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第四章 函數(shù)應用
(時間90分鐘，滿分120分)
一、(本大題共10個小題，每小題5分，共50分)
1．函數(shù)f(x)＝x2－3x－4的零點是( )
A．(1，－4) B．(4，－1)
C．1，－4 D．4，－1
解析：由x2－3x－4＝0，得x1＝4，x2＝－1.
答案：D
2．今有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示：
t1.993.04.05.16.12
u1.54.047.51218.01
則體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關系的最佳函數(shù)模型是( )
A．u＝log2t B．u＝2t－2
C．u＝t2－12 D．u＝2t－2
解析：把t＝1.99，t＝3.0代入A、B、C、D驗證易知，C最近似．
答案：C
3．儲油30 m3的油桶，每分鐘流出34 m3的油，則桶內(nèi)剩余油量Q(m3)以流出時間t(分)為自變量的函數(shù)的定義域為( )
A．[0，＋∞) B．[0，452]
C．(－∞，40] D．[0,40]
解析：由題意知Q＝30－34t，又0≤Q≤30，即0 ≤30－34t≤30，∴0≤t≤40.
答案：D
4．由于技術的提高，某產(chǎn)品的成本不斷降低，若每隔3年該產(chǎn)品的價格降低13，現(xiàn)在價格為8 100元的產(chǎn)品，則9年后價格降為( )
A．2 400元 B．900元
C．300元 D．3 600元
解析：由題意得8 100×(1－13)3＝2 400.
答案：A
5．函數(shù)f(x)＝2x＋3x的零點所在的一個區(qū)間是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：f(－1)＝2－1＋3×(－1)＝12－3＝－52<0，
f(0)＝20＋3×0＝1>0.
∵y＝2x，y＝3x均為單調(diào)增函數(shù)，
∴f(x)在(－1,0)內(nèi)有一零點．
答案：B
6．若函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，其定義域為{xx≠0}，且函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，f(2)＝0，則函數(shù)f(x)的零點有( )
A．唯一一個 B．兩個
C．至少兩個 D．無法判斷
解析：根據(jù)偶函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上有且僅有一個零點，則在(－∞，0)上也僅有一個零點．
答案：B
7．函數(shù)f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x>0的零點個數(shù)為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由f(x)＝0，得x≤0，x2＋2x－3＝0或x>0，－2＋lnx＝0，
解之可得x＝－3或x＝e2，
故零點個數(shù)為2.
答案：C
8．某地固定電話市話收費規(guī)定：前三分鐘0.20元(不滿三分鐘按三分鐘計算)，以后每加一分鐘增收0.10元 (不滿一分鐘按一分鐘計算)，那么某人打市話550秒，應支付電話費
( )
A．1.00元 B．0.90元
C．1.20元 D．0.80元
解析：y＝0.2＋0.1×([x]－3)，([x]是大于x的最小整數(shù)，x>0)，令x＝55060，故[x]＝10，則y＝0.9.
答案：B
9．若函數(shù)f(x)的零點與g(x)＝4x＋2x－2的零點之差的絕對值不超過0.25，則f(x)可以是 ( )
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln(x－12)
解析：令g(x)＝0，則4x＝－2x＋2.畫出函數(shù)y1＝4x和函數(shù)y2＝－2x＋2的圖像如圖，可知g(x)的零點在區(qū)間(0,0.5)上，選項A的零點為0.25，選項B的零點為1，選項C的零點為0，選項D的零點大于1，故排除B、C、D.
答案：A
10．在股票買賣過程中，經(jīng)常用兩種曲線來描述價格變化情況：一種是即時價格曲線y＝f(x)，另一種是平均價格曲線y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票開始買賣后2小時的即時價格為3元；g(2)＝3表示2小時內(nèi)的平均價格為3元，下面給出了四個圖像，實線表示y＝f(x )，虛線表示y＝g(x)，其中可能正確的是( )
解析：A選項中即時價格越來越小時，而平均價格在增加，故不對，而B選項中即時價格在下降，而平均價格不變化，不正確．D選項中平均價格不可能越來越高，排除D.
答案：C
二、題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
11．用二分法求方程x3－2x－5＝0在區(qū)間[2,3]內(nèi)的實根，取區(qū)間中點x0＝2.5，那么下一個有根區(qū)間是________．
解析：f(x)＝x3－2x－5，
f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(2.5)＝5.625>0，
∵f(2)•f(2.5)<0，
∴下一個有根區(qū)間是(2,2.5)．
答案：(2,2.5)
12．已知m∈R時，函數(shù)f(x)＝m(x2－1)＋x－a恒有零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：(1)當m＝0時，
由f(x)＝x－a＝0，
得x＝a，此時a∈R.
(2)當m≠0時，令f(x)＝0，
即mx2＋x－m－a＝0恒有解，
Δ1＝1－4m(－m－a)≥0恒成立，
即4m2＋4am＋1 ≥0恒成立，
則Δ2＝(4a)2－4×4×1≤0，
即－1≤a≤1.
所以對m∈R，函數(shù)f(x)恒有零點，有a∈[－1 ,1]．
答案：[－1,1]
13．已知A，B兩地相距150 km，某人開汽車以60 km/h的速 度從A地到達B地，在B地停留1小時后再以50 km/h的速度返回A地，汽車離開A地的距離x隨時間t變化的關系式是________．
解析：從A地到B地，以60 km/h勻速行駛，x＝60t，耗時2.5個小時，停留一小時，x不變．從B地返回A地，勻速行駛，速度為50 km/h，耗時3小時，故x＝150－50(t－3.5)＝－50t＋325.
所以x＝60t， 0≤t≤2.5，150， 2.5<t≤3.5，－50t＋325， 3.5<t≤6.5.
答案 ：x＝60t， 0≤t≤2.5150， 2.5<t≤3.5－50t＋325 3.5<t≤6.5
14．某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個時間段進行分時計價．該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價表如下：
高峰時間段用 電價格表
高峰月用電量(單位：千瓦時)高峰電價(單位：元/千瓦時)
50及以下的部分0.568
超過50至200的部分0.598
超過200的部分0.668
低谷時間段用電價格表
低谷月用電量(單位：千瓦時)低谷電價(單位：元/千瓦時)
50及以下的部分0.288
超過50至2 00的部分0.318
超過200的部分0.388
若某家庭5月份的高峰時間段用電量為200千瓦時，低谷時間段用電量為100千瓦時，則按這種計費方式該家庭本月應付的電費為________元(用數(shù)字作答)．
解析：高峰時段電費a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．
低谷時段電費b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．故該家庭本月應付的電費為a＋b＝148.4(元)．
答案：148.4
三、解答題(本大題共4小題，共50分)
15．(12分)有甲、乙兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品所得的利潤依次為M萬元和N萬元，它們與投入資金x萬元的關系可由經(jīng)驗公式給出：M＝ 14x，N＝34x－1(x≥1)．今有8萬元資金投入經(jīng)營甲、乙兩種商品，且乙商品至少要求投資1萬元，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品 的資金投入分配應是多少？ 共能獲得多大利潤？
解：設投入乙種商品的資金為x萬元，則投入甲種商品的資金為(8－x)萬元，共獲得利潤
y＝M＋N＝14(8－x)＋34x－1.
令x－1＝t(0≤t≤7)，則x＝t2＋1，
∴y＝14(7－t2)＋34t＝－14(t－32)2＋3716.
故當t＝32時，可獲最大利潤3716萬元．
此時，投入乙種商品的資金為134萬元，
甲種商品的資金為194萬元．
16．(12分)判斷方程2ln x＋x－4＝0在(1，e)內(nèi)是否存在實數(shù)解，若存在，有幾個實數(shù)解？
解：令f(x)＝2ln x＋x－4.
因為f(1)＝2ln 1＋1－4＝－3<0，f(e)＝2ln e＋e－4＝e －2>0，
所以f(1)•f(e)<0.
又函數(shù)f(x)在(1，e)內(nèi)的圖像是連續(xù)不斷的曲線，
所以函數(shù)f(x)在(1，e)內(nèi)存在零點，即方程f(x)＝0在(1，e)內(nèi)存在實數(shù)解．
由于函數(shù)f(x)＝2ln x＋x－4在定義域(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在(1，e)內(nèi)只存在唯一的一個零點．
故方程2ln x＋x－4＝0在(1，e)內(nèi)只存在唯一的實數(shù)解．
17．(12分)某商品在近100天內(nèi)，商品的單價f(t)(元)與時間t(天)的函數(shù)關系式如下：
f(t)＝t4＋22， 0≤t≤40，t∈Z，－t2＋52， 40<t≤100，t∈Z.
銷售量g(t)與時間t(天)的函數(shù)關系式是
g(t)＝－t3＋1123(0≤t≤100，t∈Z)．
求這種商品在這100天內(nèi)哪一天的銷售額最高？
解：依題意，該商品在近100天內(nèi)日銷售額F(t)與時間t(天)的函數(shù)關系式為F(t)＝f(t)•g(t)
＝t4＋22－t3＋1123， 0≤t≤40，t∈Z，－t2＋52－t3＋1123， 40<t≤100，t∈Z.
(1)若0≤t≤40，t∈Z，則
F(t)＝(t4＋22)(－t3＋1123)
＝－112(t－12)2＋2 5003，
當t＝12時，F(xiàn)(t)max＝2 5003(元)．
(2)若40<t≤100，t∈Z，則
F(t)＝(－t2＋52)(－t3＋1123)
＝16(t－108)2－83，
∵t＝108>100，
∴F(t)在(40,100]上遞減，
∴當t＝41時，F(xiàn)(t)max＝745.5.
∵2 5003>745.5，
∴第12天的日銷售額最高．
18．(14分)某商場經(jīng)營一批進價為12元/個的小商品．在4天的試銷中，對此商品的單價(x)元與相應的日銷量y(個)作了統(tǒng)計，其數(shù)據(jù)如下：
x16202428
y4230186
(1)能否找到一種函數(shù)，使它反映y關于x的函數(shù)關系？若能，寫出函數(shù)解析式；
(2)設經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P(元)，求P關于x的函數(shù)解析式，并指出當此商品的銷售價每個為多少元時，才能使日銷售利潤P取最大值？最大值是多少？
解： (1)由已知數(shù)據(jù)作圖如圖，
觀察x，y的關系，可大體看到y(tǒng)是x的一次函數(shù)，令
y＝kx＋b.當x＝16時，y＝42；x＝20時，y＝30.
得42＝16k＋b， �、�30＝20k＋b， ②
由②－①得－12＝4k，
∴k＝－3，代入②得b＝90.
所以y＝－3x＋90，顯然當x＝24時，y＝18；
當x＝28時，y＝6.
對照數(shù)據(jù)，可以看到y(tǒng)＝－3x＋90即為所求解析式；
(2)利潤P＝(x－12)•(－3x＋90)＝－3x2＋126x－1 080＝－3(x－21)2＋243.
∵二次函數(shù)開口向下，
∴當x＝21時，P最大為243.
即每件售價為21元時，利潤最大，最大值為243元．
5 Y
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