直線MNy=? x+6上，
∴設(shè)P（a，? a+6）
當(dāng)以點(diǎn)P，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，需要分類討論：
①當(dāng)PC=PB時(shí)，點(diǎn)P是線段BC的中垂線與直線MN的交點(diǎn)，則P1（4，3）；
②當(dāng)PC=BC時(shí)，a2+（? a+6?6）2=64，
解得，a= ，則P2（? ， ），P3（ ， ）；
③當(dāng)PB=BC時(shí)，（a?8）2+（? a+6?6）2=64，
解得，a= ，則? a+6=? ，∴P4（ ，? ）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有：P1（4，3），P2（? ， ）P3（ ， ），P4（ ，? ）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰三角形的性質(zhì)．解答（3）題時(shí)，要分類討論，防止漏解．另外，解答（3）題時(shí)，還利用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想．
52、（2013•郴州）如圖，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．
（1）證明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分別是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代數(shù)式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）當(dāng)k=4時(shí)，求四邊形PEBF的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式．x為何值時(shí)，S有最大值？并求出S的最大值．
考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；解直角三角形．
分析：（1）根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠A=∠C，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，從而得到∠CPE=∠C，即可得證；
（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出CM= CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的長，再根據(jù)結(jié)果整理可得EM+FN=BH；
（3）分別求出EM、FN、BH，然后根據(jù)S△PCE，S△APF，S△ABC，再根據(jù)S=S△ABC?S△PCE?S△APF，整理即可得到S與x的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的最值問題解答．
解答：（1）證明：∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵PE∥AB，
∴∠CPE=∠A，
∴∠CPE=∠C，
∴△PCE是等腰三角形；
（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，
∴CM= CP= ，tanC=tanA=k，
∴EM=CM•tanC= •k= ，
同理：FN=AN•tanA= •k=4k? ，
由于BH=AH•tanA= ×8•k=4k，
而EM+FN= +4k? =4k，
∴EM+FN=BH；
（3）解：當(dāng)k=4時(shí)，EM=2x，F(xiàn)N=16?2x，BH=16，
所以，S△PCE= x•2x=x2，S△APF= （8?x）•（16?2x）=（8?x）2，S△ABC= ×8×16=64，
S=S△ABC?S△PCE?S△APF，
=64?x2?（8?x）2，
=?2x2+16x，
配方得，S=?2（x?4）2+32，
所以，當(dāng)x=4時(shí)，S有最大值32．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，二次函數(shù)的最值問題，表示出各三角形的高線是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．
53、（13年安徽省14分、23壓軸題）我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”。如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”。其中∠B=∠C。
（1）在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個(gè)頂點(diǎn)引一條直線將四邊形ABCD分割成一個(gè)等腰梯形和一個(gè)三角形或分割成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)梯形（畫出一種示意圖即可）。
（2）如圖2，在“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，∠B=∠C，E為邊BC上一點(diǎn)，若AB∥DE，AE∥DC，求證：
（3）在由不平行于BC的直線截ΔPBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點(diǎn)E，若EB=EC，請問當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”，為什么？若點(diǎn)E不在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，情況又將如何？寫出你的結(jié)論（不必說明理由）
5 Y
本文來自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/chusan/81220.html
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