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“悖論”這個(gè)詞的意義比較豐富，它包括一切與人的直覺(jué)和日常經(jīng)驗(yàn)相矛盾的數(shù)學(xué)結(jié)論。那些結(jié)論會(huì)使我們驚訝無(wú)比。悖論主要有三種形式：1.一種論斷看起來(lái)好象肯定錯(cuò)了，實(shí)際上卻是對(duì)的（佯謬）；2.一種論斷看起來(lái)好象肯定對(duì)了，實(shí)際上卻錯(cuò)了（似是而非）；3.一系列理論看起來(lái)好象無(wú)懈可擊，卻導(dǎo)致了邏輯上自相矛盾。
　　悖論有點(diǎn)象變戲法，人們看完以后，幾乎沒(méi)有一個(gè)不驚訝得馬上就想知道：“這套戲法是怎么搞成的？”當(dāng)把技巧告訴他后，他便不知不覺(jué)地被引進(jìn)深?yuàn)W而有趣的數(shù)學(xué)世界中。
　　著名的《科學(xué)美國(guó)人》雜志社編的《數(shù)學(xué)悖論奇景》中，有不少生動(dòng)而奇妙的題目，下面幾則便選自其中。有的題目作了簡(jiǎn)略的分析，有的只提出問(wèn)題，留侍讀者去思索。
　　1.唐·吉訶德悖論
　　小說(shuō)《唐·吉訶德》里描寫過(guò)一個(gè)國(guó)家，它有一條奇怪的法律，每個(gè)旅游者都要回答一個(gè)問(wèn)題：“你來(lái)這里做什么？”回答對(duì)了，一切都好辦；回答錯(cuò)了，就要被絞死。
　　一天，有個(gè)旅游者回答：“我來(lái)這里是要被絞死。”
　　旅游者被送到國(guó)王那里。國(guó)王苦苦想了好久：他回答得是對(duì)還是錯(cuò)？究竟要不要把他絞死。如果說(shuō)他回答得對(duì)，那就不要絞死他——可這樣一來(lái)，他的回答又成了錯(cuò)的了！如果說(shuō)他回答錯(cuò)了，那就要絞死他——但這恰恰又證明他回答對(duì)了。實(shí)在是左右為難！
　　
2.梵學(xué)者的預(yù)言
　　一天，梵學(xué)者與他的女兒蘇耶發(fā)生了爭(zhēng)論。
　　蘇椰：你是一個(gè)大騙子，爸爸。你根本不能預(yù)言未來(lái)。
　　學(xué)者：我肯定能。
　　蘇椰：不，你不能。我現(xiàn)在就可以證明它！
　　蘇椰在一張紙上寫了一些字，折起來(lái)，壓在水晶球下。她說(shuō)：
　　“我寫了一件事，它在3點(diǎn)鐘前可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。請(qǐng)你預(yù)言它究竟是不是會(huì)發(fā)生，在這張白卡片上寫下‘是’字或‘不’字。要是你寫錯(cuò)了，你答應(yīng)現(xiàn)在就買輛汽車給我，不要拖到以后好嗎？”
　　“好，一言為定。”學(xué)者在卡片上寫了一個(gè)字。
　　3點(diǎn)鐘時(shí)，蘇椰把水晶球下面的紙拿出來(lái)，高聲讀道：“在下午3點(diǎn)以前，你將寫一個(gè)‘不’字在卡片上。”
　　學(xué)者在卡片上寫的是“是”字，他預(yù)言錯(cuò)了：“在下午3點(diǎn)以前，寫一個(gè)‘不’字在卡片上”這一件事并未發(fā)生。但如果他在卡片上寫的是“不”呢？也還錯(cuò)！因?yàn)閷?ldquo;不”就表示他預(yù)言卡片上的事不會(huì)發(fā)生，但它恰恰發(fā)生了——他在卡片上寫的就是一個(gè)‘不’字。
　　蘇椰笑了：“我想要一輛紅色的賽車，爸爸，要帶斗形座的。”

3.意想不到的老虎
　　公主要和邁克結(jié)婚，國(guó)王提出一個(gè)條件：
　　“我親愛(ài)的，如果邁克打死這五個(gè)門后藏著的一只老虎，你就可以和他結(jié)婚。邁克必須順次序開(kāi)門，從1號(hào)門開(kāi)始。他事先不知道哪個(gè)房間里有老虎，只有開(kāi)了那扇門才知道。這只老虎的出現(xiàn)將是料想不到的。”
　　邁克看著這些門，對(duì)自己說(shuō)道：
　　“如果我打開(kāi)了四個(gè)空房間的門，我就會(huì)知道老虎在第五個(gè)房間�？墒�，國(guó)王說(shuō)我不能事先知道它在哪里，所以老虎不可能在第五個(gè)房間。”
　　“五被排除了，所以老虎必然在前四個(gè)房間內(nèi)。同樣的推理，老虎也不會(huì)在最后一個(gè)房間——第四間內(nèi)。”
　　按同樣的理由推下去，邁克證明老虎不能在第三、第二和第一個(gè)房間。邁克十分快樂(lè)，他滿懷信心地去看門。使他驚駭?shù)氖�，老虎從第二個(gè)房間跳了出來(lái)。
　　邁克的推理并沒(méi)有錯(cuò)，但他失敗了。老虎的出現(xiàn)完全出乎意料，表明國(guó)王遵守了他的諾言。也許，邁克進(jìn)行推理的本身就與國(guó)王關(guān)于老虎“料想不到”的條件發(fā)生了矛盾。迄今為止，邏輯學(xué)家對(duì)于邁克究竟錯(cuò)在哪里還末得到一致意見(jiàn)。

4.錢包游戲
　　史密斯教授和兩個(gè)學(xué)生一道吃午飯。教授說(shuō)：“我來(lái)告訴你們一個(gè)新游戲。把你們的錢包放在桌子上，我來(lái)數(shù)里面的錢。錢少的人可以贏掉另一個(gè)錢包中的所有錢。”
　　學(xué)生甲想：“如果我的錢多，就會(huì)輸?shù)粑疫@些錢；如果他的多，我就會(huì)贏多于我的錢。所以贏的要比輸?shù)亩�，這個(gè)游戲?qū)ξ矣欣��?rdquo;

同樣的道理，學(xué)生乙也認(rèn)為這個(gè)游戲?qū)λ�有利�?
　　請(qǐng)問(wèn)，一個(gè)游戲怎么會(huì)對(duì)雙方都有利呢？

5.一塊錢哪兒去了？
　　一個(gè)唱片商店里，賣30張老式硬唱片，一塊錢兩張；另外30張軟唱片是一塊錢三張。那天，這60張唱片賣光了。30張硬唱片收入15元，30張軟唱片收入10元，總共是25元。
　　第二天，老板又拿出60張唱片。他想：“如果30張唱片是一塊錢賣兩張，30張是一塊錢賣三張，何不放在一起，兩塊錢賣5張呢？”這一天，60張唱片全按兩塊錢5張賣出去了。老板點(diǎn)錢時(shí)才發(fā)現(xiàn)，只賣得24元，而不是25元。
　　這一塊錢到哪兒去了呢？

6.驚人的編碼
　　外星的一位科學(xué)家基塔先生，來(lái)到地球收集人類的資料，遇到了赫爾曼博士。
　　赫爾曼：“你何不帶一套大英百科全書(shū)回去？這套書(shū)最全面地匯總了我們的所有知識(shí)。”
　　基塔：“可惜，我?guī)Р蛔吣敲粗氐臇|西。不過(guò)，我可以把整套百科全書(shū)編碼，然后只要在這根金屬棒上作個(gè)標(biāo)記，就代表了百科全書(shū)中的全部信息。”真是再簡(jiǎn)單不過(guò)了！
　　基塔先生是怎樣做到的呢？
　　基塔：“我先把每個(gè)字母、數(shù)字、符號(hào)，都用一個(gè)數(shù)來(lái)代表，零用來(lái)隔開(kāi)它們。例如cat一詞就編為3－0－1－0－22。我用高級(jí)袖珍計(jì)算機(jī)快速掃描，就能把百科全書(shū)的全部?jī)?nèi)容轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋�(gè)龐大的數(shù)字。前面加一個(gè)小數(shù)點(diǎn)，就使它變成了一個(gè)十進(jìn)制的分?jǐn)?shù)，例如0.2015015011……
　　基塔先生在金屬棒上找到了一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)將棒分為a和b兩段，而a／b剛好等于上面那個(gè)十進(jìn)制分?jǐn)?shù)值。
　　基塔：“回去后，測(cè)出a和b的值，就求出了它們的比值；根據(jù)編碼的規(guī)定，你們的百科全書(shū)就被破譯出來(lái)了。”
　　這樣，基塔離開(kāi)地球時(shí)只帶了一根金屬棒，而他卻已“滿載而歸”了！

7.不可逃遁的點(diǎn)
　　帕特先生沿著一條小路上山。他早晨七點(diǎn)動(dòng)身，當(dāng)晚七點(diǎn)到達(dá)山頂。第二天早晨沿同一小路下，晚上七點(diǎn)又回到山腳，遇見(jiàn)了拓?fù)鋵W(xué)老師克萊因。
　　克萊因：“帕特，你可曾知道你今天下山時(shí)走過(guò)這樣一個(gè)地點(diǎn)，你通過(guò)這點(diǎn)的時(shí)刻恰好與你昨天上山時(shí)通過(guò)這點(diǎn)的時(shí)刻完全相同？”
　　帕特：“這絕不可能！我走路時(shí)快時(shí)慢，有時(shí)還停下來(lái)休息。”
　　克萊因：“當(dāng)你開(kāi)始下山時(shí)，設(shè)想你有一個(gè)替身同時(shí)開(kāi)始登山，這個(gè)替身登山的過(guò)程同你昨天登山時(shí)完全相同。你和這個(gè)替身必定要相遇。我不能斷定你們?cè)谀囊稽c(diǎn)相遇，但一定會(huì)有這樣一點(diǎn)。……”
　　帕特明白了。你明白了嗎？

8.橡皮繩上的蠕蟲(chóng)
　　橡皮繩長(zhǎng)1公里,一條蠕蟲(chóng)在它的一端。蠕蟲(chóng)以每秒1厘米的穩(wěn)定速度沿橡皮繩爬行；而橡皮繩每過(guò)1秒鐘就拉長(zhǎng)1公里。如此下去，蠕蟲(chóng)最后究竟會(huì)不會(huì)到達(dá)終點(diǎn)呢？
　　乍一想，隨著橡皮繩的拉伸，蠕蟲(chóng)離終點(diǎn)越來(lái)越遠(yuǎn)了。但細(xì)心的讀者會(huì)想到：隨著橡皮繩的每次拉伸，蠕蟲(chóng)也向前挪了。
　　如果用數(shù)學(xué)公式表示，蠕蟲(chóng)在第n秒未在橡皮繩上的位置，表示為整條繩的分?jǐn)?shù)就是（推導(dǎo)過(guò)程從略）：
　　當(dāng)n足夠大（約為e100000）時(shí)，上式的值就超過(guò)了1，也就是說(shuō)蠕蟲(chóng)爬到了終點(diǎn)。

9.棘手的電燈
　　一盞電燈，用按鈕來(lái)開(kāi)關(guān)。假定把燈擰開(kāi)一分鐘，然后關(guān)掉半分鐘，再擰開(kāi)1/4分鐘，再關(guān)掉1／8分鐘，如此往復(fù)，這一過(guò)程的末了恰好是兩分鐘。
　　那么，在這一過(guò)程結(jié)束時(shí)，電燈是開(kāi)著，還是關(guān)著？這個(gè)問(wèn)題實(shí)在是難！

10、羅素悖論

一天，一個(gè)理發(fā)師掛出了一塊招牌：“村里所有不自己理發(fā)的人都由我給他們理發(fā)，我也只給這些人理發(fā)。”于是有人問(wèn)他：“您的頭發(fā)由誰(shuí)理呢？”理發(fā)師頓時(shí)啞口無(wú)言。因?yàn)槿绻�他給自己理發(fā)，那么他就屬于自己給自己理發(fā)的那一類。但是，招牌上說(shuō)明他不給這類理發(fā)，因此他不能自己理發(fā)。如果由另外一個(gè)人給他理發(fā)，他就是不給自己理發(fā)的人，而招牌上說(shuō)明他要給所有不自己理發(fā)的人理發(fā)，因此他應(yīng)該自己理。由此可見(jiàn)，不管做怎樣的推論，理發(fā)師所說(shuō)的話總是自相矛盾的。這是一個(gè)著名的悖論，稱為“羅素悖論”。這是由英國(guó)哲學(xué)家羅素提出來(lái)的，他把關(guān)于集合論的一個(gè)著名悖論用故事通俗地表述出來(lái)。 1874年，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了集合論，很快滲透到大部分?jǐn)?shù)學(xué)分支，成為他們的基礎(chǔ)。到19世紀(jì)末，全部數(shù)學(xué)幾乎都建立在集合論是基礎(chǔ)上了。就在這時(shí)，集合論中接連出現(xiàn)了一些自相矛盾的結(jié)果，特別是1902年“羅素悖論”的提出，它極為簡(jiǎn)單、明確、通俗。于是，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)被動(dòng)搖了，這就是所謂的第三次“數(shù)學(xué)危機(jī)”。此后，為了克服這些悖論，數(shù)學(xué)家們做了大量研究工作，由此產(chǎn)生了大量新成果，也帶來(lái)了數(shù)學(xué)觀念的變革。

11、上帝不是萬(wàn)能的

用反證法證明 證明：假設(shè)上帝是萬(wàn)能的，那么上帝能造出一塊他自己都舉不起來(lái)的石頭， 否則上帝就不是萬(wàn)能的；但是上帝又舉不起這塊石頭，因此上帝不是萬(wàn)能的，這與假設(shè)矛盾；所以原假設(shè)不成立，即上帝不是萬(wàn)能的

 

本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/gaozhong/2808.html

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