2014-2015學年浙江省杭州實驗外國語學校九年級（上）開學數學試卷
一、選擇題：
1．（2014•棗莊）2015年世界杯即將在巴西舉行，根據預算巴西將總共花費14000000000美元，用于修建和翻新12個體育場，升級聯(lián)邦、各州和各市的基礎設施，以及為32支隊伍和預計約60萬名觀眾提供安保．將14000000000用科學記數法表示為（ �。�
A． 140×108 B． 14.0×109 C． 1.4×1010 D． 1.4×1011
2．（2011•黔南州） 的平方根是（ ）
A． 3 B． ±3 C． D． ±
3．（2014•濰坊）下列實數中是無理數的是（ �。�
A． B． 2?2 C． 5. D． sin45°
4．（2014•下城區(qū)一模）分解因式a4?2a2+1的結果是（ �。�
A． （a2+1）2 B． （a2?1）2 C． a2（a2?2） D． （a+1）2（a?1）2
5．（2014•寧波）如圖，在2×2的正方形網格中有9個格點，已經取定點A和B，在余下的7個點中任取一點C，使△ABC為直角三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2014•臺州）將分式方程1? = 去分母，得到正確的整式方程是（ ）
A． 1?2x=3 B． x?1?2x=3 C． 1+2x=3 D． x?1+2x=3
7．（2013•衢州）拋物線y=x2+bx+c的圖象先向右平移2個單位，再向下平移3個單位，所得圖象的函數解析式為y=（x?1）2?4，則b、c的值為（ �。�
A． b=2，c=?6 B． b=2，c=0 C． b=?6，c=8 D． b=?6，c=2
8．（2013•雅安）如圖，DE是△ABC的中位線，延長DE至F使EF=DE，連接CF，則S△CEF：S四邊形BCED的值為（ �。�
A． 1：3 B． 2：3 C． 1：4 D． 2：5
9．（2013•深圳）如圖，已知l1∥l2∥l3，相鄰兩條平行直線間的距離相等，若等腰直角△ABC的三個頂點分別在這三條平行直線上，則sinα的值是（ �。�
A． B． C． D．
10．（2013•黃石）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以點C為圓心，CA為半徑的圓與AB交于點D，則AD的長為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題：
11．（2014•十堰）計算： +（π?2）0?（ ）?1= �。�
12．（2013•杭州）把7的平方根和立方根按從小到大的順序排列為 ．
13．（2013•廣東）若實數a、b滿足|a+2| ，則 = �。�
14．（2014•棗莊）已知x、y是二元一次方程組 的解，則代數式x2?4y2的值為 �。�
15．（2014•荊州）我們知道，無限循環(huán)小數都可以轉化為分數．例如：將 轉化為分數時，可設 =x，則x=0.3+ x，解得x= ，即 = ．仿此方法，將 化成分數是 �。�
16．（2014秋•平頂山期末）如圖，是二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的一部分，對稱軸是直線x=1．①b2＞4ac；②4a?2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若（?2，y1），（5，y2）是拋物線上的兩點，則y1＜y2．上述四個判斷中正確的是 �。ㄌ钫_結論的序號）．
三、解答題：
17．（2014秋•杭州校級月考）先化簡，再求值：5xy?[x2+4xy?y2?（x2+2xy?2y2）]，其中x=? ，y=? ．
18．（2014•杭州）設y=kx，是否存在實數k，使得代數式（x2?y2）（4x2?y2）+3x2（4x2?y2）能化簡為x4？若能，請求出所有滿足條件的k的值；若不能，請說明理由．
19．（2014春•邗江區(qū)校級期中）若關于x的分式方程 = ?2的解是非負數，求a的取值范圍．
20．（2014•海珠區(qū)一模）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）與y軸交于點C（0，?3），對稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D，點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交拋物線于P，Q兩點（點P在第三象限）
（1）求拋物線的函數表達式和直線BC的函數表達式；
（2）當△CDE是直角三角形，且∠CDE=90° 時，求出點P的坐標；
（3）當△PBC的面積為 時，求點E的坐標．
2014-2015學年浙江省杭州實驗外國語學校九年級（上）開學數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：
1．（2014•棗莊）2015年世界杯即將在巴西舉行，根據預算巴西將總共花費14000000000美元，用于修建和翻新12個體育場，升級聯(lián)邦、各州和各市的基礎設施，以及為32支隊伍和預計約60萬名觀眾提供安保．將14000000000用科學記數法表示為（ �。�
A． 140×108 B． 14.0×109 C． 1.4×1010 D． 1.4×1011
考點： 科學記數法—表示較大的數．
專題： 常規(guī)題型．
分析： 科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．
解答： 解：14 000 000 000=1.4×1010，
故選：C．
點評： 此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
2．（2011•黔南州） 的平方根是（ �。�
A． 3 B． ±3 C． D． ±
考點： 算術平方根；平方根．
分析： 首先根據平方根概念求出 =3，然后求3的平方根即可．
解答： 解：∵ =3，
∴ 的平方根是± ．
故選：D．
點評： 本題主要考查了平方根、算術平方根概念的運用．如果x2=a（a≥0），則x是a的平方根．若a＞0，則它有兩個平方根并且互為相反數，我們把正的平方根叫a的算術平方根；若a=0，則它有一個平方根，即0的平方根是0，0的算術平方根也是0，負數沒有平方根．
3．（2014•濰坊）下列實數中是無理數的是（ �。�
A． B． 2?2 C． 5. D． sin45°
考點： 無理數．
專題： 常規(guī)題型．
分析： 根據無理數是無限不循環(huán)小數，可得答案．
解答： 解：A、是有理數，故A選項錯誤；
B、是有理數，故B選項錯誤；
C、是有理數，故C選項錯誤；
D、是無限不循環(huán)小數，是無理數，故D選項正確；
故選：D．
點評： 本題考查了無理數，無理數是無限不循環(huán)小數．
4．（2014•下城區(qū)一模）分解因式a4?2a2+1的結果是（ �。�
A． （a2+1）2 B． （a2?1）2 C． a2（a2?2） D． （a+1）2（a?1）2
考點： 因式分解-運用公式法．
分析： 首先利用完全平方公式進行分解，再利用平方差公式進行分解即可．
解答： 解：a4?2a2+1
=（a2?1）2
=[（a+1）（a?1）]2
=（a+1）2（a?1）2．
故選：D．
點評： 此題主要考查了公式法分解因式，關鍵是掌握平方差公式：a2?b2=（a+b）（a?b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
5．（2014•寧波）如圖，在2×2的正方形網格中有9個格點，已經取定點A和B，在余下的7個點中任取一點C，使△ABC為直角三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
考點： 概率公式．
專題： 網格型．
分析： 找到可以組成直角三角形的點，根據概率公式解答即可．
解答： 解：如圖，C1，C2，C3，C4均可與點A和B組成直角三角形．
P= ，
故選：D．
點評： 本題考查了概率公式：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結果，那么事件A的概率P（A）= ．
6．（2014•臺州）將分式方程1? = 去分母，得到正確的整式方程是（ ）
A． 1?2x=3 B． x?1?2x=3 C． 1+2x=3 D． x?1+2x=3
考點： 解分式方程．
專題： 計算題．
分析： 分式方程兩邊乘以最簡公分母x?1，即可得到結果．
解答： 解：分式方程去分母得：x?1?2x=3，
故選：B．
點評： 此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
7．（2013•衢州）拋物線y=x2+bx+c的圖象先向右平移2個單位，再向下平移3個單位，所得圖象的函數解析式為y=（x?1）2?4，則b、c的值為（ �。�
A． b=2，c=?6 B． b=2，c=0 C． b=?6，c=8 D． b=?6，c=2
考點： 二次函數圖象與幾何變換．
分析： 先確定出平移后的拋物線的頂點坐標，然后根據向右平移橫坐標加，向下平移縱坐標減求出平移前的拋物線的頂點坐標，然后寫出平移前的拋物線的頂點式形式，然后整理成一般形式，即可得到b、c的值．
解答： 解：函數y=（x?1）2?4的頂點坐標為（1，?4），
∵是向右平移2個單位，再向下平移3個單位得到，
∴1?2=?1，?4+3=?1，
∴平移前的拋物線的頂點坐標為（?1，?1），
∴平移前的拋物線為y=（x+1）2?1，
即y=x2+2x，
∴b=2，c=0．
故選：B．
點評： 本題考查了二次函數圖象與幾何變換，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，利用頂點的變化確定函數解析式可以使計算更加簡便．
8．（2013•雅安）如圖，DE是△ABC的中位線，延長DE至F使EF=DE，連接CF，則S△CEF：S四邊形BCED的值為（ �。�
A． 1：3 B． 2：3 C． 1：4 D． 2：5
考點： 相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；三角形中位線定理．
分析： 先利用SAS證明△ADE≌△CFE（SAS），得出S△ADE=S△CFE，再由DE為中位線，判斷△ADE∽△ABC，且相似比為1：2，利用相似三角形的面積比等于相似比，得到S△ADE：S△ABC=1：4，則S△ADE：S四邊形BCED=1：3，進而得出S△CEF：S四邊形BCED=1：3．
解答： 解：∵DE為△ABC的中位線，
∴AE=CE．
在△ADE與△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴S△ADE=S△CFE．
∵DE為△ABC的中位線，
∴△ADE∽△ABC，且相似比為1：2，
∴S△ADE：S△ABC=1：4，
∵S△ADE+S四邊形BCED=S△ABC，
∴S△ADE：S四邊形BCED=1：3，
∴S△CEF：S四邊形BCED=1：3．
故選：A．
點評： 本題考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質，三角形中位線定理．關鍵是利用中位線判斷相似三角形及相似比．
9．（2013•深圳）如圖，已知l1∥l2∥l3，相鄰兩條平行直線間的距離相等，若等腰直角△ABC的三個頂點分別在這三條平行直線上，則sinα的值是（ �。�
A． B． C． D．
考點： 全等三角形的判定與性質；平行線之間的距離；等腰直角三角形；銳角三角函數的定義．
專題： 壓軸題．
分析： 過點A作AD⊥l1于D，過點B作BE⊥l1于E，根據同角的余角相等求出∠CAD=∠BCE，然后利用“角角邊”證明△ACD和△CBE全等，根據全等三角形對應邊相等可得CD=BE，然后利用勾股定理列式求出AC，再根據等腰直角三角形斜邊等于直角邊的 倍求出AB，然后利用銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解．
解答： 解：如圖，過點A作AD⊥l1于D，過點B作BE⊥l1于E，設l1，l2，l3間的距離為1，
∵∠CAD+∠ACD=90°，
∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在等腰直角△ABC中，AC=BC，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD=BE=1，
在Rt△ACD中，AC= = = ，
在等腰直角△ABC中，AB= AC= × = ，
∴sinα= = ．
故選：D．
點評： 本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，銳角三角函數的定義，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．
10．（2013•黃石）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以點C為圓心，CA為半徑的圓與AB交于點D，則AD的長為（ �。�
A． B． C． D．
考點： 垂徑定理；勾股定理．
專題： 探究型．
分析： 先根據勾股定理求出AB的長，過C作CM⊥AB，交AB于點M，由垂徑定理可知M為AD的中點，由三角形的面積可求出CM的長，在Rt△ACM中，根據勾股定理可求出AM的長，進而可得出結論．
解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= = =5，
過C作CM⊥AB，交AB于點M，如圖所示，
∵CM⊥AB，
∴M為AD的中點，
∵S△ABC= AC•BC= AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴CM= ，
在Rt△ACM中，根據勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（ ）2，
解得：AM= ，
∴AD=2AM= ．
故選C．
點評： 本題考查的是垂徑定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．
二、填空題：
11．（2014•十堰）計算： +（π?2）0?（ ）?1= 1�。�
考點： 實數的運算；零指數冪；負整數指數冪．
專題： 計算題．
分析： 本題涉及零指數冪、負指數冪、二次根式化簡等考點．針對每個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果．
解答： 解：原式=2+1? =3?2=1．
故答案為：1．
點評： 本題考查實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是掌握零指數冪、負指數冪、二次根式化簡等考點的運算．
12．（2013•杭州）把7的平方根和立方根按從小到大的順序排列為 �。�
考點： 實數大小比較．
專題： 計算題．
分析： 先分別得到7的平方根和立方根，然后比較大�。�
解答： 解：7的平方根為? ， ；7的立方根為 ，
所以7的平方根和立方根按從小到大的順序排列為? ＜ ＜ ．
故答案為：? ＜ ＜ ．
點評： 本題考查了實數大小比較：正數大于0，負數小于0；負數的絕對值越大，這個數越小．
13．（2013•廣東）若實數a、b滿足|a+2| ，則 = 1 ．
考點： 非負數的性質：算術平方根；非負數的性質：絕對值．
分析： 根據非負數的性質列出方程求出a、b的值，代入所求代數式計算即可．
解答： 解：根據題意得： ，
解得： ，
則原式= =1．
故答案是：1．
點評： 本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0．
14．（2014•棗莊）已知x、y是二元一次方程組 的解，則代數式x2?4y2的值為 �。�
考點： 二元一次方程組的解；因式分解-運用公式法．
專題： 計算題．
分析： 根據解二元一次方程組的方法，可得二元一次方程組的解，根據代數式求值的方法，可得答案．
解答： 解： ，
①×2?②得
?8y=1，
y=? ，
把y=? 代入②得
2x? =5，
x= ，
x2?4y2=（ ） = ，
故答案為： ．
點評： 本題考查了二元一次方程組的解，先求出二元一次方程組的解，再求代數式的值．
15．（2014•荊州）我們知道，無限循環(huán)小數都可以轉化為分數．例如：將 轉化為分數時，可設 =x，則x=0.3+ x，解得x= ，即 = ．仿此方法，將 化成分數是 �。�
考點： 一元一次方程的應用．
專題： 方程思想．
分析： 設x= ，則x=0.4545…①，根據等式性質得：100x=45.4545…②，再由②?①得方程100x?x=45，解方程即可．
解答： 解：設x= ，則x=0.4545…①，
根據等式性質得：100x=45.4545…②，
由②?①得：100x?x=45.4545…?0.4545…，
即：100x?x=45，99x=45
解方程得：x= = ．
故答案為： ．
點評： 此題主要考查了一元一次方程的應用，關鍵是正確理解題意，看懂例題的解題方法．
16．（2014秋•平頂山期末）如圖，是二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的一部分，對稱軸是直線x=1．①b2＞4ac；②4a?2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若（?2，y1），（5，y2）是拋物線上的兩點，則y1＜y2．上述四個判斷中正確的是�、佗堋。ㄌ钫_結論的序號）．
考點： 二次函數圖象與系數的關系；二次函數圖象上點的坐標特征；二次函數與不等式（組）．
分析： 根據拋物線與x軸有兩個交點可得b2?4ac＞0，進而判斷①正確；
根據題中條件不能得出x=?2時y的正負，因而不能得出②正確；
如果設ax2+bx+c=0的兩根為α、β（α＜β），那么根據圖象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，由此判斷③錯誤；
先根據拋物線的對稱性可知x=?2與x=4時的函數值相等，再根據二次函數的增減性即可判斷④正確．
解答： 解：①∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴b2?4ac＞0，
∴b2＞4ac，故①正確；
②x=?2時，y=4a?2b+c，而題中條件不能判斷此時y的正負，即4a?2b+c可能大于0，可能等于0，也可能小于0，故②錯誤；
③如果設ax2+bx+c=0的兩根為α、β（α＜β），那么根據圖象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，故③錯誤；
④∵二次函數y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=1，
∴x=?2與x=4時的函數值相等，
∵4＜5，
∴當拋物線開口向上時，在對稱軸的右邊，y隨x的增大而增大，
∴y1＜y2，故④正確．
故答案為：①④．
點評： 此題考查圖象二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質，以及二次函數與不等式的關系，根的判別式的熟練運用．
三、解答題：
17．（2014秋•杭州校級月考）先化簡，再求值：5xy?[x2+4xy?y2?（x2+2xy?2y2）]，其中x=? ，y=? ．
考點： 整式的加減—化簡求值．
分析： 利用去括號，合并同類項化簡，再把x=? ，y=? 代入求解．
解答： 解：5xy?[x2+4xy?y2?（x2+2xy?2y2）]
=5xy?[x2+4xy?y2?x2?2xy+2y2]，
=5xy?[2xy+y2]，
=5xy?2xy?y2，
=3xy?y2，
當x=? ，y=? 時，原式=3×（? ）（? ）?（? ）2= ? = ．
點評： 本題主要考查了整式的化簡求值，解題的關鍵是正確的化簡．
18．（2014•杭州）設y=kx，是否存在實數k，使得代數式（x2?y2）（4x2?y2）+3x2（4x2?y2）能化簡為x4？若能，請求出所有滿足條件的k的值；若不能，請說明理由．
考點： 因式分解的應用．
專題： 計算題；因式分解．
分析： 先利用因式分解得到原式=（4x2?y2）（x2?y2+3x2）=（4x2?y2）2，再把當y=kx代入得到原式=（4x2?k2x2）2=（4?k2）x4，所以當4?k2=1滿足條件，然后解關于k的方程即可．
解答： 解：能；
（x2?y2）（4x2?y2）+3x2（4x2?y2）
=（4x2?y2）（x2?y2+3x2）
=（4x2?y2）2，
當y=kx，原式=（4x2?k2x2）2=（4?k2）2x4，
令（4?k2）2=1，解得k=± 或± ，
即當k=± 或± 時，原代數式可化簡為x4．
點評： 本題考查了因式分解的運用：利用因式分解解決求值問題；利用因式分解解決證明問題；利用因式分解簡化計算問題．
19．（2014春•邗江區(qū)校級期中）若關于x的分式方程 = ?2的解是非負數，求a的取值范圍．
考點： 分式方程的解．
專題： 計算題．
分析： 分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解表示出x，根據x為非負數求出a的范圍即可．
解答： 解：分式方程去分母得：2x=3a?4x+4，
解得：x= ，
根據題意得： ≥0，且 ≠1，
解得：a≥? ，且a≠ ．
點評： 此題考查了分式方程的解，需注意在任何時候都要考慮分母不為0．
20．（2014•海珠區(qū)一模）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）與y軸交于點C（0，?3），對稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D，點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交拋物線于P，Q兩點（點P在第三象限）
（1）求拋物線的函數表達式和直線BC的函數表達式；
（2）當△CDE是直角三角形，且∠CDE=90° 時，求出點P的坐標；
（3）當△PBC的面積為 時，求點E的坐標．
考點： 二次函數綜合題．
分析： （1）用對稱軸公式即可得出b的值，再利用拋物線與y軸交于點C（0，?3），求出拋物線解析式即可；由拋物線的解析式可求出B的坐標，進而可求出線BC的函數表達式；
（2）當∠CDE=90°時，則CE為斜邊，則DG2=CG•GE，即1=（OC?OG）•（2?a），求出a的值，進而得出P點坐標；
（3）當△PBC的面積為 時，過P作PK∥x 軸，交直線BC于點K，設P（m，n），則n=m2?2m?3，由已知條件可得：S△PBC=S△PKC+S△PKB= ，進而可求出P的坐標，又因為點P在CE垂直平分線上，所以E的坐標可求出．
解答： 解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴? ?=1，
∴b=?2
∵拋物線與y軸交于點C（0，?3），
∴c=?3，
∴拋物線的函數表達式為：y=x2?2x?3；
∵拋物線與x軸交于A、B兩點，
當y=0時，x2?2x?3=0．
∴x1=?1，x2=3．
∵A點在B點左側，
∴A（?1，0），B（3，0）
設過點B（3，0）、C（0，?3）的直線的函數表達式為y=kx+m，
則 ，
∴
∴直線BC的函數表達式為y=x?3；
（2）∵Rt△CDE 中∠CDE=90°，直線BC的解析式為y=x?3，
∴∠OCB=45°，
∵點D在對稱軸x=1與直線y=x?3交點上，
∴D坐標為（1，?2 ）
Rt△CDE為等腰直角三角形易得E的坐標（0，?1），
∵點P在CE垂直平分線上，
∴點P縱坐標為?2，
∵點P在y=x2?2x?3上，
∴x2?2x?3=?2，
解得：x=1± ，
∵P在第三象限，
∴P的坐標為（1? ，?2）；
（3）過P作PK∥x軸，交直線BC于點K，設P（m，n），則n=m2?2m?3
∵直線BC的解析式為y=x?3，
∴K的坐標為（n+3，n），
∴PK=n+3?m=m2?3m，
∵S△PBC=S△PKC+S△PKB= ，
∴ ×3KP=
∴m2?3m= ，
解得：m=? 或 ，
∵P在第三象限，
∴P的坐標為（? ，? ）
∵點P在CE垂直平分線上，
∴E的坐標為（0，? ）
點評： 本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法以及用待定系數法求一次函數的解析式和等腰直角三角形的性質，在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．
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