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一、選擇題

1.(2010山東)在空間中，下列命題正確的是(　　)．

A.平行直線的平行投影重合            B.平行于同一直線的兩個(gè)平面平行

C.垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行      D.垂直于同一平面的兩條直線平行

考查目的：考查空間直線與平面的位置關(guān)系，直線與平面垂直、平行的判定和性質(zhì).

答案：D.

解析：選項(xiàng)A，平行直線的平行投影可以依然是兩條平行直線；選項(xiàng)B，兩個(gè)相交平面的交線與某一條直線平行，則這條直線平行于這兩個(gè)平面；選項(xiàng)C，兩個(gè)相交平面可以同時(shí)垂直于同一個(gè)平面；選項(xiàng)D正確.

2.(2012浙江文)設(shè)是直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是(　　).

A.若∥，∥，則∥        B.若∥，⊥，則⊥

C.若⊥，⊥，則⊥        D.若⊥，∥，則⊥

考查目的：考查直線與平面平行、垂直的判定和性質(zhì).

答案：B.

解析：利用排除法可得選項(xiàng)B是正確的，選項(xiàng)A：當(dāng)∥，∥時(shí)，⊥或∥；選項(xiàng)C：若⊥，⊥，則∥或；選項(xiàng)D：若⊥，⊥，則∥或⊥.

3.(2010全國(guó)2文)已知三棱錐中，底面為邊長(zhǎng)等于2的等邊三角形，垂直于底面，，那么直線與平面所成角的正弦值為(　　).

A.           B.            C.            D.

考查目的：考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，會(huì)求直線與平面所成的角.

答案：D.

解析：過(guò)A作AE垂直于BC交BC于E，連結(jié)SE，過(guò)A作AF垂直于SE交SE于F，連BF，∵正三角形ABC，∴ E為BC中點(diǎn)，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF為直線AB與面SBC所成角，由正三角形邊長(zhǎng)3，∴，AS=3，∴，，∴.

二、填空題

4.(2010遼寧理)如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)是1，在其上用粗線畫(huà)出了某多面體的三視圖，則這個(gè)多面體最長(zhǎng)的一條棱的長(zhǎng)為_(kāi)_____.

考查目的：考查直線與平面垂直的判定.

答案：.

解析：由三視圖可知，此多面體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2的正方形且有一條長(zhǎng)為2的側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，所以最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為.

5.(2010四川)如圖，二面角的大小是，線段.，與所成的角為，則與平面所成的角的正弦值是         .

考查目的：考查直線和平面所成角的概念和求法.

答案：.

解析：過(guò)點(diǎn)A作平面的垂線，垂足為C，在內(nèi)過(guò)C作的垂線.垂足為D.連結(jié)AD，則平面，AD⊥，故∠ADC為二面角的平面角為.又由已知得，∠ABD＝，連結(jié)CB，則∠ABC為與平面所成的角.設(shè)AD＝2，則，CD＝1，，∴.

6.(2012上海理)如圖，與是四面體中互相垂直的棱，，若，且，其中，為常數(shù)，則四面體的體積的最大值是       .

考查目的：考查直線與直線、直線與平面垂直關(guān)系，會(huì)根據(jù)幾何體特點(diǎn)進(jìn)行合理的計(jì)算.

答案：.

解析：過(guò)點(diǎn)A做AE⊥BC，垂足為E，連接DE，由AD⊥BC可知，BC⊥平面ADE，所以.又∵，∴當(dāng)時(shí)，四面體ABCD的體積最大.過(guò)E做EF⊥DA，垂足為點(diǎn)F，已知EA=ED，∴△ADE為等腰三角形，∴點(diǎn)E為AD的中點(diǎn).又∵，∴，∴，∴四面體ABCD體積的最大值.

三、解答題

7.(2011天津改編)如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，O為AC中點(diǎn)，⊥平面，PO=2，M為PD中點(diǎn)，求直線AM與平面ABCD所成角的正切值.

考查目的：考查直線和平面所成角的概念及其求法.

答案：.

解析：取DO中點(diǎn)N，連接MN，AN.∵M(jìn)為PD的中點(diǎn)，∴MN∥PO，且.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，∴是直線AM與平面ABCD所成的角.在中，，，∴，∴．在中，．即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為．

8.(2010遼寧文)如圖，棱柱的側(cè)面是菱形，.

⑴證明：平面平面；

⑵設(shè)是上的點(diǎn)，且平面，求的值.

考查目的：考查空間直線、平面之間的平行、垂直關(guān)系的證明，以及二面角的求法.

答案：C.

解析：⑴∵側(cè)面是菱形，∴.又∵，且，∴平面.∵平面，∴平面平面.

⑵設(shè)交于點(diǎn)E，連結(jié)DE，則DE是平面與平面的交線. ∵∥平面，∴.又∵E是的中點(diǎn)，∴以D為的中點(diǎn)，∴.