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　　所謂理論保級分?jǐn)?shù)，就是指一般來講，一個(gè)參賽球隊(duì)只要達(dá)到了這個(gè)分?jǐn)?shù)，無論別的球隊(duì)的成績?nèi)绾�，都能保證自己不會(huì)降級。這個(gè)分?jǐn)?shù)無疑能給那些成績不佳的球隊(duì)的一個(gè)有效的參考，幫助他們調(diào)整策略。

　　當(dāng)然，不僅是我國的足球聯(lián)賽，其它各個(gè)國家的足球聯(lián)賽，都會(huì)有保級分?jǐn)?shù)的問題。

　　那么這個(gè)理論保級分?jǐn)?shù)應(yīng)該如何計(jì)算呢？怎樣找到一種普遍適用于各國足球聯(lián)賽的計(jì)算理論保級分?jǐn)?shù)的方法呢？下面，我們建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型解決這個(gè)問題。　

　　模型建立與分析

　　要想研究理論保級分?jǐn)?shù)，就必須研究每支球隊(duì)在每場比賽中的成績。通過觀察各大聯(lián)賽的比賽情況，我們可以知道，球隊(duì)的實(shí)力對比賽結(jié)果有很大的影響。比如，實(shí)力差距比較大的兩支球隊(duì)比賽，實(shí)力強(qiáng)的一方獲勝的希望比較大。所以，如果討論聯(lián)賽的積分情況，就不能回避球隊(duì)實(shí)力的差異問題。

　　但是球隊(duì)的實(shí)力是一個(gè)很抽象的事物，不易計(jì)算和比較，為了能用數(shù)學(xué)語言描述它，可以為每個(gè)球隊(duì)引入一個(gè)參數(shù)，能夠較好的描述球隊(duì)的實(shí)力稱它為這個(gè)球隊(duì)的實(shí)力數(shù)，我們可以定義隨機(jī)變量X為一支球隊(duì)在某一場比賽中的結(jié)果。它可能有三種情況，即勝（積3分）、平（積1分）、負(fù)（積0分〕。我們可以統(tǒng)計(jì)出每場比賽中兩隊(duì)的勝、平、負(fù)的頻率（可近似地看成每種情況出現(xiàn)的概率）P，通過公式

　　求出一支球隊(duì)在每場比賽中的數(shù)學(xué)期望。將所有比賽的數(shù)學(xué)期望值相加，就可以求出理論上這支球隊(duì)的最后積分。另外，應(yīng)該注意到主客場的差異對比賽結(jié)果的影響。所以，如果主客場情況不同，相應(yīng)的勝、負(fù)、平頻率也不同，數(shù)學(xué)期望值也就不同�！　�

　　一、模型假設(shè)

　　1．假設(shè)參加某一聯(lián)賽的所有球隊(duì)的實(shí)力數(shù)由�。▽�(shí)力強(qiáng)）到大（實(shí)大弱）可構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列。并且認(rèn)為等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為1。由此，一個(gè)聯(lián)賽中的各個(gè)球隊(duì)可以分別用一個(gè)數(shù)字代替，即，將所有n支參賽球隊(duì)按實(shí)力由強(qiáng)到弱排列,則依次1,2,3,4，...,n。這樣每場比賽就有一個(gè)對應(yīng)的實(shí)力數(shù)之差。如實(shí)力數(shù)為3和7的兩支球隊(duì)之間的比賽，實(shí)力差是4。

　　2．假設(shè)任何不可預(yù)知的因素與比賽結(jié)果無關(guān)。即比賽結(jié)果只與兩支球隊(duì)的實(shí)力差和主客場因素有關(guān)。如認(rèn)為球隊(duì)3主場與球隊(duì)8的比賽，和球隊(duì)1主場與球隊(duì)6的比賽沒有任何區(qū)別�！�

　　3．假設(shè)統(tǒng)得出的每個(gè)實(shí)力差值對應(yīng)的比勝、負(fù)、平的頻率等于在理論上這些情況出現(xiàn)的頻率�！�

　　二、定義變量

　�。阂恢�球隊(duì)在一場比賽中的數(shù)學(xué)期望值。

　�。阂恢�球隊(duì)i在所有比賽中的數(shù)學(xué)期望值之和。

　　n:參加聯(lián)賽的球隊(duì)總數(shù)。

　　m：聯(lián)賽結(jié)束后將要降級的球隊(duì)數(shù)目。

　　s：一場比賽中實(shí)力較強(qiáng)的球隊(duì)獲勝的概率。

　　p：一場比賽中實(shí)力較強(qiáng)的球隊(duì)?wèi)?zhàn)平的概率�！�

　　f：一場比賽中實(shí)力較強(qiáng)的球隊(duì)失敗的概率。

　　解決問題　

　　一、統(tǒng)計(jì)隨機(jī)變量X的分布

　　我們選取了英格蘭足球超級聯(lián)賽、德國足球甲級聯(lián)賽、意大利足球甲級聯(lián)賽、中國的甲級聯(lián)賽中1999～2000賽季的詳細(xì)情況，并根據(jù)這些數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)了當(dāng)實(shí)力數(shù)差分別為1,2,3,...，19時(shí)，較強(qiáng)的一方獲勝、戰(zhàn)平、戰(zhàn)敗的頻率。如下表：（單位：％）

實(shí)力差

主場

客場

勝

平

負(fù)

勝

平

負(fù)

1

53.03

21.21

25.76

24.63

36.92

38.46

2

47.54

21.31

31.15

26.23

39.34

34.43

3

42.63

19.30

28.07

22.22

39.34

34.43

4

60.38

16.98

22.64

37.25

31.37

31.37

5

38.00

22.00

10.00

38.00

26.00

36.00

6

38.00

12.00

20.00

34.00

28.00

38.00

7

60.95

14.63

24.39

36.59

36.59

26.83

8

71.05

10.53

18.42

34.29

34.29

31.43

9

72.73

15.15

1212

41.18

26.47

32.35

10

73.33

3.37

20.00

40.00

30.00

30.00

11

88.00

0.00

12.00

12.31

30.77

26.92

12

86.36

1.55

9.09

40.91

13.64

45.45

13

88.24

0.00

11.76

31.11

11.11

27.78

14

85.71

0.00

14.29

71.13

21.43

7.14

15

90.91

0.00

9.09

54.55

36.36

9.09

16

75.00

12.50

12.50

70.00

10.00

20.00

17

60.00

40.00

0.00

60.00

0.00

40.00

18

100.00

0.00

0.00

100.00

0.00

0.00

19

100.00

0.00

0.00

100.00

0.00

0.00

 　　二、計(jì)算各隊(duì)的理論積分　

　　有了這些數(shù)據(jù)之后，我們可以根據(jù)求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的公式：

　　求出一支球隊(duì)在同比自己實(shí)力弱的球隊(duì)的比賽里的教學(xué)期望。即

　　當(dāng)一支球隊(duì)和比自己實(shí)力強(qiáng)的球隊(duì)比賽時(shí)，實(shí)力較強(qiáng)球隊(duì)的戰(zhàn)敗概率就是實(shí)力較弱的球隊(duì)的獲勝概率。即

　　這樣一來，所有比賽的數(shù)學(xué)期望都能求出。也就是說，對于每一支球隊(duì)，其所有比賽數(shù)學(xué)期望值的和也能求出，我們用 表示實(shí)力數(shù)i的球隊(duì)的所有數(shù)學(xué)期望值的和（理論積分）。然后，將1～n這支球隊(duì)對應(yīng)的 指從大到小依次排列成數(shù)列{ }，因?yàn)樵谑澜绺鲊�的足球�?lián)賽中對降級球隊(duì)數(shù)目的規(guī)定不同，有的是2支球以，有的是3支球隊(duì)。根據(jù)不同的情況，只要求出數(shù)列中相應(yīng)的項(xiàng)（保級球隊(duì)中的最低分?jǐn)?shù)）就是待求的理論保級分?jǐn)?shù)值了。

　　根據(jù)這種思路，我們使用VisualBasic6.0編制一個(gè)程序來計(jì)算理論保級分?jǐn)?shù)。

　　算法簡要說明　　

　　1.輸入數(shù)據(jù)：將計(jì)算所需的變量n、m通過文本框Textl、Text2輸入程序中。

　　2.定義數(shù)組：將統(tǒng)計(jì)得出的s、p、f各概率值定義為三個(gè)數(shù)組s()、p()、以便賦值。再定義數(shù)列{ }為一個(gè)一維數(shù)組T(20)。

　　3．對概率賦值：將統(tǒng)計(jì)得的概率數(shù)據(jù)賦至各個(gè)數(shù)組中�！　�

　　4．通過循環(huán)嵌套，計(jì)算最后每支球隊(duì)的理論積分，即各個(gè)數(shù)學(xué)期望之和。

　　5．將恰好保級的一支球隊(duì)的分?jǐn)?shù)輸出之文本框Text3中�！　�

　　具體源代碼及說明（略）

　　運(yùn)行源程序，得出下表數(shù)據(jù)：

參賽球隊(duì)數(shù)

12

14

18

20

4

降級球隊(duì)數(shù)

3

2

3

2

2

理論保級分?jǐn)?shù)

26.257

58.5259

34.5975

35.0691

8.1738

這樣，一般的足球聯(lián)賽都能通過這個(gè)程序求出理論保級分?jǐn)?shù)�！�

　　驗(yàn)證模型

　　以上，給出了足球聯(lián)賽中的理論保級分?jǐn)?shù)的一種計(jì)算方法，這種方法是否理想？得出的結(jié)論能否令人滿意？下面，我們通過計(jì)算值與實(shí)際值的對比，來驗(yàn)證這個(gè)模型。

　　首先，我們看2000年的甲A聯(lián)賽。下表是該賽季最終的排名情況。

排名

1

2

3

4

5

6

7

　　積分

　　56

　　50

　　44

　　41

　　40

　　35

　　34

　　排名

　　8

　　9

　　10

　　11

　　12

　　13

　　14

　　積分

　　32

　　32

　　31

　　29

　　29

　　23

　　17

 　　去掉兩個(gè)降級球隊(duì)的分?jǐn)?shù)，保級分?jǐn)?shù)是29分。經(jīng)過上述算法，將n=14，m=2代入，計(jì)算得來的理論保級分?jǐn)?shù)是28.5259分，可見，與實(shí)際保級分?jǐn)?shù)相差不大�！�

　　再看看上賽季意大利足球甲級聯(lián)賽,去掉3個(gè)降級的球隊(duì),實(shí)際保級分?jǐn)?shù)是36分。將n=18,m=3代入，計(jì)算的理論保級分?jǐn)?shù)是34.5975分，與實(shí)際情況也相差不大�！　�

　　雖然用這個(gè)程序計(jì)算的保級分?jǐn)?shù)有時(shí)會(huì)與實(shí)際分?jǐn)?shù)有一點(diǎn)差距，但在大多數(shù)情況下，這個(gè)程序能夠較好地估計(jì)保級分?jǐn)?shù)。

　　誤差分析　　

　　這個(gè)模型中可能產(chǎn)生誤差的地方有如下幾處：

　　一、在模型假設(shè)中，假設(shè)各球隊(duì)的實(shí)力數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列。這種假設(shè)與實(shí)際情況有一定差距�！　�

　　二、在統(tǒng)計(jì)概率過程中，隨著n值不斷增大，能找到的比賽數(shù)量越來越少。所以在n較大時(shí)，統(tǒng)計(jì)出的頻率與理論上的頻率的偏差也就比較大。

　　三、在實(shí)際比賽中，很多其它因索，如天氣等都有可能影響比賽的結(jié)果。這個(gè)模型并沒有考慮這些因素，所以無法避免由此產(chǎn)生的誤差�！　�

　　由于以上幾種可能產(chǎn)生誤差的原因，這個(gè)模型計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際保級分?jǐn)?shù)有大約6分以下的差距。由于一般情況下這個(gè)模型計(jì)算的結(jié)果比較合適，所以認(rèn)為這樣的誤差在可以接受的范圍內(nèi)。

　　參考資料

　　1．《問題解決的數(shù)學(xué)模型》，劉來福、曾文藝著，北京師范大學(xué)出版社。

　　2.《中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用精編》，上海市中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用大競賽委員會(huì)編寫組著，華東理工大學(xué)出版社�！　�

　　3．《數(shù)學(xué)建模精品案例》，朱道元編著，東南大學(xué)出版社。

　　　�。ㄟx自《中學(xué)生數(shù)學(xué)》期刊2001年11月上）