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2013-2014學(xué)年度魯山中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)第二次月考卷
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、（每題4分）
1．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)P分別作AC，BD的垂線，分別交AC，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，交AD，BC于點(diǎn)，N．下列結(jié)論：
①△APE≌△AE；②P+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤當(dāng)△PN∽△AP時(shí)，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)．
其中正確的結(jié)論有

A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)
2．如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，∠BDA=90°，AB=a，BD=b，CD=c，BC=d，AD=e，則下列等式成立的是

A． b2=ac B．b2=ce C．be=ac D．bd=ae
3．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=900，點(diǎn)P以每秒1c的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AC－CB運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止。過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，PD的長(zhǎng)y（c）與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間x（秒）的函數(shù)圖象如圖2所示。當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)5秒時(shí)，PD的長(zhǎng)是【 】

A．1.5c　　 B．1.2c　 　C．1.8c　 　D．2c
4．如圖，在 ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F， ，則DE：EC=【 】

A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則下列關(guān)于，n的關(guān)系正確的是

A. =?3n B. C. D.
6．如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分線OD交AB于點(diǎn)O，交AC于點(diǎn)D，連接BD，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

A. ∠C=2∠A B. BD平分∠ABC
C. S△BCD=S△BOD D. 點(diǎn)D為線段AC的黃金分割點(diǎn)
7．在平面坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1C，延長(zhǎng)C1B1交x軸于點(diǎn)A2，作正方形A2B2C2C1,………按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2012個(gè)正方形的面積為

A． B． C． D．
8．如圖，點(diǎn)G、E、A、B在一條直線上，Rt△EFG從如圖所示是位置出發(fā)，沿直線AB向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)G與B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)△EFG與矩形ABCD重合部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則S與t的圖象大致是

A． B． C． D．

9．如圖，在▱ABCD中，E是AD邊上的中點(diǎn)，連接BE，并延長(zhǎng)BE交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則△EDF與△BCF的周長(zhǎng)之比是【 】

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
10． （2013年四川南充3分） 如圖1，點(diǎn)E為矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿BE→ED→DC 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1c/s，設(shè)P，Q出發(fā)t秒時(shí)，△BPQ的面積為yc，已知y與t的函數(shù)關(guān)系的圖形如圖2（曲線O為拋物線的一部分），則下列結(jié)論：①AD=BE=5c；②當(dāng)0＜t≤5時(shí)， ；③直線NH的解析式為 ；④若△ABE與△QBP相似，則t= 秒。其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為【 】

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

二、題（每題5分）
11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù) 的圖象上，第二象限內(nèi)的點(diǎn)B在反比例函數(shù) 的圖象上，連接OA、OB，若OA⊥OB，OB= OA，則k=　 �。�
12．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E、F分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AE⊥EF。則AF的最小值是　 　。

13．將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則 的值是　 　．

14．如圖，巳知△ABC是面積為 的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC與DE相交于點(diǎn)F，則△AEF的面積等于　_________�。ńY(jié)果保留根號(hào)）．
　

四、解答題
15．（8分）如圖，∴P是菱形ABCD對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接DP并延長(zhǎng)DP交邊AB于點(diǎn)E，連接BP并延長(zhǎng)BP交邊AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．

（1）求證：△APB≌△APD；
（2）已知DF：FA＝1：2，設(shè)線段DP的長(zhǎng)為x，線段PF的長(zhǎng)為y．
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)x＝6時(shí)，求線段FG的長(zhǎng)．
16．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)（點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時(shí)，點(diǎn)B、P、P′恰好在同一直線上，此時(shí)作P′E⊥AC于點(diǎn)E．

（1）求證：∠CBP=∠ABP；
（2）求證：AE=CP；
（3）當(dāng) ，BP′= 時(shí)，求線段AB的長(zhǎng)．
17．（8分）如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點(diǎn)，

（1）求證：AC2=AB•AD；
（2）求證：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求 的值．
18．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使點(diǎn)C落在斜邊AB上某一點(diǎn)D處，折痕為EF（點(diǎn)E、F分別在邊AC、BC上）

（1）若△CEF與△ABC相似．
①當(dāng)AC=BC=2時(shí)，AD的長(zhǎng)為　 　；
②當(dāng)AC=3，BC=4時(shí)，AD的長(zhǎng)為　 �。�
（2）當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，△CEF與△ABC相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
19．（10分）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的頂點(diǎn)D地邊AC上，點(diǎn)E、F在邊AB上，點(diǎn)G在邊BC上。

（1）求證：△ADE≌△BGF；
（2）若正方形DEFG的面積為16c ，求AC的長(zhǎng)。
20．（10分））如圖，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，雙曲線 （k＞0）與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F．

（1）若E是AB的中點(diǎn)，求F點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若將△BEF沿直線EF對(duì)折，B點(diǎn)落在x軸上的D點(diǎn)，作EG⊥OC，垂足為G，證明△EGD∽△DCF，并求k的值．
21．（12分）將矩形OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0）（＞0），點(diǎn)D（，1）在BC上，將矩形OABC沿AD折疊壓平，使點(diǎn)B落在坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．

（1）當(dāng)=3時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ；
（2）隨著的變化，試探索：點(diǎn)E能否恰好落在x軸上？若能，請(qǐng)求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如圖，若點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為－1，拋物線 （a≠0且a為常數(shù)）的頂點(diǎn)落在△ADE的內(nèi)部，求a的取值范圍．
22．（12分）如圖，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，E是DC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，連接AE，交BC于點(diǎn)F。

（1）求證：△ABF∽△ECF
（2）如果AD＝5c，AB＝8c，CF＝2c，求CE的長(zhǎng)。
23．（14分）如圖,已知二次函數(shù) 的圖象與 軸交于A、B兩點(diǎn)，與 軸交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)為C（1，-2）.

（1)求此函數(shù)的關(guān)系式；
（2)作點(diǎn)C關(guān)于 軸的對(duì)稱點(diǎn)D，順次連接A、C、B、D.若在拋物線上存在點(diǎn)E，使直線PE將四邊形ABCD分成面積相等的兩個(gè)四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得△PEF是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及△PEF的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案
1．B
2．A
3．B。
4．B。
5．A
6．C
7．D
8．D
9．A。
10．B。
11．
12．5
13．
14．
15．解：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC平分∠DAB�！螪AP=∠BAP。
∵在△APB和△APD中， ，
∴△APB≌△APD（SAS）。
（2）①∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC。
∴△AFP∽△CBP�！� 。
∵DF：FA＝1：2，∴AF：BC＝3：3�！� 。
由（1）知，PB=PD=x，又∵PF=y，∴ 。
∴ ，即ｙ與x的函數(shù)關(guān)系式為 。
②當(dāng)x＝6時(shí)， ，∴ 。
∵DG∥AB，∴△DFG∽△AFB�！� �！� 。
∴ ，即線段FG的長(zhǎng)為5。
16．解：（1）證明：∵AP′是AP旋轉(zhuǎn)得到，∴AP=AP′�！唷螦PP′=∠AP′P。
∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°。
又∵∠BPC=∠APP′（對(duì)頂角相等）�！唷螩BP=∠ABP。
（2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，

∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP。
∵P′E⊥AC，∴∠EAP′+∠AP′E=90°。
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E。
在△APD和△P′AE中，
∵ ，
∴△APD≌△P′AE（AAS）�！郃E=DP。∴AE=CP。
（3）∵ ，∴設(shè)CP=3k，PE=2k，則AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k。
在Rt△AEP′中， ，
∵∠C=90°，P′E⊥AC，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°。
∵∠BPC=∠EPP′（對(duì)頂角相等），∴∠CBP=∠P′PE。
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，∴△ABP′∽△EPP′。
∴ 。即 �！� 。
在Rt△ABP′中， ，即 。
解得AB=10
17．解：（1）證明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB。
∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB。
∴ ，即AC2=AB•AD。
（2）證明：∵E為AB的中點(diǎn)，∴CE= AB=AE�！唷螮AC=∠ECA。
∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA�！郈E∥AD。
（3）∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴ 。
∵CE= AB，∴CE= ×6=3。
∵AD=4，∴ 。∴ 。
18．解：（1）① 。
② 或 。
（2）當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，△CEF與△ABC相似。理由如下：
如答圖3所示，連接CD，與EF交于點(diǎn)Q，

∵CD是Rt△ABC的中線，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B。
由折疊性質(zhì)可知，∠CQF=∠DQF=90°，
∴∠DCB+∠CFE=90°。
∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A。
又∵∠C=∠C，∴△CEF∽△CBA。
19．解：（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠B=∠A=45°。
∵四邊形DEFG是正方形，∴∠BFG=∠AED=90°。
∴∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED。
∵在△ADE與△BGF中， ，
∴△ADE≌△BGF（ASA）。
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，

∵正方形DEFG的面積為16c2，∴DE=AE=4c。
∴AB=3DE=12c。
∵△ABC是等腰直角三角形，CG⊥AB，
∴AG= AB= ×12=6c。
在Rt△ADE中，∵DE=AE=4c，
∴ （c）。
∵CG⊥AB，DE⊥AB，∴CG∥DE�！唷鰽DE∽△ACG。
∴ ，即 ，解得 c。
20．解：（1）∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，OA=2，AB=4，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2）。
將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入 ，可得k=4。
∴反比例函數(shù)解析式為： 。
∵點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為4，∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo) 。
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，1）。
（2）結(jié)合圖形可設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（ ，2），點(diǎn)F坐標(biāo)為（4， ），
則CF= ，BF=DF=2? ，ED=BE=AB?AE=4? ，
在Rt△CDF中， 。
由折疊的性質(zhì)可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，
∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，∴∠CDF=∠GED。
又∵∠EGD=∠DCF=90°，∴△EGD∽△DCF。
∴ ，即 。
∴ =1，解得：k=3。
21．解：（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1）。
（2）點(diǎn)E能恰好落在x軸上。理由如下：
∵四邊形OABC為矩形，∴BC=OA=4，∠AOC=∠DCE=90°。
由折疊的性質(zhì)可得：DE=BD=OA-CD=4－1=3，AE=AB=OC=。
如圖1，假設(shè)點(diǎn)E恰好落在x軸上，

在Rt△CDE中，由勾股定理可得
，
則有 。
在Rt△AOE中，OA2+OE2=AE2，
即 ，解得 。
（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F，EF分別與AD、OC交于點(diǎn)G、H，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥EF于點(diǎn)P，則EP=PH+EH=DC+EH=2，

在Rt△PDE中，由勾股定理可得
，
∴BF=DP= 。
在Rt△AEF中，AF=AB−BF=− ，EF=5，AE=，
∵AF2+EF2=AE2，即 ，解得=3 。
∴AB＝3 ，AF＝2 ，E（2 ，－1）。
∵∠AFG=∠ABD=90°，∠FAG=∠BAD，∴△AFG∽△ABD。
∴ ，即 ，解得FG=2�！郋G=EF－FG=3�！帱c(diǎn)G的縱坐標(biāo)為2。
∵ ，
∴此拋物線的頂點(diǎn)必在直線x＝2 上。
又∵拋物線 的頂點(diǎn)落在△ADE的內(nèi)部，
∴此拋物線的頂點(diǎn)必在EG上。
∴－1＜10－20a＜2，解得 。
∴a的取值范圍為 。
22．解：（1）證明：∵DC∥AB，∴∠B=∠ECF，∠BAF=∠E，
∴△ABF∽△ECF。
（2）∵在等腰梯形ABCD中，AD=BC， AD＝5c，AB＝8c，CF＝2c，∴BF＝3c。
∵△ABF∽△ECF，∴ ，即 。
∴ （c）。
23． ；E(3，2) ；3