《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(版)》(以下簡稱《課標(biāo)(版)》)課程目標(biāo)明確提出“四基”,除了我國傳統(tǒng)的“雙基”(基礎(chǔ)知識和基本技能)以外,增加了新的“雙基”,即基本思想和基本活動經(jīng)驗.那么,如何認(rèn)識基本活動經(jīng)驗?在數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生應(yīng)該獲得哪些基本的活動經(jīng)驗?本文主要結(jié)合人教版數(shù)學(xué)教材中的四邊形和函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容,分析和探討基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗及基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗積累的有關(guān)問題.
獲得基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,首先必須明確都有哪些數(shù)學(xué)活動,其中哪些數(shù)學(xué)活動可確定為基本數(shù)學(xué)活動.我們先來分析《課標(biāo)(版)》關(guān)于數(shù)學(xué)活動或者基本數(shù)學(xué)活動的表述.
在基本理念中,“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”的表述表明了觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證是數(shù)學(xué)活動.
在知識技能目標(biāo)中,“經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運算與建模等過程……;經(jīng)歷圖形的抽象、分類、性質(zhì)探討、運動、位置確定等過程……;經(jīng)歷在實際問題中收集和處理數(shù)據(jù)、利用數(shù)據(jù)分析問題、獲取信息的過程……;參與綜合實踐活動……”的表述表明了抽象、運算與建模;圖形的抽象、分類、性質(zhì)探討、運動、位置確定;在實際問題中收集和處理數(shù)據(jù)、利用數(shù)據(jù)分析問題、獲取信息;參與綜合實踐活動是數(shù)學(xué)活動.
在數(shù)學(xué)思考目標(biāo)中,“在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學(xué)活動中,發(fā)展合情推理和演繹推理能力,清晰地表達(dá)自己的想法”的表述表明了觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐是數(shù)學(xué)活動.
在教學(xué)建議中,強調(diào)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程中逐步積累.進(jìn)一步地,以統(tǒng)計教學(xué)為例指出,通過設(shè)計有效的統(tǒng)計活動,使學(xué)生經(jīng)歷完整的統(tǒng)計過程,包括收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、展示數(shù)據(jù)、從數(shù)據(jù)中提取信息,并利用這些信息說明問題,不斷積累統(tǒng)計活動經(jīng)驗.
最后特別指出,強調(diào)“綜合與實踐”是積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的重要載體,通過“綜合與實踐”的學(xué)習(xí)積累運用數(shù)學(xué)解決問題的經(jīng)驗.
顯然,《課標(biāo)(版)》在不同地方對數(shù)學(xué)活動的表述是有差異的.那么,是否可以將其在不同地方提及的數(shù)學(xué)活動合并以后就可以構(gòu)成義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)活動?是否還存在著《課標(biāo)(版)》沒有提及的數(shù)學(xué)活動?在上述數(shù)學(xué)活動中,又有哪些數(shù)學(xué)活動屬于基本數(shù)學(xué)活動?確定的依據(jù)或標(biāo)準(zhǔn)又是什么(以下在論述時只提“數(shù)學(xué)活動”,不提“基本數(shù)學(xué)活動”)?顯然這些問題都需要認(rèn)真地研究.
一個基本的認(rèn)識是,研究數(shù)學(xué)活動或者基本數(shù)學(xué)活動不能停留在一般層面上泛泛而談,不能脫離具體數(shù)學(xué)知識(數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容)空談,而應(yīng)對具體的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行深入的分析,揭示數(shù)學(xué)知識之后所蘊涵的數(shù)學(xué)活動,使數(shù)學(xué)知識挖掘出數(shù)學(xué)活動的生長點,使數(shù)學(xué)活動尋求到數(shù)學(xué)知識的固著點,并將這些數(shù)學(xué)活動設(shè)計為過程性的教學(xué)目標(biāo),使學(xué)生切實能夠在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.
二、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的案例分析
1.平行四邊形學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗分析
通過分析可知,人教版數(shù)學(xué)八年級下冊第十九章“四邊形”所涉及的圖形及其相互關(guān)系可用下頁圖1直觀表示.
也就是說,這一章依次要研究平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形和直角梯形.一個自然的想法是:研究平行四邊形的做法是否也可以用來研究隨后的矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形和直角梯形?從數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的角度來分析,即在平行四邊形學(xué)習(xí)過程中獲得的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是否可以在隨后的矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形和直角梯形的學(xué)習(xí)中發(fā)揮積極作用?
進(jìn)一步地,通過分析平行四邊形的教學(xué)內(nèi)容可以知道以下三個基本事實:
(1)知識的整體脈絡(luò):定義性質(zhì)判定方法應(yīng)用.
首先,教材給出了平行四邊形的定義;其次,在掌握平行四邊形定義的基礎(chǔ)上探究平行四邊形的性質(zhì);再次,在學(xué)習(xí)平行四[第一論文網(wǎng)lunwen.1KEJIAN.com]邊形的性質(zhì)后研究平行四邊形的判定方法;最后,關(guān)于平行四邊形知識的應(yīng)用(這里的應(yīng)用包括了平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定方法的應(yīng)用,也涵蓋了數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用和數(shù)學(xué)外部的應(yīng)用).
(2)考察的基本元素:邊、角與對角線.
平行四邊形的定義:有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
平行四邊形的三條性質(zhì):①平行四邊形的對邊相等;②平行四邊形的對角相等;③平行四邊形的對角線互相平分.
平行四邊形的四種判定方法:①兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;②對角線互相平分的四邊形是平行四邊形;③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;④一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
從平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定方法中可以看出,其所涉及的平行四邊形的基本元素只有三個:邊、角、對角線,除此以外再也沒有提及其他元素.
(3)關(guān)注的主要關(guān)系:度量關(guān)系與位置關(guān)系.
“平行四邊形的對邊相等”“平行四邊形的對角線互相平分”刻畫的是線段相等;“平行四邊形的對角相等”刻畫的是角度相等.不論線段相等,還是角度相等,其本質(zhì)是幾何對象的度量關(guān)系.
“平行四邊形的兩組對邊分別平行”刻畫的是邊與邊的平行關(guān)系;“菱形(特殊的平行四邊形)的對角線互相垂直”刻畫的是對角線與對角線的垂直關(guān)系.無論平行關(guān)系,還是垂直關(guān)系,其本質(zhì)是幾何對象的位置關(guān)系(特殊位置關(guān)系).
所以,在學(xué)習(xí)平行四邊形時,除了讓學(xué)生掌握平行四邊形的定義、性質(zhì)、判定方法與應(yīng)用這些具體的知識以外,還要讓學(xué)生體會和感悟以下三點:平行四邊形的知識發(fā)展是按照“定義—性質(zhì)一判定方法—應(yīng)用”的順序進(jìn)行的;在研究平行四邊形時,只關(guān)注它的邊、角和對角線;在研究邊、角和對角線時,只關(guān)注幾何對象的度量關(guān)系和位置關(guān)系(特殊位置關(guān)系).而以上就是要求學(xué)生在學(xué)習(xí)平行四邊形過程中必須獲得的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.一旦這些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗積累起來,便可以在后續(xù)矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形和直角梯形的學(xué)習(xí)中發(fā)揮積極的作用,經(jīng)過幾次這樣的學(xué)習(xí)活動,最終會使學(xué)生獲得研究四邊形的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.
2.正比例函數(shù)學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗分析
人教版數(shù)學(xué)對函數(shù)知識的安排如圖2所示.
教材在研究一般的一次函數(shù)之前,先研究特殊的一次函數(shù)——正比例函數(shù),正比例函數(shù)的知識是按照以下順序展開的:
第一,從實際問題情境中抽象得到正比例函數(shù)的模型.
第二,給出正比例函數(shù)的描述性定義.
第三,利用列表、描[第一論文網(wǎng)lunwen.1KEJIAN.com]點、連線這些步驟畫出正比例函數(shù)的圖象.
第四,通過比較不同的正比例函數(shù)圖象,考察函數(shù)解析式y(tǒng)=kx(k≠0)中k的取值對正比例函數(shù)圖象位置的影響及對自變量和函數(shù)值之間變化關(guān)系的影響.
第五,應(yīng)用正比例函數(shù)的有關(guān)知識解決問題(包括實際問題).
進(jìn)一步地,通過分析一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)與銳角三角函數(shù)可以發(fā)現(xiàn),不同函數(shù)的研究過程是類似的,基本是沿用正比例函數(shù)的研究過程,可以用直觀圖表示,如圖3.
所以,在正比例函數(shù)的學(xué)習(xí)中應(yīng)該積累對后續(xù)函數(shù)學(xué)習(xí)有幫助的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.然而,在正比例函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中可以獲得哪些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗?我們認(rèn)為,應(yīng)該讓學(xué)生獲得兩種具體的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗和四種一般的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.
兩種具體的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗:
(1)函數(shù)圖象的畫法經(jīng)驗,即函數(shù)圖象畫法三部曲——列表、描點、連線;
(2)函數(shù)性質(zhì)的研究經(jīng)驗,就是考察函數(shù)解析式中的參數(shù)變化對函數(shù)圖象的位置特點和幾何特征的影響,對函數(shù)的自變量和函數(shù)值之間變化關(guān)系的影響.
四種一般的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗:
(1)函數(shù)的研究過程經(jīng)驗:抽象函數(shù)模型——給出函數(shù)定義——畫出函數(shù)圖象——研究函數(shù)性質(zhì)——應(yīng)用函數(shù)知識.
(2)函數(shù)性質(zhì)的研究經(jīng)驗:借助函數(shù)的直觀圖象以數(shù)形結(jié)合的方式來研究函數(shù)的性質(zhì).
(3)數(shù)學(xué)抽象的活動經(jīng)驗:學(xué)生在函數(shù)知識的學(xué)習(xí)中要經(jīng)歷兩次抽象的過程,一是從實際問題情境中通過剝離無關(guān)因素(非數(shù)學(xué)的因素)抽象得到多樣化的函數(shù)概念模型;二是在多樣化的函數(shù)概念模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步歸納形成抽象的函數(shù)概念.
(4)應(yīng)用函數(shù)的知識分析問題和解決問題的活動經(jīng)驗.
如果學(xué)生在正比例函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中獲得了上述數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,這些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗就可以在一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)與銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中發(fā)揮積極的作用.不僅如此,這些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗還可以在高中階段和大學(xué)階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中起到積極作用.
三、進(jìn)一步的思考
在數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗案例分析的基礎(chǔ)上,我們對有關(guān)問題做進(jìn)一步的思考.
(1)學(xué)生一旦獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,就能有效地開展自主探究學(xué)習(xí)、自主建構(gòu)知識,真正體現(xiàn)“學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體”.以四邊形的學(xué)習(xí)為例,在學(xué)習(xí)平行四邊形之后,學(xué)生獲得了前文提到的三種數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,后續(xù)的矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形和直角梯形的學(xué)習(xí)可讓學(xué)生自行完成,完全可以讓學(xué)生對上述圖形的性質(zhì)和判定方法進(jìn)行自主探究.當(dāng)然不能否認(rèn)教師在教學(xué)過程中的組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用.
(2)實際上,在一般情形下,數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗積累很難一次完成,可能需要多次才能逐步完成這個積累過程.以函數(shù)的學(xué)習(xí)[第一論文網(wǎng)lunwen.1KEJIAN.com]為例,學(xué)生在正比例函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中,就很難獲得前文提到的全部六種數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.在這些數(shù)學(xué)活動中,有的感受到了,有的就未必感受到;有的感受比較深刻,有的感受比較膚淺.因此,在第二次函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中,即一次函數(shù)學(xué)習(xí)過程中,教師應(yīng)該再次啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生去感受和體驗其中的數(shù)學(xué)活動,最終獲得六種數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.
(3)教師在教學(xué)過程中存在“平均用力”的現(xiàn)象,即每種類型的函數(shù)教學(xué)課時基本相等,這種現(xiàn)象在其他內(nèi)容教學(xué)中也很普遍,我們是否需要進(jìn)行反思?在學(xué)習(xí)不同類型的函數(shù)時,函數(shù)的定義和性質(zhì)是新的,但是學(xué)習(xí)函數(shù)的活動經(jīng)驗卻不是新的.所以,教師在教學(xué)設(shè)計時,往往會忽略以前的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗對當(dāng)前的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的促進(jìn)作用.理想的教學(xué)是:在數(shù)學(xué)活動類似的數(shù)學(xué)知識教學(xué)過程中,課時應(yīng)該是逐漸減少的.
(4)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所起作用的范圍、時空是有差異的.例如,在平行四邊形學(xué)習(xí)活動中獲得的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗在“四邊形”這一章內(nèi)容的學(xué)習(xí)中會發(fā)揮作用,而在正比例函數(shù)學(xué)習(xí)活動中獲得的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗在后續(xù)初中函數(shù)內(nèi)容、高中函數(shù)內(nèi)容乃至大學(xué)函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中都會發(fā)揮作用.當(dāng)然,隨著學(xué)生年齡的增長、知識的增多和能力的發(fā)展,函數(shù)形式將會更加復(fù)雜,如從基本初等函數(shù)到函數(shù)的復(fù)合;函數(shù)性質(zhì)將會增多,如高中階段增加了函數(shù)的單調(diào)性、周期性和奇偶性,大學(xué)階段增加了函數(shù)的有界性、凹凸性;研究對象將會增多,如高中階段增加了函數(shù)圖象上的特殊點和函數(shù)的最值等,大學(xué)階段增加了拐點、極值點等;研究工具更加多樣,如高中階段增加了“一階導(dǎo)數(shù)”這一研究函數(shù)單調(diào)性的工具,大學(xué)階段增加了“二階導(dǎo)數(shù)”這一研究函數(shù)單調(diào)性、凹凸性的工具等.雖然函數(shù)的名稱、形式、性質(zhì)、研究對象、研究工具在不斷地變化,但是在正比例函數(shù)學(xué)習(xí)中獲得的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗仍然能夠在函數(shù)學(xué)習(xí)中發(fā)揮積極作用
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