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極值的定義：

（1）極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x₀附近有定義，如果對(duì)x₀附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）＜f（x₀），就說(shuō)f（x₀）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值，記作y_極大值=f（x₀），x₀是極大值點(diǎn)；
（2）極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在x₀附近有定義，如果對(duì)x₀附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）＞f（x₀），就說(shuō)f（x₀）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值，記作y_極小值=f（x₀），x₀是極小值點(diǎn)。

極值的性質(zhì)：

（1）極值是一個(gè)局部概念，由定義知道，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最��；
（2）函數(shù)的極值不是唯一的，即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)；
（3）極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系，即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值；
（4）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)，而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)。

判別f（x₀）是極大、極小值的方法：

若x₀滿足，且在x₀的兩側(cè)f（x）的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則x₀是f（x）的極值點(diǎn)， 是極值，并且如果在x₀兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則x₀是f（x）的極大值點(diǎn)，f（x₀）是極大值；如果在x₀兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則x₀是f（x）的極小值點(diǎn)，f（x₀）是極小值。

求函數(shù)f（x）的極值的步驟：

（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′（x）；
（2）求方程f′（x）=0的根；
（3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開(kāi)區(qū)間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f（x）在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)即都為正或都為負(fù)，則f（x）在這個(gè)根處無(wú)極值。

對(duì)函數(shù)極值概念的理解：

極值是一個(gè)新的概念，它是研究函數(shù)在某一很小區(qū)域時(shí)給出的一個(gè)概念，在理解極值概念時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：
①按定義，極值點(diǎn)x₀是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn)a，b（因?yàn)樵诙它c(diǎn)不可導(dǎo)）．如圖

②極值是一個(gè)局部性概念，只要在一個(gè)小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)取得．一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值，在某一點(diǎn)的極小值也可能大于另一個(gè)點(diǎn)的極大值，也就是說(shuō)極大值與極小值沒(méi)有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值小，如圖．

③若fx）在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒(méi)有極值．
④若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn)，同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)，一般地，當(dāng)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有
限個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)f（x）在[a，b]內(nèi)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的，
⑤可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)，

函數(shù)的最大值和最小值：

在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值，分別對(duì)應(yīng)該區(qū)間上的函數(shù)值的最大值和最小值。

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟：

（1）求f（x）在（a，b）內(nèi)的極值；
（2）將f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較得出函數(shù)f（x）在[a，b]上的最值。

用導(dǎo)數(shù)的方法求最值特別提醒：

①求函數(shù)的最大值和最小值需先確定函數(shù)的極大值和極小值，因此，函數(shù)極大值和極小值的判別是關(guān)鍵，極值與最值的關(guān)系：極大（�。┲挡灰欢ㄊ亲畲螅ㄐ。┲担�最大（�。┲狄膊灰欢ㄊ菢O大（�。┲担�
②如果僅僅是求最值，還可將上面的辦法化簡(jiǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)fx在[a，b]內(nèi)的全部極值，只能在f（x）的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或?qū)��?shù)不存在的點(diǎn)取得（下稱這兩種點(diǎn)為可疑點(diǎn)），所以只需要將這些可疑點(diǎn)求出來(lái)，然后算出f（x）在可疑點(diǎn)處的函數(shù)值，與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，就能求得最大值和最小值；
③當(dāng)f（x）為連續(xù)函數(shù)且在[a，b]上單調(diào)時(shí)，其最大值、最小值在端點(diǎn)處取得。

生活中的優(yōu)化問(wèn)題：

生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為優(yōu)化問(wèn)題，解決優(yōu)化問(wèn)題的方法很多，如：判別式法，均值不等式法，線性規(guī)劃及利用二次函數(shù)的性質(zhì)等，
不少優(yōu)化問(wèn)題可以化為求函數(shù)最值問(wèn)題．導(dǎo)數(shù)方法是解這類問(wèn)題的有效工具．

用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題應(yīng)當(dāng)注意的問(wèn)題：

(1)在求實(shí)際問(wèn)題的最大（�。┲禃r(shí)，一定要考慮實(shí)際問(wèn)題的意義，不符合實(shí)際意義的值應(yīng)舍去；
(2)在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f'（x)=0的情形．如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大（�。┲�，那么不與端點(diǎn)比較，也可以知道這就是最大（�。┲担�
(3)在解決實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，不僅要注意將問(wèn)題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系表示，還應(yīng)確定出函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義區(qū)間．

利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題：

(1)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型（函數(shù)關(guān)系、方程或不等式），運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)與方法去解決，主要是轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題，最后反饋到實(shí)際問(wèn)題之中．
(2)利用導(dǎo)數(shù)求f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值的步驟，
①求函數(shù)y =f(x)在（a，b）上的極值；
②將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f（b）比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．
(3)定義在開(kāi)區(qū)間(a，b)上的可導(dǎo)函數(shù)，如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，該極值點(diǎn)必為最值點(diǎn)．