數(shù)學(xué)是什么
數(shù)學(xué)是研究事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。
數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展始終圍繞著數(shù)和形這兩個(gè)基本概念不斷地深化和演變。大體上說，凡是研究數(shù)和它的關(guān)系的部分，劃為代數(shù)學(xué)的范疇；凡是研究形和它的關(guān)系的部分，劃為幾何學(xué)的范疇。但同時(shí)數(shù)和形也是相互聯(lián)系的有機(jī)整體。
數(shù)學(xué)是一門高度概括性的科學(xué)，具有自己的特征。抽象性是它的第一個(gè)特征；數(shù)學(xué)思維的正確性表現(xiàn)在邏輯的嚴(yán)密上，所以精確性是它的第二個(gè)特征；應(yīng)用的廣泛性是它的第三個(gè)特征。
一切科學(xué)、技術(shù)的發(fā)展都需要數(shù)學(xué)，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)的抽象，使外表完全不同的問題之間有了深刻的聯(lián)系。因此數(shù)學(xué)是自然科學(xué)中最基礎(chǔ)的學(xué)科，因此常被譽(yù)為科學(xué)的皇后。
數(shù)學(xué)在提出問題和解答問題方面，已經(jīng)形成了一門特殊的科學(xué)。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，有很多的例子可以說明，數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)發(fā)展的主要源泉。數(shù)學(xué)家門為了解答這些問題，要花費(fèi)較大力量和時(shí)間。盡管還有一些問題仍然沒有得到解答，然而在這個(gè)過程中，他們創(chuàng)立了不少的新概念、新理論、新方法，這些才是數(shù)學(xué)中最有價(jià)值的東西。
數(shù)學(xué)概論
數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。簡(jiǎn)單地說，就是研究數(shù)和形的科學(xué)。
由于生活和勞動(dòng)上的需求，即使是最原始的民族，也知道簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)，并由用手指或?qū)嵨镉?jì)數(shù)發(fā)展到用數(shù)字計(jì)數(shù)。在中國(guó)，最遲在商代，即已出現(xiàn)用十進(jìn)制數(shù)字表示大數(shù)的方法；至秦漢之際，即已出現(xiàn)完滿的十進(jìn)位制。在 不晚于公元一世紀(jì)的《九章算術(shù)》中，已載了只有位值制才有可能進(jìn)行的開平方、開立方的計(jì)算法則，并載有分?jǐn)?shù)的各種運(yùn)算以及解線性聯(lián)立方程組的方法，還引入了負(fù)數(shù)概念。
劉徽在他注解的《九章算術(shù)》中，還提出過用十進(jìn)制小數(shù)表示無理數(shù)平方根的奇零部分，但直至唐宋時(shí)期(歐洲則在16世紀(jì)斯蒂文以后)十進(jìn)制小數(shù)才獲通用。在這本著作中，劉徽又用圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)逼近圓周長(zhǎng)，成為后世求圓周率 的一般方法。
雖然中國(guó)從來沒有過無理數(shù)或?qū)崝?shù)的一般概念，但在實(shí)質(zhì)上，那時(shí)中國(guó)已完成了實(shí)數(shù)系統(tǒng)的一切運(yùn)算法則與方法，這不僅在應(yīng)用上不可缺，也為數(shù)學(xué)初期教育所不可少。至于繼承了巴比倫、埃及、希臘文化的歐洲地區(qū)，則偏重于數(shù)的性質(zhì)及這些性質(zhì)間的邏輯關(guān)系的研究。
早在歐幾里得的《幾何原本》中，即有素?cái)?shù)的概念和素?cái)?shù)個(gè)數(shù)無窮及整數(shù)惟一分解等論斷。古希臘發(fā)現(xiàn)了有非分?jǐn)?shù)的數(shù)，即現(xiàn)稱的無理數(shù)。16世紀(jì)以來，由于解高次方程又出現(xiàn)了復(fù)數(shù)。在近代，數(shù)的概念更進(jìn)一步抽象化，并依據(jù)數(shù)的不同運(yùn)算規(guī)律，對(duì)一般的數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行了獨(dú)立的理論探討，形成數(shù)學(xué)中的若干不同分支。
開平方和開立方是解最簡(jiǎn)單的高次方程所必須用到的運(yùn)算。在《九章算術(shù)》中，已出現(xiàn)解某種特殊形式的二次方程。發(fā)展至宋元時(shí)代，引進(jìn)了“天元”(即未知數(shù))的明確觀念，出現(xiàn)了求高次方程數(shù)值解與求多至四個(gè)未知數(shù)的高次代數(shù)聯(lián)立方程組的解的方法，通稱為天元術(shù)與四元術(shù)。與之相伴出現(xiàn)的多項(xiàng)式的表達(dá)、運(yùn)算法則以及消去方法，已接近于近世的代數(shù)學(xué)。
在中國(guó)以外，九世紀(jì)阿拉伯的花拉米子的著作闡述了二次方程的解法，通常被視為代數(shù)學(xué)的鼻祖，其解法實(shí)質(zhì)上與中國(guó)古代依賴于切割術(shù)的幾何方法具有同一風(fēng)格。中國(guó)古代數(shù)學(xué)致力于方程的具體求解，而源于古希臘、埃及傳統(tǒng)的歐洲數(shù)學(xué)則不同，一般致力于探究方程解的性質(zhì)。
16世紀(jì)時(shí)，韋達(dá)以文字代替方程系數(shù)，引入了代數(shù)的符號(hào)演算。對(duì)代數(shù)方程解的性質(zhì)進(jìn)行探討，是從線性方程組引出的行列式、矩陣、線性空間、線性變換等概念與理論的出現(xiàn)；從代數(shù)方程導(dǎo)致復(fù)數(shù)、對(duì)稱函數(shù)等概念的引入以至伽羅華理論與群論的創(chuàng)立。而近代極為活躍的代數(shù)幾何，則無非是高次聯(lián)立代數(shù)方程組解所構(gòu)成的集合的理論研究。
形的研究屬于幾何學(xué)的范疇。古代民族都具有形的簡(jiǎn)單概念，并往往以圖畫來表示，而圖形之所以成為數(shù)學(xué)對(duì)象是由于工具的制作與測(cè)量的要求所促成的。規(guī)矩以作圓方，中國(guó)古代夏禹泊水時(shí)即已有規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等測(cè)量工具。
《墨經(jīng)》中對(duì)一系列的幾何概念，有抽象概括，作出了科學(xué)的定義。《周髀算經(jīng)》與劉徽的《海島算經(jīng)》給出了用矩觀測(cè)天地的一般方法與具體公式。在《九章算術(shù)》及劉徽注解的《九章算術(shù)》中，除勾股定理外，還提出了若干一般原理以解決多種問題。例如求任意多邊形面積的出入相補(bǔ)原理；求多面體的體積的陽馬鱉需的二比一原理(劉徽原理)；5世紀(jì)祖(日恒)提出的用以求曲形體積特別是球的體積的“冪勢(shì)既同則積不容異”的原理；還有以內(nèi)接正多邊形逼近圓周長(zhǎng)的極限方法(割圓術(shù))。但自五代(約10世紀(jì))以后，中國(guó)在幾何學(xué)方面的建樹不多。
中國(guó)幾何學(xué)以測(cè)量和計(jì)算面積、體積的量度為中心任務(wù)，而古希臘的傳統(tǒng)則是重視形的性質(zhì)與各種性質(zhì)間的相互關(guān)系。歐幾里得的《幾何原本》，建立了用定義、公理、定理、證明構(gòu)成的演繹體系，成為近代數(shù)學(xué)公理化的楷模，影響遍及于整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展。特別是平行公理的研究，導(dǎo)致了19世紀(jì)非歐幾何的產(chǎn)生。
歐洲自文藝復(fù)興時(shí)期起通過對(duì)繪畫的透視關(guān)系的研究，出現(xiàn)了射影幾何。18世紀(jì)，蒙日應(yīng)用分析方法對(duì)形進(jìn)行研究，開微分幾何學(xué)的先河。高斯的曲面論與黎曼的流形理論開創(chuàng)了脫離周圍空間以形作為獨(dú)立對(duì)象的研究方法；19世紀(jì)克萊因以群的觀點(diǎn)對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行統(tǒng)一處理。此外，如康托爾的點(diǎn)集理論，擴(kuò)大了形的范圍；龐加萊創(chuàng)立了拓?fù)鋵W(xué)，使形的連續(xù)性成為幾何研究的對(duì)象。這些都使幾何學(xué)面目一新。
在現(xiàn)實(shí)世界中，數(shù)與形，如影之隨形，難以分割。中國(guó)的古代數(shù)學(xué)反映了這一客觀實(shí)際，數(shù)與形從來就是相輔相成，并行發(fā)展的。例如勾股測(cè)量提出了開平方的要求，而開平方、開立方的方法又奠基于幾何圖形的考慮。二次、三次方程的產(chǎn)生，也大都來自幾何與實(shí)際問題。至宋元時(shí)代，由于天元概念與相當(dāng)于多項(xiàng)式概念的引入，出現(xiàn)了幾何代數(shù)化。
在天文與地理中的星表與地圖的繪制，已用數(shù)來表示地點(diǎn)，不過并未發(fā)展到坐標(biāo)幾何的地步。在歐洲，十四世紀(jì)奧爾斯姆的著作中已有關(guān)于經(jīng)緯度與函數(shù)圖形表示的萌芽。十七世紀(jì)笛卡爾提出了系統(tǒng)的把幾何事物用代數(shù)表示的方法及其應(yīng)用。在其啟迪之下，經(jīng)萊布尼茨、牛頓等的工作，發(fā)展成了現(xiàn)代形式的坐標(biāo)制解析幾何學(xué)，使數(shù)與形的統(tǒng)一更臻完美，不僅改變了幾何證題過去遵循歐幾里得幾何的老方法，還引起了導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生，成為微積分學(xué)產(chǎn)生的根源。這是數(shù)學(xué)史上的一件大事。
在十七世紀(jì)中，由于科學(xué)與技術(shù)上的要求促使數(shù)學(xué)家們研究運(yùn)動(dòng)與變化，包括量的變化與形的變換(如投影) 高中化學(xué)，還產(chǎn)生了函數(shù)概念和無窮小分析即現(xiàn)在的微積分，使數(shù)學(xué)從此進(jìn)入了一個(gè)研究變量的新時(shí)代。
十八世紀(jì)以來，以解析幾何與微積分這兩個(gè)有力工具的創(chuàng)立為契機(jī)，數(shù)學(xué)以空前的規(guī)模迅猛發(fā)展，出現(xiàn)了無數(shù)分支。由于自然界的客觀規(guī)律大多是以微分方程的形式表現(xiàn)的，所以微分方程的研究一開始就受到很大的重視。
微分幾何基本上與微積分同時(shí)誕生，高斯與黎曼的工作又產(chǎn)生了現(xiàn)代的微分幾何。19、20世紀(jì)之交，龐加萊創(chuàng)立了拓?fù)鋵W(xué)，開辟了對(duì)連續(xù)現(xiàn)象進(jìn)行定性與整體研究的途徑。對(duì)客觀世界中隨機(jī)現(xiàn)象的分析，產(chǎn)生了概率論。第二次世界大戰(zhàn)軍事上的需要，以及大工業(yè)與管理的復(fù)雜化產(chǎn)生了運(yùn)籌學(xué)、系統(tǒng)論、控制論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)等學(xué)科。實(shí)際問題要求具體的數(shù)值解答，產(chǎn)生了計(jì)算數(shù)學(xué)。選擇最優(yōu)途徑的要求又產(chǎn)生了各種優(yōu)化的理論、方法。
力學(xué)、物理學(xué)同數(shù)學(xué)的發(fā)展始終是互相影響互相促進(jìn)的，特別是相對(duì)論與量子力學(xué)推動(dòng)了微分幾何與泛函分析的成長(zhǎng)。此外在19世紀(jì)還只用到一次方程的化學(xué)和幾乎與數(shù)學(xué)無緣的生物學(xué)，都已要用到最前沿的一些數(shù)學(xué)知識(shí)。
十九世紀(jì)后期，出現(xiàn)了集合論，還進(jìn)入了一個(gè)批判性的時(shí)代，由此推動(dòng)了數(shù)理邏輯的形成與發(fā)展，也產(chǎn)生了把數(shù)學(xué)看作是一個(gè)整體的各種思潮和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)派。特別是1900年，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特在第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上的關(guān)于當(dāng)代數(shù)學(xué)重要問題的演講，以及三十年代開拓的，以結(jié)構(gòu)概念統(tǒng)觀數(shù)學(xué)的法國(guó)布爾巴基學(xué)派的興起，對(duì)二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大、深遠(yuǎn)的影響，科學(xué)的數(shù)學(xué)化一語也開始為人們所樂道。
數(shù)學(xué)的外圍向自然科學(xué)、工程技術(shù)甚至社會(huì)科學(xué)不斷滲透擴(kuò)大并從中吸取營(yíng)養(yǎng)，出現(xiàn)了一些邊緣數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)本身的內(nèi)部需要也孽生了不少新的理論與分支。同時(shí)其核心部分也在不斷鞏固提高并有時(shí)作適當(dāng)調(diào)整以適應(yīng)外部需要�？傊�，數(shù)學(xué)這棵大樹茁壯成長(zhǎng)，既枝葉繁茂又根深蒂固。
在數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展過程中，數(shù)與形的概念不斷擴(kuò)大且日趨抽象化，以至于不再有任何原始計(jì)數(shù)與簡(jiǎn)單圖形的蹤影。雖然如此，在新的數(shù)學(xué)分支中仍有著一些對(duì)象和運(yùn)算關(guān)系借助于幾何術(shù)語來表示。如把函數(shù)看成是某種空間的一個(gè)點(diǎn)之類。這種做法之所以行之有效，歸根結(jié)底還是因?yàn)閿?shù)學(xué)家們已經(jīng)熟悉了那種簡(jiǎn)易的數(shù)學(xué)運(yùn)算與圖形關(guān)系，而后者又有著長(zhǎng)期深厚的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)。而且，即使是最原始的數(shù)字如1、2、3、4，以及幾何形象如點(diǎn)與直線，也已經(jīng)是經(jīng)過人們高度抽象化了的概念。因此如果把數(shù)與形作為廣義的抽象概念來理解，則前面提到的把數(shù)學(xué)作為研究數(shù)與形的科學(xué)這一定義，對(duì)于現(xiàn)階段的近代數(shù)學(xué)，也是適用的。
由于數(shù)學(xué)研究對(duì)象的數(shù)量關(guān)系與空間形式都來自現(xiàn)實(shí)世界，因而數(shù)學(xué)盡管在形式上具有高度的抽象性，而實(shí)質(zhì)上總是扎根于現(xiàn)實(shí)世界的。生活實(shí)踐與技術(shù)需要始終是數(shù)學(xué)的真正源泉，反過來，數(shù)學(xué)對(duì)改造世界的實(shí)踐又起著重要的、關(guān)鍵性的作用。理論上的豐富提高與應(yīng)用的廣泛深入在數(shù)學(xué)史上始終是相伴相生，相互促進(jìn)的。
但由于各民族各地區(qū)的客觀條件不同，數(shù)學(xué)的具體發(fā)展過程是有差異的。大體說來，古代中華民族以竹為籌，以籌運(yùn)算，自然地導(dǎo)致十進(jìn)位值制的產(chǎn)生。計(jì)算方法的優(yōu)越有助于對(duì)實(shí)際問題的具體解決。由此發(fā)展起來的數(shù)學(xué)形成了一個(gè)以構(gòu)造性、計(jì)算性、程序化與機(jī)械化為其特色，以從問題出發(fā)進(jìn)而解決問題為主要目標(biāo)的獨(dú)特體系。而在古希臘則著重思維，追求對(duì)宇宙的了解。由此發(fā)展成以抽象了的數(shù)學(xué)概念與性質(zhì)及其相互間的邏輯依存關(guān)系為研究對(duì)象的公理化演繹體系。
中國(guó)的數(shù)學(xué)體系在宋元時(shí)期達(dá)到高峰以后，陷于停頓且?guī)字料�。而在歐洲，經(jīng)過文藝復(fù)興、宗教革命、資產(chǎn)階級(jí)革命等一系列的變革，導(dǎo)致了工業(yè)革命與技術(shù)革命。機(jī)器的使用，不論中外都由來已久。但在中國(guó)，則由于明初被帝王斥為奇技淫巧而受阻抑。
在歐洲，則由于工商業(yè)的發(fā)展與航海的刺激而得到發(fā)展，機(jī)器使人們從繁重的體力勞動(dòng)中解放出來，并引導(dǎo)到理論力學(xué)和一般的運(yùn)動(dòng)和變化的科學(xué)研究。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家都積極參與了這些變革以及相應(yīng)數(shù)學(xué)問題的解決，產(chǎn)生了積極的效果。解析幾何與微積分的誕生，成為數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。17世紀(jì)以來數(shù)學(xué)的飛躍，大體上可以看成是這些成果的延續(xù)與發(fā)展。
20世紀(jì)出現(xiàn)各種嶄新的技術(shù)，產(chǎn)生了新的技術(shù)革命，特別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使數(shù)學(xué)又面臨一個(gè)新時(shí)代。這一時(shí)代的特點(diǎn)之一就是部分腦力勞動(dòng)的逐步機(jī)械化。與17世紀(jì)以來數(shù)學(xué)之以圍繞連續(xù)、極限等概念為主導(dǎo)思想與方法不同，由于計(jì)算機(jī)研制與應(yīng)用的需要，離散數(shù)學(xué)與組和數(shù)學(xué)開始受到重視。
計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)的作用已不限于數(shù)值計(jì)算，符號(hào)運(yùn)算的重要性日趨明顯(包括機(jī)器證明等數(shù)學(xué)研究)。計(jì)算機(jī)還廣泛應(yīng)用于科學(xué)實(shí)驗(yàn)。為了與計(jì)算機(jī)更好地配合，數(shù)學(xué)對(duì)于構(gòu)造性、計(jì)算性、程序化與機(jī)械化的要求也顯得頗為突出。代數(shù)幾何是一門高度抽象化的數(shù)學(xué)，最近出現(xiàn)的計(jì)算性代數(shù)幾何與構(gòu)造性代數(shù)幾何的提法，即其端倪之一�？傊瑪�(shù)學(xué)正隨著新的技術(shù)革命而不斷發(fā)展�！ �
數(shù)學(xué)分支學(xué)科介紹
算術(shù)、初等代數(shù)、高等代數(shù)、數(shù)論、歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、微分幾何、代數(shù)幾何、射影幾何、拓?fù)鋵W(xué)、分形幾何、微積分學(xué)、實(shí)變函數(shù)論、概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)、復(fù)變函數(shù)論、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、數(shù)理邏輯、模糊數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、突變理論。
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