一、教學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容解析
1．內(nèi)容：“曲線與方程”是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容：理科選修2-1的2.1.1的內(nèi)容,主要包括（1）曲線的方程與方程的曲線概念；（2）求曲線的方程的一般方法(步驟)；（3）坐標(biāo)法的基本思想與研究的基本問(wèn)題.
2．內(nèi)容解析：
在平面直角坐標(biāo)系建立以后，點(diǎn)坐標(biāo)(有序?qū)崝?shù)對(duì))；平面曲線(點(diǎn)的集合或軌跡)二元方程.因此, 曲線的方程是幾何曲線的一種代數(shù)表示，方程的曲線則是曲線的方程的一種幾何表示。曲線和方程的這種相互表示，揭示了幾何中的“形”與代數(shù)中的“數(shù)”的統(tǒng)一結(jié)合。曲線與方程的相互轉(zhuǎn)化，豐富了研究幾何問(wèn)題數(shù)學(xué)方法，產(chǎn)生一門新數(shù)學(xué)學(xué)科---解析幾何，其方法論的意義影響深遠(yuǎn)，更便于人們?cè)跀?shù)字化時(shí)代，用計(jì)算機(jī)工具研究處理幾何問(wèn)題。
研究曲線與方程的目的是把曲線的幾何特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系（方程），并通過(guò)代數(shù)運(yùn)算處理已得到的數(shù)量關(guān)系,進(jìn)而得出曲線的幾何性質(zhì)以及研究他們之間的相互關(guān)系，并達(dá)到利用曲線為人們服務(wù)的目的．因此，通過(guò)這一部分內(nèi)容學(xué)習(xí)，可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中的代數(shù)方法的認(rèn)識(shí)，也能夠讓學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)．
“曲線和方程”是解析幾何中最基本（奠基）內(nèi)容，是學(xué)生體會(huì)并理解圓錐曲線與其方程的基礎(chǔ)。不但為學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線、拋物線內(nèi)容做準(zhǔn)備，而且為學(xué)習(xí)研究其他曲線提供了理論和方法的準(zhǔn)備．因此，教學(xué)時(shí)不僅要讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何求曲線的方程，而且要通過(guò)這一內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生的坐標(biāo)法思想，使學(xué)生明白求出曲線方程的真正意義在于利用曲線的方程去研究曲線.
本節(jié)中的“曲線與方程”的概念，它是對(duì)以前學(xué)過(guò)的函數(shù)及其圖象、直線的方程、圓的方程等數(shù)學(xué)知識(shí)的思想方法提升、深化，是研究問(wèn)題“由特殊到一般，再到特殊”整個(gè)過(guò)程的一個(gè)階段。它刻畫了曲線（幾何圖形）和方程（代數(shù)關(guān)系）間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并根據(jù)曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，介紹了求解曲線方程的一般方法，并要求學(xué)生能通過(guò)方程來(lái)處理一些簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生“初步通過(guò)研究方程來(lái)研究曲線的幾何性質(zhì)”目的�！皵�(shù)形結(jié)合思想”在本章中得到了充分體現(xiàn)，貫穿于研究圓錐曲線的全過(guò)程，
二、教學(xué)目標(biāo)與目標(biāo)解析
1．目標(biāo)：
（1）通過(guò)實(shí)例理解曲線的方程與方程的曲線的概念，能判斷已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的特殊的曲線與方程之間是否具有互為表示的關(guān)系；
（2）通過(guò)實(shí)例體會(huì)求曲線的方程的基本步驟，能求出給定幾何特征的曲線的方程；
（3）通過(guò)實(shí)例體會(huì)不同的平面直角坐標(biāo)系對(duì)同一曲線方程的影響，體會(huì)如何“恰當(dāng)”地建立平面直角坐標(biāo)系.
（4）通過(guò)一些簡(jiǎn)單曲線的方程及其研究，體會(huì)坐標(biāo)法的基本思想及簡(jiǎn)單應(yīng)用．
2．目標(biāo)解析：
教學(xué)目標(biāo)（1）和（2）是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，教學(xué)時(shí)落實(shí)好目標(biāo)（1）、（2）和（3）是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)（4）的前提與保證.
在學(xué)生通過(guò)函數(shù)y =f(x)及其圖象、直線與方程、圓與方程的學(xué)習(xí)，對(duì)曲線的方程與方程的曲線這些概念初步認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，現(xiàn)在的任務(wù)是要建立曲線與方程之間的一般性的概念，讓學(xué)生能從“定義”的角度去理解這些概念.
教學(xué)目標(biāo)（3）是學(xué)生初學(xué)時(shí)不易達(dá)到的目標(biāo)，教學(xué)時(shí)要提供學(xué)生熟悉的曲線（比如直線，圓等）在不同坐標(biāo)系中的方程的簡(jiǎn)潔程度，讓學(xué)生體會(huì)建立坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)該關(guān)注的要點(diǎn)．
對(duì)許多與曲線有關(guān)的具體問(wèn)題而言，原本是沒有坐標(biāo)系的．因此，通過(guò)這樣的問(wèn)題，可以使學(xué)生體會(huì)如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出問(wèn)題中曲線的方程，并通過(guò)曲線的方程幫助解決問(wèn)題，以便實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)（4）．
三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析
1．如何理解曲線與其方程之間的關(guān)系？學(xué)生可以很流利地背出曲線與其方程應(yīng)該滿足的兩條，但是如何證明“一條曲線與一個(gè)方程之間具有互為表示的關(guān)系”，這是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)可能遇到的第一個(gè)教學(xué)問(wèn)題. 這個(gè)問(wèn)題可以結(jié)合“直線與其方程”、“圓與其方程”進(jìn)行說(shuō)明．
2．在求曲線的方程時(shí)，如何建立平面直角坐標(biāo)系？這是學(xué)生會(huì)遇上的第二個(gè)教學(xué)問(wèn)題，也是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)之一．教學(xué)時(shí)，應(yīng)通過(guò)實(shí)例，幫助學(xué)生總結(jié)出建立坐標(biāo)系的基本要點(diǎn)，并用具體問(wèn)題讓學(xué)生練習(xí)進(jìn)行體會(huì)．
3．在將曲線上的點(diǎn)應(yīng)該滿足的幾何特征轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的等式后，常常遇上“將所得等式化簡(jiǎn)得到所求方程”的問(wèn)題．對(duì)于有些復(fù)雜的等式，化簡(jiǎn)是一個(gè)學(xué)生不易把握的問(wèn)題，學(xué)生在此極易出錯(cuò)，這是第三個(gè)教學(xué)問(wèn)題.教學(xué)時(shí)不能因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題而使教學(xué)偏離重點(diǎn)，因而宜使用信息技術(shù)工具通過(guò)對(duì)比表示驗(yàn)證方法解決這個(gè)問(wèn)題.
4．學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，可能會(huì)因更多地關(guān)注代數(shù)運(yùn)算而忽略數(shù)學(xué)思想的提煉，這個(gè)教學(xué)問(wèn)題的解決，需要教師有目的地進(jìn)行引領(lǐng).
四、教學(xué)支持條件
1．在進(jìn)行本節(jié)課的教學(xué)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)在數(shù)學(xué)必修1中學(xué)習(xí)了函數(shù)y =f(x)及其圖象，在數(shù)學(xué)必修2中學(xué)習(xí)了直線與方程、圓與方程，這些內(nèi)容是學(xué)生理解曲線與方程概念的重要基礎(chǔ)，因此教學(xué)時(shí)應(yīng)充分利用這一教學(xué)以備條件，引導(dǎo)學(xué)生多進(jìn)行歸納與概括.
2．曲線與方程是數(shù)形結(jié)合的典范，教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)會(huì)涉及大量圖形的繪制與方程的簡(jiǎn)化等代數(shù)運(yùn)算，因此，《幾何畫板》是重要的支持條件，教學(xué)中應(yīng)充分利用這一工具，不僅可以節(jié)省大量時(shí)間用于學(xué)生思考，而且可以對(duì)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù)形象地進(jìn)行演示分析.
五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
[問(wèn)題1]請(qǐng)同學(xué)們閱讀P34的內(nèi)容，對(duì)每個(gè)實(shí)例用簡(jiǎn)練的兩句話進(jìn)行概括總結(jié)，（1）第一、三象限角平分線和二元方程x=y（或x-y=0）之間有什么對(duì)應(yīng)關(guān)系？（2）圓和二元方程之間有什么對(duì)應(yīng)關(guān)系？
在坐標(biāo)系中，
（1） 第一、三象限角平分線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元方程x-y=0的解；
（1’） 圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元方程的解；
（2） 以二元方程x-y=0的（任一）解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在第一、三象限角平分線上。
(2’) 以二元方程的（任一）解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓上。
意圖：從學(xué)生熟悉的曲線與方程的特例出發(fā)，為引出曲線的方程與方程的曲線的概念做鋪墊.
師生活動(dòng)：讓學(xué)生嘗試直線與方程、圓與方程中，“曲線上的點(diǎn)與二元方程（實(shí)）解之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系”的要求；教師向“一般曲線上的點(diǎn)與一般二元方程（實(shí)）解之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系” 的要求上進(jìn)行引領(lǐng)，為介紹曲線的方程與方程的曲線的概念再做準(zhǔn)備.
[問(wèn)題2] 在坐標(biāo)系中，對(duì)一般的曲線與二元方程，你能給出曲線的方程和方程的曲線的概念嗎？
意圖：給出曲線的方程與方程的曲線的概念.
師生活動(dòng)：讓學(xué)生先概括表達(dá)，然后教師引領(lǐng)學(xué)生閱讀教材上的“定義”，給出曲線的方程和方程的曲線的概念.最后形象化給出：
[問(wèn)題3]試談一談，我們對(duì)“方程f(x,y)=0是曲線的方程”、 “曲線C是方程f(x,y)=0的曲線” 的概念掌握，應(yīng)把握哪些方面呢？
意圖：加深對(duì)曲線的方程與方程的曲線的概念中關(guān)鍵方面的理解.
師生活動(dòng)：學(xué)生回答，教師評(píng)析并給出：
㈠曲線的方程與方程的曲線的概念中的條件（1）、（2）缺一不可，相互獨(dú)立，并構(gòu)成一個(gè)完整一個(gè)整體；【練】學(xué)生完成教材P37練習(xí)第1題，并將題中的“中線AO（O為原點(diǎn)）所在直線的方程”修改為“中線AO（O為原點(diǎn)）的方程”后，提問(wèn)學(xué)生結(jié)論有無(wú)改變？
㈡若“方程f(x,y)=0是曲線的方程”或 “曲線C是方程f(x,y)=0的曲線”前提下，點(diǎn)M在曲線C上其坐標(biāo)是方程的解；【練】學(xué)生完成P37練習(xí)第2題．
㈢曲線的方程的化簡(jiǎn)過(guò)程一定要同解變形，否則，不滿足概念中的條件（1）、（2）。即打破“點(diǎn)與解間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系”；
㈣本概念是在“建立坐標(biāo)系”這一平臺(tái)作出的，所以“建系”不同，所求的方程形式不同。
[問(wèn)題4] 請(qǐng)畫出函數(shù)的圖象，圖象（曲線）C上的點(diǎn)相應(yīng)于坐標(biāo)軸的距離滿足什么關(guān)系等式（方程）？是否滿足這個(gè)關(guān)系等式（方程）的點(diǎn)都在圖象（曲線）C上？
意圖：理解用解析式表示的函數(shù)（方程）與其圖象（曲線）之間的關(guān)系，鞏固曲線的方程與方程的曲線的概念.
師生活動(dòng)：（1）師生畫出函數(shù)的圖象C；（2）學(xué)生思考“圖象C上的點(diǎn)相應(yīng)于坐標(biāo)軸的距離滿足什么關(guān)系等式是“圖象C上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積是常數(shù)k”；（3）學(xué)生思考“到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積是常數(shù)的點(diǎn)都在圖象C上”嗎？；（4）師生得出“到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積是常數(shù)k的點(diǎn)的軌跡方程是”；（5）證明所得結(jié)論，完成教材P35例1．
[問(wèn)題5] 閱讀教材P35“2．1．2求曲線的方程”的第一段內(nèi)容，你能概括出解析幾何研究的問(wèn)題以及研究幾何問(wèn)題的思想方法（或具體方法）嗎？
意圖：明確解析幾何研究的基本內(nèi)容.
師生活動(dòng)：學(xué)生閱讀教材并提煉回答內(nèi)容，請(qǐng)學(xué)生回答，教師點(diǎn)評(píng)總結(jié)：“研究曲線與方程的目的是把曲線的幾何特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系（方程），并通過(guò)代數(shù)運(yùn)算處理已得到的數(shù)量關(guān)系,進(jìn)而得出曲線的幾何性質(zhì)以及研究他們之間的相互關(guān)系，并達(dá)到利用曲線為人們服務(wù)的目的”．并指出在這個(gè)過(guò)程中體現(xiàn)了解析幾何研究的兩個(gè)問(wèn)題以及“數(shù)形結(jié)合”的思想方法（具體的方法為“坐標(biāo)法”）。
[問(wèn)題6] 請(qǐng)學(xué)生們閱讀例2, 并對(duì)照例2的解題步驟,你們能寫出求曲線方程的一般步驟嗎？（略微提及例2的其他解法）
意圖：歸納求曲線的方程的步驟，體會(huì)坐標(biāo)法的基本思想．
師生活動(dòng)：根據(jù)上述過(guò)程讓學(xué)生試總結(jié)求曲線的方程的步驟（見教材P36），特別要強(qiáng)調(diào)步驟5，并對(duì)步驟2、步驟5在解題中如何進(jìn)行量力處理.
[問(wèn)題7] 已知一條直線和一個(gè)點(diǎn)F，點(diǎn)F到l的距離是2．一條曲線上面的點(diǎn)到F的距離減去到l的距離所得的差都是2．你能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出這條曲線的方程嗎？
意圖：幫助學(xué)生熟悉和鞏固求曲線的方程的步驟.進(jìn)一步鞏固強(qiáng)調(diào)步驟5在解題中如何進(jìn)行量力處理.
師生活動(dòng)：（1）師生討論如何建立坐標(biāo)系；
（2）讓學(xué)生按步驟求出曲線的方程；
（3）師生討論如何添加所求曲線方程的附加約束條件（①在設(shè)任一點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，依幾何條件加以對(duì)坐標(biāo)約束；②方程化簡(jiǎn)過(guò)程是否為同解變形，在哪一步不是同解變形？③用問(wèn)題中幾何特征與所求方程曲線進(jìn)行比較檢驗(yàn)）．
（4）【問(wèn)】：有無(wú)其它建立坐標(biāo)系的方法，求點(diǎn)A的軌跡方程？所求得的方程與上面“點(diǎn)A的軌跡方程”相同嗎？教師歸納總結(jié)建立坐標(biāo)系的一般要點(diǎn)，并指出“建系”不同，所得方程不同，“建系”適當(dāng)與否，影響所求方程（形式）的簡(jiǎn)易．【練】：教材P37練習(xí)第3題．
[問(wèn)題8]建立坐標(biāo)系后，是否一條曲線方程唯一？你們對(duì)“坐標(biāo)法”解決幾何問(wèn)題有何體會(huì)？請(qǐng)歸納一下本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容？
意圖：歸納總結(jié)本節(jié)內(nèi)容,突出重點(diǎn)知識(shí)和基本方法.
師生活動(dòng)：學(xué)生思考交流，師生共同總結(jié).
五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)
1．教材P37，習(xí)題2.1：A組第2、3、4題；B組第1、2題．
2．已知曲線的方程為，并且曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，
（1）求曲線的方程；
（2）若在的正半軸上存在一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交曲線，于，兩點(diǎn)，求的中點(diǎn)的軌跡方程.
作者簡(jiǎn)介：王志軍 1968年12月22日生，河北省邢臺(tái)市人，1989年6月28日畢業(yè)于蘇州鐵道師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，2001年6月29日獲北京師范大學(xué)碩士學(xué)位�，F(xiàn)在山西省百年重點(diǎn)名校太原五中擔(dān)任高中數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競(jìng)賽教學(xué)工作，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師，中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克高級(jí)教練，山西省數(shù)學(xué)會(huì)資深教練。山西省太原市十大文明形象大使，山西省太原市教育系統(tǒng)優(yōu)秀黨員，優(yōu)秀班主任。自2001年至今，所帶學(xué)生獲全國(guó)高中數(shù)學(xué)奧林匹克國(guó)家級(jí)金牌2枚，銀牌3枚，銅牌4枚，由數(shù)學(xué)單科競(jìng)賽成績(jī)被保送或加10～30分錄取進(jìn)入清華、北大學(xué)習(xí)的學(xué)生有31人，有58人獲全國(guó)高中聯(lián)賽山西省一等獎(jiǎng)。所帶理科實(shí)驗(yàn)班和普通班的數(shù)學(xué)高考成績(jī)?nèi)〉昧钊俗⒛康膬?yōu)異成績(jī)。主編的《高中數(shù)學(xué)問(wèn)題誤解診療》大全第二卷由山西教育出版社出版，參編的《高中數(shù)學(xué)知識(shí)精講與能力訓(xùn)練》分冊(cè)（高三）由光明日?qǐng)?bào)出版社出版，《高中數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)》（高三）由中央民族大學(xué)出版社出版，《2011年山西省高考數(shù)學(xué)應(yīng)試一點(diǎn)通》由山西經(jīng)濟(jì)出版社出版。在國(guó)家級(jí)、�。ú浚┘�(jí)學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表論文《高中生在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中思維參與的研究》、《異面直線間定長(zhǎng)連線段中點(diǎn)軌跡問(wèn)題》、《以教導(dǎo)學(xué) 以學(xué)促教》、《就如何學(xué)好高中數(shù)學(xué)答學(xué)生及家長(zhǎng)問(wèn)》、《有關(guān)函數(shù) 、、、間定義域互求的幾點(diǎn)商榷》、《學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)應(yīng)注意的問(wèn)題》、《高中數(shù)學(xué)教材（試驗(yàn)修訂本）中平移內(nèi)容的新講與新編》9篇；在國(guó)家級(jí)、�。ú浚┘�(jí)教育教學(xué)報(bào)刊上發(fā)表教育性文章《我的師生觀》、《對(duì)評(píng)課的再認(rèn)識(shí)》、《漫談?wù)埣医蹋ㄉ�、下）》�?篇；發(fā)表的文學(xué)作品有《為師的“苦澀”》、《為師之悔》、《夢(mèng)中情人》等。
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/gaozhong/148377.html
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