向量進入高中教材以后,為用代數(shù)方法研究幾何問題提供了強有力的工具,它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”,融數(shù)形于一體.但是它和以往學習的數(shù)學運算有很大的不同,致使很多學生感到困難,老師一直強調(diào)向量和數(shù)量的區(qū)別是既有大小又有方向,可是很多學生產(chǎn)生了這樣的疑問:這個既有大小又有方向的向量不能存在除法嗎?為什么課本里只出現(xiàn)了乘法?對于這個問題很多老師的回答是就這樣規(guī)定的或者這個問題等你們以后上了大學才會研究,現(xiàn)在不需要知道.這樣的回答顯然不能使學生滿意,下面就說說這個問題.
一、數(shù)學中如何理解除法
除法的定義:已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù),求另一個因數(shù)的運算.除法是乘法的逆運算,如果存在乘法的逆運算,那么除法就存在.
逆運算的定義:運算是一種對應(yīng)法則.設(shè)A是一個非空集合,對于A中的任意兩個元素a,b,根據(jù)某種法則使A中有唯一確定的元素c與它們對應(yīng),就說這個法則是A中的一種運算.這樣,給了A的任意兩個元素a和b,通過所給的運算,可以得到一個結(jié)果c.反過來,如果已知元素c,以及元素a,b中的一個,按照某種法則,可以得到另一個元素,這樣的法則也定義了一種運算,這樣的運算叫做原來運算的逆運算.逆運算的過程也就是求解逆元的過程.
設(shè)G是一數(shù)域,對于乘法運算“·”有
證:設(shè)方程的解為x=a',y=a″,即有aa'=1和a″a=1.
因為a'=1·a'=(a″a)a'=a″(aa')=a″·1=a″,所以aa'=a′a=1即a在G中的逆元是唯一確定的.
二、分析向量乘法的逆運算
這里可以采用“假設(shè)”的方法.假設(shè)的方法,就是在不知道某判斷是否正確的時候,先認為它是正確的,以此為前提(條件)進行推理,看一看推理的結(jié)果是否正確,如果正確.說明這個判斷是真的,如果推理的結(jié)論不正確,說明這個判斷是假的[2].那么現(xiàn)在假設(shè)向量存在除法,下面從向量數(shù)量積和向量積的逆運算分別展開證明,可以得出向量的除法是否存在
1.向量的乘法
數(shù)量積的定義:兩個非零向量的夾角記為〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π].兩個向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點積)是一個數(shù)量,記作a·b.若a,b不共線,則a·b=|a||b|cos〈a,b〉;若a,b共線,則a·b=±|a||b|.
向量積的定義:兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量,記作a×b.若a,b不共線,則a×b的模是:|a×b|=|a||b|sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按這個次序構(gòu)成右手系.若a、b共線,則a×b=0[3].
2.數(shù)量積的逆運算
假設(shè)數(shù)量積存在除法,設(shè)向量a,x的乘積為m,則=x,因為除法是乘法的逆運算,所以a·x=m,由定義可得:兩個向量的數(shù)量積等于一個向量的模乘以另一個向量在此向量上的射影,那么如果把a固定不變,改變x的方向和大小,發(fā)現(xiàn)有無數(shù)個向量的射影等于原來x在a上的射影,即乘積不變.那么向量x的解是無窮多的,即向量的商不是唯一確定的.
這個結(jié)論可以從直觀上去觀察.如圖1:
舉例證明:
取兩個互相垂直的向量a和b,即a和b的夾角為90°,則a·b=0;再取一個向量c,根據(jù)向量與實數(shù)的乘積仍然是個向量,可以讓c=(d+λb);則a·c=a(d+λb)=a·d+a·λb,因為a·b=0,所以a·c=a(d+λb)=a·d+0=a·d,即=c,又因為λ可以取任意值,那么向量c就不能唯一確定,即向量的商為一個不確定的向量.
3.向量積的逆運算
同理,假設(shè)向量積存在除法,因為向量積的結(jié)果是一個向量,所以設(shè)a,x的乘積為m,則=x,根據(jù)逆運算可得a·x=m.由定義可知:向量積的模可以看作平行四邊形的面積,假定a是不變的,那么變化x的長度和方向,也可以得到相同面積的平行四邊形,顯然這樣的x是無窮多的,同樣可以得到向量的商不是唯一確定的結(jié)論.
這個結(jié)論也可以從直觀上去觀察,如圖2:
舉例證明:
這里我們?nèi)蓚�互相平行的向量a和b,即a和b的夾角為0°,則a×b=0;同理,再取一個向量c,讓c=(d+λb);則a×c=a×(d+λb)=a×d+a×λb,因為a×b=0,所以a×c=a×(d+λb)=a×d+0=a×d,即=c,已知λ可以取任意值,那么向量c依然不是唯一確定的.
綜上所述,運用乘法的逆運算進行計算所得到的結(jié)果均是不確定的,因此向量的除法是不存在的.有人又產(chǎn)生了這樣的疑問,不確定的結(jié)果為什么就不能作為商呢?下面從數(shù)學推理和函數(shù)的角度來說明這個問題.
三、數(shù)學的確定性
1.數(shù)學推理的確定性
正確的推理加上正確的前提條件可以使人們做出正確的判斷,得到正確的結(jié)論.數(shù)學推理往往從一些不證自明的定理出發(fā)推出其他定理的正確性,這表明演繹推理的前提條件是確定的,那么由此推導(dǎo)出的結(jié)論必然具有確定性[4].
數(shù)學家S.T.Sanders的研究表明:目前普遍認可的數(shù)學特征是:推理的確定性和結(jié)論的一致性.很顯然,只有存在數(shù)學的確定性,才意味著根據(jù)此結(jié)論推導(dǎo)出來的其他結(jié)論也是確定的.他認為,在推理過程中只要具備以下幾個條件就可以說明推理的過程和結(jié)論具有確定性.
(1)每一個被應(yīng)用的元素(數(shù)、量或者運算),有且只有一個確定的值;
(2)這些符號所代表的值是被普遍接受的;
(3)每一個運算符號都有唯一確定的意義;
(4)這些運算符號的意義也被普遍接受;
(5)模糊的或者不確定的元素不能出現(xiàn)在推理過程中.
如果忽視這些因素或者不承認這些因素,那么整個推理過程就不存在確定性.從古至今演繹推理(也稱三段論法)是人們進行邏輯推理的基礎(chǔ),在演繹推理過程中出現(xiàn)絲毫的不確定,數(shù)學家們都將致力修正.現(xiàn)在用三段論法進行推理,檢驗向量的除法能否存在.
三段論的推理模式為:
(1)大前提
(2)小前提
(3)結(jié)論
人們都認可的一個大前提是:如果兩個除法算式的被除數(shù)和除數(shù)都相等,那么算式的商也相等.
對于向量的除法小前提可以分為兩種情況,第一種:被除數(shù)為實數(shù),第二種:被除數(shù)為向量.
在這個推理過程中,由同一個假設(shè)得到了兩個結(jié)論,違背了運算結(jié)果的唯一性原則,導(dǎo)致數(shù)學推理的不確定性,因此向量除法是不能存在的.
2.函數(shù)的確定性
從函數(shù)的角度也可以說明這個問題,先看一下函數(shù)的定義:
函數(shù)的傳統(tǒng)定義:在某一個變化過程中有兩個變量x和y,如果對于在某一個范圍內(nèi)的任一個x的值,都有唯一的y值與它對應(yīng),則稱y是x的函數(shù),x叫做自變量,y叫做因變量.
近代定義:給定兩個集合A和B,若對于A中的每一個元素x,按照某一對應(yīng)關(guān)系f,在B中都有唯一確定的一個元素y與之對應(yīng),則稱f為集合A上的一個函數(shù),記作f:A→B.集合A為函數(shù)的定義域,與A中元素對應(yīng)的B中元素y構(gòu)成的集合成為函數(shù)的值域.
函數(shù)的兩個定義本質(zhì)上是一致的,傳統(tǒng)定義是從運動變化的觀點出發(fā),而近代定義是在從集合的觀點出發(fā),其實質(zhì)都是從非空集合A到非空集合B的一個特殊的對應(yīng).對于非空集合A中每一個確定的值,非空集合B中都有唯一確定的值與之對應(yīng).自變量和因變量只能是一對一的關(guān)系或者多對一的關(guān)系,不可能是一對多的關(guān)系,這是因為函數(shù)的概念是從運動的研究中產(chǎn)生的,每個時刻只能對應(yīng)一種運動狀態(tài),不可能對應(yīng)多種狀態(tài),所以函數(shù)具有唯一確定性.
這里可把除法運算看作一個函數(shù),若m÷a=x,把商看作函數(shù)值,那么商是由被除數(shù)和除數(shù)這兩個自變量所唯一確定的,由兩個數(shù)確定一個數(shù),是二元函數(shù).只要被除數(shù)和除數(shù)發(fā)生改變,那么會對應(yīng)得到另一個唯一確定的商.如果把被除數(shù)和除數(shù)中的一個固定了,那么可以把除法的運算看作一元函數(shù),商就被另一個數(shù)所確定.可是在這兩種情況下,向量的除法均得不到唯一確定的函數(shù)值,違背了函數(shù)的唯一確定性.
綜上所述,從數(shù)學推理的確定性和函數(shù)確定性兩方面考慮,向量的除法是不可能存在的.確定性在數(shù)學運算中是必不可少的,它是數(shù)學得以長足發(fā)展的動因和永恒的標志.在現(xiàn)實當中,對數(shù)學結(jié)果的應(yīng)用就是對數(shù)學確定性的一種表示。
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