我國(guó)古代幾何學(xué)不僅有悠久的歷史，豐富的內(nèi)容，重大的成就，而且有一個(gè)具有我國(guó)自己的獨(dú)特風(fēng)格的體系，和西方的歐幾里得體系不同。這一幾何體系的全貌還有待于發(fā)掘清理，本文僅就出入相補(bǔ)原理這一局部方面，就所知提出幾點(diǎn)，主要根據(jù)是流傳至今的以下各經(jīng)典著作：
《周髀算經(jīng)》（簡(jiǎn)稱《周髀》），
《九章算術(shù)》（簡(jiǎn)稱《九章》），
劉徽《九章算術(shù)注》（簡(jiǎn)稱《劉注》），
《海島算經(jīng)》（簡(jiǎn)稱《海島》），
趙爽《日高圖說(shuō)》和《勾股圓方圖說(shuō)》（簡(jiǎn)稱《日高說(shuō)》和《勾股說(shuō)》）。
田畝丈量和天文觀測(cè)是我國(guó)幾何學(xué)的主要起源，這和外國(guó)沒(méi)有什么不同，二者導(dǎo)出面積問(wèn)題和勾股測(cè)量問(wèn)題。稍后的計(jì)算容器容積、土建工程又導(dǎo)出體積問(wèn)題。
我國(guó)古代幾何學(xué)的特色之一是，依據(jù)這些方面的經(jīng)驗(yàn)成果，總結(jié)提高成一個(gè)簡(jiǎn)單明白、看起來(lái)似乎極不足道的一般原理──出入相補(bǔ)原理，并且把它應(yīng)用到形形色色多種多樣的不同問(wèn)題上去。
以下將列舉這些不同的應(yīng)用。
簡(jiǎn)單應(yīng)用和比例理論
所謂出入相補(bǔ)原理，用現(xiàn)代語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，就是指這樣的明顯事實(shí)：一個(gè)平面圖形從一處移置他處，面積不變。又若把圖形分割成若干塊，那么各部分面積的和等于原來(lái)圖形的面積，因而圖形移置前后諸面積間的和、差有簡(jiǎn)單的相等關(guān)系。立體的情形也是這樣。
應(yīng)用這一原理，容易得出三角形面積等于高底相乘積的一半這一通常的公式，由此以定任意多角形的面積。作為另一簡(jiǎn)單實(shí)例，可以觀察左圖，如果看作把△ACD移置△ACB處，又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ＇、Ⅱ＇，那么依出入相補(bǔ)原理有：
Ⅲ＝Ⅲ＇，□PC＝□RC，……（指面積相等）
由此得
PO×OS＝RO×OQ，PO×QC＝RB×BC，……
而 PO＝AR，OS＝QC，PQ＝AB，RB＝OQ，……
因而 AR∶OQ＝RO∶QC，AB∶OQ＝BC∶QC，……
就是相似勾股形ARO和OQC、ABC和OQC的相應(yīng)勾股成比例。并且可以導(dǎo)出其他相應(yīng)部分的比例關(guān)系。
以上這些極簡(jiǎn)單的結(jié)果雖然沒(méi)有在《九章》中明白說(shuō)出，但是曾經(jīng)多處用這些關(guān)系來(lái)解決各種具體問(wèn)題，參看《劉注》。
測(cè)望術(shù)和重差理論
在《周髀》中，就有用兩表測(cè)日影以求日高的方法，計(jì)算的公式是：
見(jiàn)上圖，其中A是日，BI是地平面，ED、GF是先后兩表，DH和FI是日影。《海島》改測(cè)日高為測(cè)海島的高，同圖AB是海島，H、I是人目望島頂和兩表上端相參合的地方，于是日高公式成為：
劉徽證明和所用的圖都已經(jīng)失傳，但是據(jù)現(xiàn)存《日高說(shuō)》和殘圖以及其他佐證，原證當(dāng)大致如下：
由出入相補(bǔ)原理，得
□JG＝□GB，（1）
□KE＝□EB，（2）
相減得 □JG－□KE＝□GD，
所以 （FI－DH）×AC＝ED×DF，
即 表目距的差×（島高－表高）＝表高×表距。
這就得到上述公式。
按《海島》共九題都屬測(cè)望之類，所得公式分母上都有兩測(cè)的差，“重差”這一名稱可能由此而來(lái)。其余八題公式都可依出入相補(bǔ)原理用和上面類似的方法證明，現(xiàn)在從略。
元朱世杰《四元玉鑒》中有和《海島》完全類似的幾個(gè)題，朱世杰對(duì)這些題的解法應(yīng)該有古代相傳下來(lái)的一定來(lái)歷。依據(jù)朱對(duì)海島一題的解法，我們認(rèn)為原證比上面所示的可能稍復(fù)雜一些。如下圖，現(xiàn)在重作證明如下：
由出入相補(bǔ)原理，除（1）、（2）外又有
□PG＝□GD，（3）
由（1）、（2）、（3）得
□JN＝□EB＝□KE，
所以MI＝DH，（4）
FM＝FI－MI＝FI－DH＝表目距的差。
由（3）式就得到海島公式。
如果依照歐幾里得幾何體系的習(xí)慣證法，那就自然應(yīng)該添一平行線GM＇‖AH，如下圖，再利用相似三角形和比例理論作證。清代李璜以及近代中外數(shù)學(xué)史家大都依這一方法補(bǔ)作海島公式的證明，這當(dāng)然不是劉徽的原意，也和我國(guó)古代幾何的傳統(tǒng)相違背。注意作平行線的時(shí)候應(yīng)有FM＇＝DH，和前面（4）式相比，M和M＇的位置完全不同。
明末耶穌會(huì)傳教士利瑪竇（1552—1610）來(lái)我國(guó)，他的主要學(xué)術(shù)工作之一是介紹歐幾里得幾何體系。他曾口授《測(cè)量法義》一書，其中載有和海島題完全類似的一題。在他所作的證明中，需要在FI上取一點(diǎn)M使（4）式成立，再用比例理論作證，見(jiàn)本頁(yè)上圖。按常理來(lái)說(shuō)，利瑪竇應(yīng)該作平行線而取M＇使FM＇＝DH，但是他一反歐幾里得慣例而和我國(guó)古代傳統(tǒng)不謀而合，頗使人迷惑不解�，F(xiàn)在提出這一問(wèn)題，希望大家共同探討。
勾股定理
在《周髀》和《九章》中，都已經(jīng)明確給出了勾股定理的一般形式：勾2＋股2＝弦2。雖然原證不傳，但是據(jù)《勾股說(shuō)》以及《劉注》，都依出入相補(bǔ)原理證明，并且有遺留到現(xiàn)在可以用來(lái)作證的趙爽殘圖，這幾方面互相參照，原證應(yīng)該大致如下：
如下圖所示，勾股形是ABC，BCED是勾方，EFGH是股方，把二者的和DBCFGH中的△IBD移到△ABC，△GIH移到△GAF，就得到ABIG＝弦2，由此就得到勾股定理。
歐幾里得《幾何原本》中勾股定理的證明如下圖所示，其中要先證有關(guān)三角形全等形以及三角形面積的一些定理，為此要作不少準(zhǔn)備工作，因而在《幾何原本》中直到卷一之末出現(xiàn)這一定理，而在整個(gè)《幾何原本》中幾乎沒(méi)有用到。而在我國(guó)，勾股定理在《九章》中已經(jīng)有多種多樣的應(yīng)用，成為兩千來(lái)年數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要出發(fā)點(diǎn)，參閱以下各節(jié)和文末附表。
在東西方的古代幾何體系中，勾股定理所占的地位是頗不相同的。
勾、股、弦和它們的和差互求
勾、股、弦和它們之間的和差共九個(gè)數(shù)，只須知道其中的二個(gè)就可以求得其他幾個(gè)。
除勾、股、弦互求就是開平方之外，《九章》勾股章中有不少這方面的問(wèn)題：
第一，知股弦差、勾，求股、弦（五題）；
第二，知勾股差、弦，求勾、股（一題）；
第三，知股弦差、勾弦差，求勾、股、弦（一題）；
第四，知股弦和、勾，求股、弦（一題）。
各題都列出了一般公式，《勾股說(shuō)》的許多命題也屬這一類，《劉注》還給出了證明，公式的來(lái)歷和證明的方法都依據(jù)出入相補(bǔ)原理，有的也用比例原理作別證。
試以勾股章第十三折竹題為例。題設(shè)竹高已知，竹在某處折斷，竹梢著地，著地處和竹根距離也已知。求折斷處的高度，見(jiàn)上圖。如果以竹梢著地處和竹根的距離作為勾，就是從股弦和、勾求股的問(wèn)題，《九章》原文給出的公式是：
股弦差＝勾2/股弦和，
《劉注》又給出了另一公式：
為了證明前一公式，可以考慮上圖，其中正方形ABCD和AEFG的邊各是勾股形的弦和股。依勾股定理曲尺形EBCDGF的面積應(yīng)該等于勾2�，F(xiàn)在把□FD如圖移到□CH，那么依出入相補(bǔ)原理，□BH的面積是勾2，而它的邊長(zhǎng)各是股弦和、股弦差，就得到上面的前一公式。
另一公式的劉徽證明也相類似。試考察下圖，其中右下角曲尺部分的面積依勾股定理等于勾2，所以粗黑線圍成部分的面積等于股弦和2－勾2。把長(zhǎng)方形Ⅰ移到Ⅱ，依出入相補(bǔ)原理，這一面積是斜線部分面積的兩倍，就是2×股×股弦和，由此就得到另一公式。
秦九韶公式
秦九韶《數(shù)書九章》中有一題是已知不等邊三角形田地三邊的長(zhǎng)（稱大斜、中斜、小斜，以下簡(jiǎn)記為大、中、�。�，求田地面積。秦九韶的解法相當(dāng)于下面的一般公式：
秦的公式來(lái)歷不明，證明也失傳了。
現(xiàn)在補(bǔ)作一證如下：
作大斜上的高分大斜成兩部分，作為勾股形的股和弦，見(jiàn)上圖。由
求高，或怎樣求股。由于
股弦和＝大，
勾2＝弦2－股2＝中2－小2，
所以問(wèn)題歸結(jié)為怎樣從股弦和、勾求股。
依上節(jié)的劉徽公式，得
由此就得到秦的公式。
按秦公式的形式十分古怪，當(dāng)是依某種思路自然引導(dǎo)到這一形式的。
上面的證法頗為自然，也符合我國(guó)古代幾何的傳統(tǒng)特色，說(shuō)它是原證，也是不無(wú)可能的。
在西方有所謂海倫公式（a、b、c是三角形三邊的長(zhǎng)）：
三角形面積＝
這一公式形式十分漂亮。正因?yàn)檫@樣，如果已知海倫公式而再來(lái)推出秦的公式，將是不可思議的。相反，從秦的公式化簡(jiǎn)成海倫的公式，卻是比較自然的發(fā)展。
據(jù)此我們至少可以斷言，秦的公式是獨(dú)立于海倫公式而得來(lái)的。
關(guān)于海倫的生平，從公元前二世紀(jì)到公元后十世紀(jì)以后，數(shù)學(xué)史家聚訟紛紜。至于海倫留傳到現(xiàn)在的著作，也已經(jīng)人指出，歷代都經(jīng)過(guò)重新編纂，有所增改，已經(jīng)不是本來(lái)面目。這是熟悉希臘數(shù)學(xué)史的應(yīng)予澄清的事，這里就不考慮了。
開平、立方
從勾、股求弦，先把勾、股平方后相加，再開平方就得弦。因而勾股定理的應(yīng)用自然導(dǎo)致開平方的問(wèn)題。
事實(shí)上，《周髀》中已經(jīng)給出了若干具體數(shù)目的平方根，而在《九章》中，更詳細(xì)說(shuō)明了開平方的具體方法步驟。這一方法的根據(jù)是幾何的，就是出入相補(bǔ)原理。
試以求55225的平方根為例。這相當(dāng)于已知正方形ABCD的面積是55225，求邊AB的長(zhǎng)，見(jiàn)上圖。按我國(guó)記數(shù)用十進(jìn)位位值制。因AB顯然是一個(gè)百位數(shù)，所以求AB的方法就是依次求出百位數(shù)字、十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字。先估計(jì)（《九章》中用“議”字）百位數(shù)字是2，因而在AB上截取AE＝200，并且作正方形AEFG，它的邊EF的兩倍稱為“定法”。把AEFG從ABCD中除去，所余曲尺形EBCDGF的面積是55225－2002＝15225。其次估計(jì)十位數(shù)字是3，在EB上截取EH＝30，并且補(bǔ)成正方形AHIJ。從AEFG所增加的曲尺形EHIJGF可以分解成三部分：□FH，□FJ，□FI，面積依次是30×EF，30×FG，302，其中EF＝FG＝200，所以從ABCD中除去AHIJ，所余曲尺形HBCDJI的面積是
15225－（2×30×200＋302）＝2325。
現(xiàn)在再估計(jì)個(gè)位數(shù)字是5，在HB上截取HK＝5，并補(bǔ)作正方形AKLM，從ABCD中除去AKLM后所余曲尺形面積和前同法應(yīng)該是
2325－（2×5×230＋522）＝0。
由此知K和B重合而55225的平方根恰好是235。
求立方根的方法步驟和這相似，但是要把一立方體逐步進(jìn)行分解，比平方根求法稍復(fù)雜，所依據(jù)的仍是出入相補(bǔ)原理，這在《九章》中也有詳細(xì)敘述。
我國(guó)開平立方法來(lái)源很古，它的幾何本質(zhì)十分清晰，而且方法上可以看出我國(guó)獨(dú)有而世界古代其他民族所無(wú)的位值制記數(shù)法的高度優(yōu)越性。不僅這樣，至遲到十一世紀(jì)中葉，我國(guó)就已經(jīng)把開平立方法推廣到開任何高次冪，就是所謂“增乘開方法”，并且出現(xiàn)了有關(guān)的二項(xiàng)式定理系數(shù)表，就是所謂“開方作法本源圖”。從這一方法的幾何淵源看來(lái)，如果說(shuō)當(dāng)時(shí)我國(guó)數(shù)學(xué)家已經(jīng)有高維方體和高維幾何的稚影，似乎不是全無(wú)根據(jù)的。
解二次方程
在開平方的過(guò)程中，曾經(jīng)出現(xiàn)像第84頁(yè)下圖中黑線部分那樣的圖形，其中2×EF稱定法。開平方在求得AE以后，其次幾步在于從曲尺形EBCDGF的已知面積求得EB�，F(xiàn)在把□DF移到□CH，那么依出入相補(bǔ)原理，□BH面積已知，此外□BH的兩邊EH和EB的差就是定法2×EF，也有已知數(shù)值。因而求EB的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為下面的問(wèn)題：
（A）已知一長(zhǎng)方形（□BH）的面積、長(zhǎng)闊差，求長(zhǎng)闊。
反過(guò)來(lái)，這一問(wèn)題的解法，可依開平方中第二步以下的方法求得，稱為“開帶從平方”。這在《九章》以來(lái)是用下面的語(yǔ)句來(lái)表達(dá)的。
（B）“以‘長(zhǎng)方形面積’為實(shí)，‘長(zhǎng)闊差’為從法，開方除之，得‘闊’”。
以上“從法”一名，當(dāng)來(lái)自開平方過(guò)程中的“定法”，“開方”一詞也說(shuō)明了它的來(lái)歷。
下面的例取自《九章》，見(jiàn)下圖。圖中ABCD是一方城，出北門北行若干步到G有木，出南門南行若干步到F再西行若干步到H，恰可望見(jiàn)木G，問(wèn)題是求方城每邊的長(zhǎng)。據(jù)《劉注》的方法是依出入相補(bǔ)原理得
□EJ＝2□EG＝2□KG＝2×北步×西步。
□EJ的長(zhǎng)闊差是“南步＋北步”，所以解法是以“2×北步×西步”為實(shí)，以“南步＋北步”為從法，開平方除之，得EI，也就是方城邊長(zhǎng)。
不僅應(yīng)用開平方法可得問(wèn)題（A）的數(shù)值解，而且應(yīng)用出入相補(bǔ)原理，還可以求得解答的精確表達(dá)式。如果以長(zhǎng)方形的闊作為勾，長(zhǎng)作為股，那么問(wèn)題（A）相當(dāng)于：
（C）已知勾股積、勾股差，求勾、股。
為此考趙爽殘圖如附圖。圖中大小兩正方形的邊長(zhǎng)各是勾股和、勾股差，所以得
勾股和2＝4×勾股積＋勾股差2。
由此得勾股和，因而得勾和股。同樣也可從勾股和、勾股積求得勾和股，這一方法可以參閱《勾股說(shuō)》的末一命題。
宋元時(shí)期明確引入了未知數(shù)的概念。如果以X（當(dāng)時(shí)稱為天元一）表長(zhǎng)方形闊，那么問(wèn)題（A）相當(dāng)于解一個(gè)二次方程
x2+ax=b，
其中a相當(dāng)于從法，b相當(dāng)于實(shí)。所以在古代實(shí)質(zhì)上已經(jīng)給出了這一形式二次方程（a，b都是正數(shù)）的近似解和精確解，前者在宋元時(shí)期發(fā)展為求任意高次方程的數(shù)值解法，后者雖文獻(xiàn)散佚不可查考，但是據(jù)唐初王孝通的著作以及史書關(guān)于祖沖之的引述看來(lái)，不能排除我國(guó)曾經(jīng)對(duì)三次方程用幾何方法求得精確表達(dá)式的可能性。
在其他各國(guó)，公元九世紀(jì)的時(shí)候，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花刺子模（約780—約850）的代數(shù)學(xué)名著中列舉了各種類型二次方程的精確解法，它的方法是幾何的，它的精神實(shí)質(zhì)和出入相補(bǔ)原理頗相類似。公元十六世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家關(guān)于三次方程的解法，也完全是幾何的。
體積理論和劉徽原理
如果規(guī)定長(zhǎng)方形的面積是長(zhǎng)闊的積，那么依據(jù)出入相補(bǔ)原理，容易得到：
由此可以完全奠定平面多角形的面積理論。但是在空間情形，如果規(guī)定長(zhǎng)方體的體積是長(zhǎng)、廣、深的積，是否依據(jù)出入相補(bǔ)原理，可以推得
由此以建立多面體的體積理論，就不是那么明顯而是極其困難的問(wèn)題。歐洲直到十九世紀(jì)末，才把它作為一個(gè)難題明確地提了出來(lái)。公元1900年德國(guó)數(shù)學(xué)家希耳伯特（1862—1943）在國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)上所作著名講演中，把體積理論列為二十三個(gè)問(wèn)題之一。這一問(wèn)題立即為德恩（1878—1952）所解決，答案是否定的：兩個(gè)多面體要分割成彼此重合的若干多面體，必須滿足某些條件，通稱德恩條件。自此以后直到1965年，一位瑞士數(shù)學(xué)家西德勒才證明了德恩條件也是充分的。但是問(wèn)題決不能認(rèn)為已經(jīng)徹底解決。從希耳伯特直到晚近，多面體體積理論仍不斷成為一些知名數(shù)學(xué)家研討的課題。德恩條件敘述復(fù)雜，也難認(rèn)為是合宜的最后形式。
在這種情勢(shì)下，看看中國(guó)古代對(duì)這一問(wèn)題的處理方式是不無(wú)有啟發(fā)性的。
《九章》以至《劉注》解決體積問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)是把一般的多面體分解為一些基本的立體。先把一長(zhǎng)方體斜剖為二，如下圖（1），得兩塹堵（塹堵是兩底面是直角三角形的正柱體）。再把塹堵斜剖為二，如上圖（2）；一個(gè)是陽(yáng)馬（陽(yáng)馬是直角四棱錐體），如上圖（3）；一個(gè)是鱉?（鱉?是四面都是勾股形的四面體），如上圖（4）。其中鱉?的特征是AB和平面BFG垂直，F(xiàn)G和平面ABF垂直。由于任一多面體可以分割為四面體，而任一四面體可以分割為六個(gè)鱉?，如下圖，所以問(wèn)題歸結(jié)為求鱉?（以及陽(yáng)馬）的體積。依劉徽原話，就是所謂陽(yáng)馬、鱉?，“功實(shí)之主也�！�
其次的問(wèn)題是怎樣求得陽(yáng)馬和鱉?的體積。如果長(zhǎng)方體成為立方體，那么分解所得的陽(yáng)馬的體積是鱉?的兩倍。劉徽作了長(zhǎng)篇的分析，得出結(jié)論是：這個(gè)論斷普遍成立。用劉的原話是：“陽(yáng)馬居二，鱉?居一，不易之率也�！蔽覀儼阉Q作：
劉徽原理 斜解一長(zhǎng)方體，所得陽(yáng)馬和鱉?的體積的比恒是二比一。
從這一原理容易得到鱉?和陽(yáng)馬的體積公式。由此又容易得到（2）式，因而整個(gè)多面體的體積理論可奠基于劉徽以及出入相補(bǔ)這兩個(gè)原理之上。
劉徽對(duì)他的原理有詳細(xì)的分析說(shuō)明，實(shí)際上就是這一原理的證明。按希耳伯特和他的后繼者的研究指出，體積理論和面積理論不同，出入相補(bǔ)原理之外，必須輔以連續(xù)一類公理。也有人（例如沙頓諾斯基，1903年）提出排除連續(xù)公理，直接應(yīng)用（2）式作為建立體積理論的基礎(chǔ)。但是這樣就要先證明（2）式中高和底面積的乘積凡四都彼此相等，這既不明顯也不簡(jiǎn)單，似不如劉徽原理和出入相補(bǔ)原理的顯豁自然。
總之，多面體的體積理論到現(xiàn)在還余蘊(yùn)未盡，估計(jì)中國(guó)古代幾何中的思想和方法或許對(duì)進(jìn)一步的探討還不無(wú)幫助。
羨除公式
《九章》中列舉了各種多面體的體積，依據(jù)的就是出入相補(bǔ)原理和陽(yáng)馬、鱉?公式�，F(xiàn)在以羨除即隧道（羨除是三個(gè)側(cè)面不是長(zhǎng)方形而是梯形的楔形體，見(jiàn)上圖）為例，圖中ABCD是地面，成一梯形，CDEF是隧道的一端，成垂直平面中的梯形。整個(gè)隧道依剖面IJK對(duì)稱。EG、FH都和CD垂直是隧道的深，IJ是隧道地面的長(zhǎng)，CD、EF、AB各稱上廣、下廣、末廣�！毒耪隆方o出的公式是：
《劉注》的證法是先把羨除分解，如在上圖中CD＞AB＞EF的情形，分解成一個(gè)塹堵EFGHLM，兩個(gè)小鱉?AGEL和BHFM，兩個(gè)不正規(guī)大鱉?ACEG和BDFH，再應(yīng)用塹堵、鱉?公式和上一節(jié)公式（2），就得到這一公式。這一方法在《九章》中用來(lái)求得例如芻甍（楔形體）、芻童、盤池、冥谷（是各種棱臺(tái)）等多面體的體積公式。
如果依IJK剖面取羨除的一半，所得IJKACE如下圖是一斜截直柱體，是把一個(gè)以勾股形為底面的直柱體斜截而成，它的體積是三高平均值和底面面積的積。因由任意曲面所圍成的立體可以看作近似地由這樣的斜截直柱體構(gòu)成，所以據(jù)此可以得出函數(shù)f（x，y）的積分近似公式，猶之微積分中求曲線下面積的辛普森積分近似公式。因而羨除公式具有重要意義。
在西方，斜截直柱體的體積公式最早見(jiàn)于1794年勒讓德（1752—1833）所著《幾何原理》一書，因此也稱為勒讓德公式。按勒讓德的書是從歐幾里得《幾何原本》以后最早可以代替《原本》的名著，它的有關(guān)公式的證明同樣依據(jù)四面體體積公式，但是它的分解方法和《劉注》不同。
此外某些多面體西方也有不同的分解法和證法，不妨中外參照，加以比較。
球體積和祖?原理
從《九章》到《劉注》，我國(guó)對(duì)多面體的體積已經(jīng)建立了相當(dāng)完整的理論體系。但是對(duì)于曲面圍成的立體，特別是球的體積問(wèn)題，卻遇到了困難。
這一球體積問(wèn)題，直到南北朝時(shí)期祖?才完全解決，為此并且提出了所謂
祖?原理 冪勢(shì)既同，則積不容異。
這一原理在公元十七世紀(jì)由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里（1598—1647）提出卡瓦列里原理重見(jiàn)于歐洲，成為微積分得以創(chuàng)立的關(guān)鍵性的一步。
祖?關(guān)于球體積公式的證明見(jiàn)于《九章》的唐李淳風(fēng)注，論證極其詳細(xì)清晰。證明分三步：
第一，在一立方體中依兩不同方向作兩內(nèi)切圓柱體，它的共同部分稱“牟
棋”。依祖?原理可得：
高處截面積的和跟陽(yáng)馬同高處的截面積相等。
第三，再應(yīng)用祖?原理，知三外棋體積的和跟陽(yáng)馬體積相等。
由陽(yáng)馬的體積公式，就可從上述三步得球體積公式。
按牟合方蓋是劉徽所引入的，第一步的結(jié)果實(shí)質(zhì)上也已經(jīng)為劉徽所求得。事實(shí)上，在《劉注》中，他已經(jīng)多次應(yīng)用了祖?原理來(lái)求曲面圍成立體的體積，例如從方堡?（長(zhǎng)方體）求圓堡?（圓柱），從方錐求圓錐，從方亭（正方臺(tái)）求圓亭（圓臺(tái)），都已經(jīng)使用這方法。祖?的功績(jī)，不僅在于具體求出了牟合方蓋因而求出球的體積，更在于把實(shí)際上已知并且已經(jīng)廣泛應(yīng)用的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)總結(jié)提高到一般原理的形式。是否應(yīng)該把祖?原理改稱為劉祖原理，是可以商討的。
從祖?原理可以立即得出前面講到的劉徽原理，因而多面體的體積理論也可以建立在出入相補(bǔ)原理和祖?原理這兩個(gè)淺顯易明的基本原理之上。在歐洲，直到希耳伯特的《幾何基礎(chǔ)》問(wèn)世以后，二十世紀(jì)初年，才有人（例如緒思）考慮依卡瓦列里原理以建立體積理論的問(wèn)題。
其 他
《九章》中有豐富的幾何學(xué)內(nèi)容，即使局限于出入相補(bǔ)原理，除了已經(jīng)見(jiàn)于前面各節(jié)的以外，也還有一些成果為我國(guó)數(shù)學(xué)以后發(fā)展的重要出發(fā)點(diǎn)。例如所謂勾股容圓問(wèn)題，在李冶的《測(cè)圓海鏡》中已經(jīng)有了很大的發(fā)展。又如前面提到過(guò)的所謂方城問(wèn)題，在秦九韶、李冶等的著作中已經(jīng)把方城改成了圓城，就是舊有方法所不能解的。為此宋元時(shí)期創(chuàng)立了所謂天元術(shù)一類新的理論和方法，不僅可以用來(lái)解決許多新問(wèn)題，對(duì)老的問(wèn)題（所謂古問(wèn)）也提供了新的有力工具，和老的方法（所謂古法）相比可以“省功數(shù)倍”。這些新理論新方法的實(shí)質(zhì)在于幾何的代數(shù)化，乃是解析幾何的前奏，也是近代代數(shù)學(xué)的前驅(qū)。
總 結(jié)
出入相補(bǔ)、劉徽、祖?等一般原理的建立，說(shuō)明我國(guó)古代學(xué)者具有高度的抽象概括能力，善于在深入廣泛的實(shí)踐基礎(chǔ)上往高里提。這些原理之簡(jiǎn)單易明正可和它們應(yīng)用之廣互相輝映。這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的一種獨(dú)特風(fēng)格，著重在問(wèn)題的解決以及解決的一般方法和一般原理原則，同樣的風(fēng)格也可見(jiàn)之于幾何的代數(shù)化、位值制記數(shù)法等等。這和西方數(shù)學(xué)之偏重于概念和概念之間的相互邏輯關(guān)系，是異其旨趣的。
我國(guó)數(shù)學(xué)經(jīng)典著作散佚的多而保存的少，就像祖?原理，也只靠李淳風(fēng)一注才得以留傳下來(lái)。像這一類重要成果而失傳無(wú)從查考的，當(dāng)不在少數(shù)。盡管如此，只從留傳至今的典籍看來(lái)，我國(guó)數(shù)學(xué)的生產(chǎn)實(shí)踐方面的淵源和發(fā)展演變的線索，仍舊很分明，參見(jiàn)下頁(yè)兩個(gè)附表。
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