2013年山西省中考試題
數(shù)學(xué)（解析）
（滿分120分 考試時(shí)間120分鐘）
第I卷 （共24分）
一、（本大題共12小題，每小題2分，共24分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）
1．（2013山西，1，2分）計(jì)算2×（-3）的結(jié)果是（ ）
A．6B．-6C．-1D．5
【答案】B
【解析】異號(hào)相乘，得負(fù)，所以選B。
2．（2013山西，2，2分）不等式組 的解集在數(shù)軸上表示為（ ）
【答案】C
【解析】解（1）得： ，解（2）得：x＜3，所以解集為 ，選C。
3．（2013山西，3，2分）如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體包裝盒，則它的平面展開(kāi)圖是（ ）
【答案】A
【解析】長(zhǎng)方體的四個(gè)側(cè)面中，有兩個(gè)對(duì)對(duì)面的小長(zhǎng)方形，另兩個(gè)是相對(duì)面的大長(zhǎng)方形，B、C中兩個(gè)小的與兩個(gè)大的相鄰，錯(cuò)，D中底面不符合，只有A符合。
4．（2013山西，4，2分）某班實(shí)行每周量化考核制，學(xué)期末對(duì)考核成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果顯示甲、乙兩組的平均成績(jī)相同，方差分別是S2甲=36，S2乙=30，則兩組成績(jī)的穩(wěn)定性：（ ）
A．甲組比乙組的成績(jī)穩(wěn)定 B．乙組比甲組的成績(jī)穩(wěn)定
C．甲、乙兩組的成績(jī)一樣穩(wěn)定D．無(wú)法確定
【答案】B
【解析】方差小的比較穩(wěn)定，故選B。
5．（2013山西，5 ，2分）下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（ ）
A．x3+ x3=2x3 B．a(chǎn)6÷a3=a2 C． D．
【答案】B
【解析】a6÷a3＝ ，故B錯(cuò)，A、C、D的計(jì)算都正確。
6．（2013山西，6，2分）解分式方程 時(shí)，去分母后變形為（ ）
A．2+（x+2）=3（x-1）B．2-x+2=3（x-1）C．2-（x+2）=3（1- x）D． 2-（x+2）=3（x-1）
【答案】D
【解析】原方程化為： ，去分母時(shí)，兩邊同乘以x－1，得：2－（x＋2）＝3（x－1），選D。
7．（2013山西，7，2分）下表是我省11個(gè)地市5月份某日最高氣溫（℃）的統(tǒng)計(jì)結(jié)果：
太原大同朔州忻州陽(yáng)泉晉中呂梁長(zhǎng)治晉城臨汾運(yùn)城
27272828272928283030
該日最高氣溫的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）
A．27℃，28℃B．28℃，28℃C． 27℃，27℃D．28℃，29℃
【答案】B
【解析】28出現(xiàn)4次，最多，所以眾數(shù)為28，由小到大排列為：27,27,27,28,28,28,28,29,30,30,31，所以，中位數(shù)為28，選B。
8．（2013山西，8，2分）如圖，正方形地磚的圖案是軸對(duì)稱圖形，該圖形的對(duì)稱軸有（ ）
A．1條B．2條C．4條D．8條
【答案】C
【解析】這是一個(gè)正八邊形，對(duì)稱軸有4條。
9．（2013山西，9，2分）王先生到銀行存了一筆三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期后取出得到本息和（本金+利息）33852元。設(shè)王先生存入的本金為x元，則下面所列方程正確的是（ ）
A．x+3×4.25%x=33825 B．x+4.25%x=33825
C．3×4.25%x=33825D．3(x+4.25%x)=33825
【答案】A
【解析】一年后產(chǎn)生的利息為4.25%x，三年后產(chǎn)生的利息為：3×4.25%x，再加上本金，得到33852元，所以，A是正確的。
10．（2013山西，10，2分）如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），為了測(cè)量B，C兩地之間的距離，某工程師乘坐熱氣球從C地出發(fā)， 垂直上升100m到達(dá)A處，在A處觀察B地的俯角為30°，則BC兩地之間的距離為（ ）
A．100 mB．50 mC．50 mD． m
【答案】A
【解析】依題得：AC＝100，∠ABC＝30°，tan30°＝ ，BC＝ ，選A。
11．（2013山西，11，2分）起重機(jī)將質(zhì)量為6.5t的貨物沿豎直方向提升了2m，則起重機(jī)提升貨物所做的功用科學(xué)記數(shù)法表示為（g=10N/kg）（ ）
A．1.3×106JB．13×105JC．13×104JD．1.3×105J
【答案】D
【解析】質(zhì)量m=6500kg，G=mg=65000，做功為W=650,0×2=130000=1.3×105J，選D。
12．（2013山西，1，2分 ）如圖，四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半徑為2，圓心角為60°，則圖中陰影部分的面積是（ B ）
A． － B． － C．π－ D．π－
【答案】B
【解析】扇形BEF的面積為：S1= = ，
菱形ABCD的面積為SABCD= ，
如右圖，連結(jié)BD，易證：△BDP≌△BCQ，所以，△BCQ與△BAP的面積之和為△BAD的面積為： ，因?yàn)樗倪呅蜝PDQ的面積為 ，
陰影部分的面積為： －
第Ⅱ卷非選擇題（共96分）
二、題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分。把答案寫(xiě)在題中的橫線上）
13．（2013山西，13，3分）分解因式：ａ２－２ａ＝ �。�
【答案】ａ（ａ－２）
【解析】原式提取公因式a即可，本題較簡(jiǎn)單。
14．（2013山西，14，3分）四川雅安發(fā)生地震后，某校九（1）班學(xué)生開(kāi)展獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)，積極向?yàn)?zāi)區(qū)捐款。如圖是該班同學(xué)捐款的條形統(tǒng)計(jì)圖，寫(xiě)出一條你從圖中所獲得的信息：
【答案】該班有50人參與 了獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)（只要與統(tǒng)計(jì)圖中所提供的信息相符即可得分）
【解析】能得到的信息較多，答案不唯一，讀圖可得各組的人數(shù)分別為：20、5、10、15，加起來(lái)等于50。
15．（2013山西，15，3分）一組按規(guī)律排列的式子：ａ２， ， , ,….則第n個(gè)式子是________
【答案】 （n為正整數(shù)）
【解析】已知式子可寫(xiě)成： ， ， , ，分母為奇數(shù)，可寫(xiě)成2n-1，分子中字母a的指數(shù)為偶數(shù)2n。
16．（2013山西，16，3分）如圖，矩形ABCD在第一象限，AB在x軸正半軸上，AB=3，BC=1，直線y= x-1經(jīng)過(guò)點(diǎn)C交x軸于點(diǎn)E，雙曲線 經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，則k的值為_(kāi)_______.
【答案】1
【解析】顯然C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，將y=1代入，直線方程y= x-1，得x=4，即OB=4，
又AB=3，所以，OA=1，所以D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，代入雙曲線方程，可得k=1。
17．（2013山西，1 ，2分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=12，BC=5，點(diǎn)E在AB上，將△DAE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)A′處，則AE的長(zhǎng)為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】由勾股定理求得：BD=13，
DA=D =BC=5，∠D E=∠DAE=90°，設(shè)AE=x，則 E=x，BE=12－x，B =13－5＝8，
在Rt△E B中， ，解得：x＝ ，即AE的長(zhǎng)為
18．（2013山西，18，3分）如圖是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于A，B兩點(diǎn)，橋拱最高點(diǎn)C到AB的距離為9m，AB=36m，D，E為橋拱底部的兩點(diǎn)，且DE∥AB，點(diǎn)E到直線AB的距離為7m，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)____m.
【答案】48
【解析】以C為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如右上圖，依題意，得B（18，－9），
設(shè)拋物線方程為： ，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得a＝－ ，所以，拋物線方程為： ，
E點(diǎn)縱坐標(biāo)為y＝－16，代入拋物線方程，－16＝ ，解得：x＝24，所以，DE的長(zhǎng)為48m。
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共78分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
19．（本題共2個(gè)小題，每小題5分，共10分）
（1）（2013山西，19(1)，5分）計(jì)算： .
【解析】解：原式=
=1-1=0
（2）（2013山西，19(2)，5分）下面是小明化簡(jiǎn)分式的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱 讀，并解答所提出的問(wèn)題。
………………………第一步
=2（x-2）-x-6……………………………………………………………第二步
=2x-4-x+6…………………………………………………………………第三步
=x+2………………………………………………………………………第四步
小明的解法從第 （2分）步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤， 正確的化簡(jiǎn)結(jié)果是 。（3分）
【答案】二
20．（201 3山西，20，7分）（本題7分）解方程：（2x-1）2=x(3x+2)-7
【解析】解：原方程 可化為：4x2-4x+1=3x2+2x-7
∴x2-6x+8=0 ∴(x-3)2=1 ∴x-3=±1 ∴x1=2 x2=4
21．（2013山西，21，8分）（本題8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)。
（1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）。
①作∠DAC的平分線AM。②連接BE并延長(zhǎng)交AM于點(diǎn)F。
【解析】解：①作圖正確，并有痕跡。
②連接BE并延長(zhǎng)交AM于點(diǎn)F。
（2）猜想與證明：試猜想AF與BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。
【解析】解：AF∥BC且AF=BC
理由如下：∵AB=AC,∴∠ABC=∠C∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C
由作圖可知：∠DAC=2∠FAC
∴∠C=∠FAC.∴AF∥BC.
∵E是AC的中點(diǎn)， ∴AE=CE, ∵∠AEF=∠CEB ∴△AEF≌△CEB ∴AF=BC.
22．（2013山西，22，9分）（本題9分）小勇收集了我省四張著名的旅游景點(diǎn)圖片（大小、形狀及背面完全相同）：太原以南的壺口瀑布和平遙古城，太原以北的云崗石窟和五臺(tái)山。他與爸爸玩 游戲：把這四張圖片背面朝上洗勻后，隨機(jī)抽取一張（不放回），再抽取一張，若抽到兩個(gè)景點(diǎn)都在太原以南或都在太原以北，則爸爸同意帶他到這兩個(gè)景點(diǎn)旅游，否則，只能去一個(gè)景點(diǎn)旅游。請(qǐng)你用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求小勇能去兩個(gè)景點(diǎn)旅游的概率（四張圖 片分別用（H，P，Y，W表示） 。
【解析】解：列表如下：
或畫(huà)樹(shù)狀圖如下：
由列表（或畫(huà)樹(shù)狀圖）可以看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，而且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相同，其中抽到的兩個(gè)景點(diǎn)都在太原以南或以北的結(jié)果共有4種。
∴P（小能力能到兩個(gè)景點(diǎn)旅游）= =
23．（2013山西，23，9分）（本題9分）如圖，AB為的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，點(diǎn)P是直徑AB上的一點(diǎn)（不與A，B重合），過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q。
（1）在線段PQ上取一點(diǎn)D，使DQ=DC，連接DC，試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。
（2）若cosB= ，BP=6，AP=1，求QC的長(zhǎng)。
解析】解：（1）CD是⊙O的切線,
理由如下：連接OC,∵OC=OB,∴∠B=∠1.又∵DC=DQ,∴∠Q=∠2
∵PQ⊥AB,∴∠QPB=90°∴∠B+∠Q=90°∴∠1+∠2=90°∴∠DCO=∠QCB-(∠1+∠2)=180°-90°,
∴OC⊥DC,∵OC是⊙O的半徑∴CD是⊙O的切線
(2)連接AC,∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°.
在Rt△ABC中,
BC=ABcosB=(AP+BP) cosB=(1+6)× = .
在Rt△BPQ中BQ= = =10
∴QC=BQ-BC=10= =
24．（2013山西，24，8分）（本題8分）某校實(shí)行學(xué)案式教學(xué)，需印制若干份數(shù)學(xué)學(xué)案。印刷廠有甲、乙兩種收費(fèi)方式，除按印數(shù)收取印刷費(fèi)外，甲種方式還需收取制版費(fèi)而乙種不需要。兩種印刷方式的費(fèi)用y（元）與印刷份數(shù)x（份）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：
（1）：甲種收費(fèi)方式的函數(shù)關(guān)系式是 .
乙種收費(fèi)方式的函數(shù)關(guān)系式是 .
（2）該校某年級(jí)每次需印制100~450（含100和450）份學(xué)案，選擇哪種印刷方式較合算。
【解析】（1）y=0.1x+6 y=0.12x
（2）解：由0.1x+6＞0.12x，得x＜300
由0.1x+6=0.12x，得x=300
由0.1x+6＜0.12x，得x＞300
由此可知：當(dāng)100≤x＜300時(shí)，選 擇乙種方式較合算；
當(dāng)x=300時(shí)，選擇甲乙兩種方式都可以；
當(dāng)300＜x≤450時(shí)，選擇甲種方式較合算。
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25．（2013山西 ，25，13分）（本題13分）數(shù)學(xué)活動(dòng)??求重疊部分的面積。
問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：
如圖，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，DF交AC于點(diǎn)G。
求重疊部分（△DCG）的面積。
（1）獨(dú)立思考：請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題。
【解析】解：∵∠ACB=90°D是AB的中點(diǎn),
∴DC=DB=DA,∴∠B=∠DCB
又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B
∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC∴∠AGD=∠ACB=90°∴DG⊥AC
又∵DC=DA,∴G是AC的中點(diǎn),
∴CG= AC= ×8=4,DG= BC= ×6=3
∴SDCG= ×CG?DG= ×4×3=6
（2）合作交流：“希望”小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H，DF交AC于點(diǎn)G，如圖(2)，你能求出重疊部分(△DGH)的面積嗎？請(qǐng)寫(xiě)出解答過(guò)程。
【解析】解法一：∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1
∵∠C=90°,ED⊥AB,∴∠A+∠B=90°, ∠A+∠2=90°,
∴∠B=∠2,∴∠1=∠2
∴GH=GD
∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°
∴∠A=∠3,∴AG=GD，∴AG=GH
∴點(diǎn)G是AH的中點(diǎn)，
在Rt△ABC中，AB= 10
∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD= AB=5
在△ADH與△ACB中，∵∠A =∠A，∠ADH=∠ACB=90°,
∴△ADH∽△ACB, ∴ = , = ,∴DH= ,
∴S△DGH＝ S△ADH＝ × ×DH?AD= × ×5=
解法二：同解法一，G是AH的中點(diǎn)，
連接BH，∵DE⊥AB，D是AB的中點(diǎn)，∴AH=BH，設(shè)AH=x則CH＝８-ｘ
在Rt△BCH中，CH2+BC2=BH2，即（8-x）2+36=x2，解得x=
∴S△ABH=AH?BC= × ×6=
∴S△ＤＧＨ= S△ADH= × S△ABH= × = .
解法三：同解法一，∠1=∠2
連接CD，由（1）知，∠B=∠DCB=∠1，∠1=∠2=∠B=∠DCB，△DGH∽△BDC,
作DM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，∵D是AB的中點(diǎn)，∠ACB=90°
∴CD=AD=BD，∴點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，∴DM= BC= ×6=3
在Rt△ABC中，AB= =10， AC?BC= AB?CN，
∴CN＝ .
∵△DGH∽△BDC, ∴ ,
∴ =
∴
（3）提出問(wèn)題：老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，再提出一個(gè)求重疊部分面積的問(wèn)題。“愛(ài)心”小組提出的問(wèn)題是：如圖(3)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點(diǎn)M，N，使DM=MN求重疊部分(△DMN)的面積、
任務(wù)：①請(qǐng)解決“愛(ài)心”小組所提出的問(wèn)題，直接寫(xiě)出△DMN的面積是
②請(qǐng)你仿照以上兩個(gè)小組，大膽提出一個(gè)符合老師要求的問(wèn)題，并在圖中畫(huà)出圖形，標(biāo)明字母，不必解答（注：也可在圖（1）的基礎(chǔ)上按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)）。
【答案】①
②注：此題答案不唯一，語(yǔ)言表達(dá)清晰、準(zhǔn)確得1分，畫(huà)圖正確得1分，重疊部分未涂陰影不扣分。示例：如圖，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥BC于點(diǎn)M，DF交AC于點(diǎn)N，求重疊部分（四邊形DMCN）的面積。
26．（2013山西，26，14分）（本題14分）綜合與探究：如圖,拋物線 與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè))與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,以BC為一邊,點(diǎn)O為對(duì)稱中心作菱形BDEC,點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q
（1）求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)。
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l分別交BD，BC于點(diǎn)M,N。試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，此時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形CQBM的形狀，并說(shuō)明理由。
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn) Q，使△BDQ為直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
解析：（1）當(dāng)y=0時(shí)， ，解得，
∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，
∴點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為：（-2，0），（8，0）
當(dāng)x=0時(shí)，y=-4
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-4），
（2）由菱形的對(duì)稱性可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4）.
設(shè)直線BD的解析式為y＝kx＋b，則 .解得，k= ，b=4.
∴直線BD的解析式為 .
∵l⊥x軸，∴點(diǎn)M，Q的坐標(biāo)分別是（m， ），（m， ）
如圖，當(dāng)MQ=DC時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形.
∴（ ）-( )=4-(-4)
化簡(jiǎn)得： .解得，m1=0，（舍去）m2=4.
∴當(dāng)m=4時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形.
此時(shí)，四邊形CQBM是平行四邊形.
解法一：∵m=4，∴點(diǎn)P是OB中點(diǎn).∵l⊥x軸，∴l(xiāng)∥y軸.
∴△BPM∽△BOD.∴ .∴BM=DM.
∵四邊形CQMD是平行四邊形，∴DM CQ∴BM CQ.∴四邊形CQBM為平行四邊形.
解法二：設(shè)直線BC的解析式為y=k1x+b1，則 .解得，k1= ，b1=-4
∴直線BC的解析式為y= x-4
又∵l⊥x軸交BC于點(diǎn)N.∴x=4時(shí)，y=-2. ∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，-2）由上面可知，點(diǎn)M,Q的坐標(biāo)分別為：（4，2），Q(4,-6).
∴MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4.∴MN=QN.
又∵四邊形CQMD是平行四邊形.∴DB∥CQ，∴∠3=∠4，
又∠1=∠2，∴△BMN≌△CQN.∴BN=CN.
∴四邊形CQBM為平行四邊形.
（3）拋物線上存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)Q，分別是Q1（-2，0），Q2（6，-4）.
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