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編者按：小編為大家收集了“高一數(shù)學函數(shù)值域解題技巧總結”，供大家參考，希望對大家有所幫助!

一.觀察法

通過對函數(shù)定義域、性質的觀察，結合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。

例1求函數(shù)y=3+√(2-3x) 的值域。

點撥：根據(jù)算術平方根的性質，先求出√(2-3x) 的值域。

解：由算術平方根的性質，知√(2-3x)≥0，

故3+√(2-3x)≥3。

∴函數(shù)的知域為 .

點評：算術平方根具有雙重非負性，即：(1)被開方數(shù)的非負性，(2)值的非負性。

本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。

練習：求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域為：{0，1，2，3，4，5｝)

二.反函數(shù)法

當函數(shù)的反函數(shù)存在時，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。

例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。

點撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。

解：顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實數(shù),故函數(shù)y的值域為{y?y≠1,y∈R｝。

點評：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學解題的重要方法之一。

練習：求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函數(shù)的值域為{y?y<-1或y>1｝)

三.配方法

當所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復合函數(shù)時,可以利用配方法求函數(shù)值域

例3：求函數(shù)y=√(-x2+x+2)的值域。

點撥：將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。

解：由-x2+x+2≥0,可知函數(shù)的定義域為x∈[-1，2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]

∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數(shù)的值域是[0,3/2]

點評：求函數(shù)的值域不但要重視對應關系的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數(shù)學的一種重要的思想方法。

練習：求函數(shù)y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域為{y?y≤3})

四.判別式法

若可化為關于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。

例4求函數(shù)y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

點撥：將原函數(shù)轉化為自變量的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。

解：將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)

當y≠2時,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2

當y=2時,方程(*)無解。∴函數(shù)的值域為2

點評：把函數(shù)關系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實數(shù)解，故其判別式為非負數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數(shù)。

練習：求函數(shù)y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域為y≤-8或y>0)。

五.最值法

對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。

點撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。

解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數(shù)z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。

當x=-1時，z=-5;當x=3/2時，z=15/4。

∴函數(shù)z的值域為{z?-5≤z≤15/4｝。

點評：本題是將函數(shù)的值域問題轉化為函數(shù)的最值。對開區(qū)間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數(shù)的值域。

練習：若√x為實數(shù)，則函數(shù)y=x2+3x-5的值域為 ( )

A.(-∞，+∞) B.[-7，+∞] C.[0，+∞) D.[-5，+∞)

(答案：D)。

六.圖象法

通過觀察函數(shù)的圖象，運用數(shù)形結合的方法得到函數(shù)的值域。

例6求函數(shù)y=?x+1?+√(x-2)2 的值域。

點撥：根據(jù)絕對值的意義，去掉符號后轉化為分段函數(shù)，作出其圖象。

解：原函數(shù)化為 -2x+1 (x≤1)

y= 3 (-1

2x-1(x>2)

它的圖象如圖所示。

顯然函數(shù)值y≥3,所以，函數(shù)值域[3，+∞]。

點評：分段函數(shù)應注意函數(shù)的端點。利用函數(shù)的圖象

求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結合的思想。是解決問題的重要方法。

求函數(shù)值域的方法較多，還適應通過不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域。

七.單調(diào)法

利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。

例1求函數(shù)y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。

點撥：由已知的函數(shù)是復合函數(shù)，即g(x)= -√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為x≤1/3，在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性，從而確定函數(shù)的值域。

解：設f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x

在定義域為x≤1/3上也為增函數(shù)，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數(shù)值域為{yy≤4/3｝。

點評：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值，進而可確定函數(shù)的值域。

練習：求函數(shù)y=3+√4-x 的值域。(答案：{yy≥3｝)