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第2章 平面解析幾何初步 綜合檢測
(時間：120分鐘；滿分：150分)
一、(本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．直線3ax－y－1＝0與直線(a－23)x＋y＋1＝0垂直，則a的值是(　　)
A．－1或13　　　　　　　　　B．1或13
C．－13或－1 D．－13或1
解析：選D.由3a(a－23)＋(－1)×1＝0，得a＝－13或a＝1.
2．直線l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐標系中的圖形大致是圖中的(　　)
解析：選C.直線l1：ax－y＋b＝0，斜率為a，在y軸上的截距為b，
設(shè)k1＝a，m1＝b.直線l2：bx－y＋a＝0，斜率為b，在y軸上的截距為a，
設(shè)k2＝b，m2＝a.
由A知：因為l1∥l2，k1＝k2>0，m1>m2>0，即a＝b>0，b>a>0，矛盾．
由B知：k1<0m2>0，即a<0a>0，矛盾．
由C知：k1>k2>0，m2>m1>0，即a>b>0，可以成立．
由D知：k1>k2>0，m2>0>m1，即a>b>0，a>0>b，矛盾．
3．已知點A(－1,1)和圓C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光線從A經(jīng)x軸反射到圓C上的最短路程是(　　)
A．62－2 B．8
C．46 D．10
解析：選B.點A關(guān)于x軸對稱點A′(－1，－1)，A′與圓心(5,7)的距離為?5＋1?2＋?7＋1?2＝10.∴所求最短路程為10－2＝8.
4．圓x2＋y2＝1與圓x2＋y2＝4的位置關(guān)系是(　　)
A．相離 B．相切
C．相交 D．內(nèi)含
解析：選D.圓x2＋y2＝1的圓心為(0,0)，半徑為1，圓x2＋y2＝4的圓心為(0,0)，半徑為2，則圓心距0<2－1＝1，所以兩圓內(nèi)含．
5．已知圓C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直線l：x－y＋3＝0，當直線l被圓C截得的弦長為23時，a的值等于(　　)
A.2 B.2－1
C．2－2 D.2＋1
解析：選B.圓心(a,2)到直線l：x－y＋3＝0的距離d＝a－2＋32＝a＋12，依題意a＋122＋2322＝4，解得a＝2－1.
6．與直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(1，－1)對稱的直線是(　　)
A．3x－2y－6＝0
B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0
D．2x＋3y＋8＝0
解析：選D.∵所求直線平行于直線2x＋3y－6＝0，
∴設(shè)所求直線方程為2x＋3y＋c＝0，
由2－3＋c22＋32＝2－3－622＋32，
∴c＝8，或c＝－6(舍去)，
∴所求直線方程為2x＋3y＋8＝0.
7．若直線y－2＝k(x－1)與圓x2＋y2＝1相切，則切線方程為(　　)
A．y－2＝34(1－x)
B．y－2＝34(x－1)
C．x＝1或y－2＝34(1－x)
D．x＝1或y－2＝34(x－1)
解析：選B.數(shù)形結(jié)合答案容易錯選D，但要注意直線的表達式是點斜式，說明直線的斜率存在，它與直線過點(1,2)要有所區(qū)分．
8．圓x2＋y2－2x＝3與直線y＝ax＋1的公共點有(　　)
A．0個 B．1個
C．2個 D．隨a值變化而變化
解析：選C.直線y＝ax＋1過定點(0,1)，而該點一定在圓內(nèi)部．
9．過P(5,4)作圓C：x2＋y2－2x－2y－3＝0的切線，切點分別為A、B，四邊形PACB的面積是(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
解析：選B.∵圓C的圓心為(1,1)，半徑為5.
∴PC＝?5－1?2＋?4－1?2＝5，
∴PA＝PB＝52－?5?2＝25，
∴S＝12×25×5×2＝10.
10．若直線mx＋2ny－4＝0(m、n∈R，n≠m)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－4＝0的周長，則mn的取值范圍是(　　)
A．(0,1) B．(0，－1)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
解析：選C.圓x2＋y2－4x－2y－4＝0可化為(x－2)2＋(y－1)2＝9，直線mx＋2ny－4＝0始終平分圓周，即直線過圓心(2,1)，所以2m＋2n－4＝0，即m＋n＝2，mn＝m(2－m)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋1≤1，當m＝1時等號成立，此時n＝1，與“m≠n”矛盾，所以mn＜1.
11．已知直線l：y＝x＋m與曲線y＝1－x2有兩個公共點，則實數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．(－2,2) B．(－1,1)
C．[1，2) D．(－2，2)
解析：選C. 曲線y＝1－x2表示單位圓的上半部分，畫出直線l與曲線在同一坐標系中的圖象，可觀察出僅當直線l在過點(－1,0)與點(0,1)的直線與圓的上切線之間時，直線l與曲線有兩個交點．
當直線l過點(－1,0)時，m＝1；
當直線l為圓的上切線時，m＝2(注：m＝－2，直線l為下切線)．
12．過點P(－2,4)作圓O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切線l，直線m：ax－3y＝0與直線l平行，則直線l與m的距離為(　　)
A．4 B．2
C.85 D.125
解析：選A.∵點P在圓上，
∴切線l的斜率k＝－1kOP＝－11－42＋2＝43.
∴直線l的方程為y－4＝43(x＋2)，
即4x－3y＋20＝0.
又直線m與l平行，
∴直線m的方程為4x－3y＝0.
故兩平行直線的距離為d＝0－2042＋?－3?2＝4.
二、題(本大題共4小題，請把答案填在題中橫線上)
13．過點A(1，－1)，B(－1,1)且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是________．
解析：易求得AB的中點為(0,0)，斜率為－1，從而其垂直平分線為直線y＝x，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，這條直線應(yīng)該過圓心，將它與直線x＋y－2＝0聯(lián)立得到圓心O(1,1)，半徑r＝OA＝2.
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝4
14．過點P(－2,0)作直線l交圓x2＋y2＝1于A、B兩點，則PA?PB＝________.
解析：過P作圓的切線PC，切點為C，在Rt△POC中，易求PC＝3，由切割線定理，PA?PB＝PC2＝3.
答案：3
15．若垂直于直線2x＋y＝0，且與圓x2＋y2＝5相切的切線方程為ax＋2y＋c＝0，則ac的值為________．
解析：已知直線斜率k1＝－2，直線ax＋2y＋c＝0的斜率為－a2.∵兩直線垂直，∴(－2)?(－a2)＝－1，得a＝－1.圓心到切線的距離為5，即c5＝5，∴c＝±5，故ac＝±5.
答案：±5
16．若直線3x＋4y＋m＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＋4＝0沒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是__________．
解析：將圓x2＋y2－2x＋4y＋4＝0化為標準方程，
得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圓心為(1，－2)，半徑為1.若直線與圓無公共點，即圓心到直線的距離大于半徑，即d＝3×1＋4×?－2?＋m32＋42＝m－55＞1，
∴m＜0或m＞10.
答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)
三、解答題(本大題共6小題，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．三角形ABC的邊AC，AB的高所在直線方程分別為2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，頂點A(1,2)，求BC邊所在的直線方程．
解：AC邊上的高線2x－3y＋1＝0，
所以kAC＝－32.
所以AC的方程為y－2＝－32(x－1)，
即3x＋2y－7＝0，
同理可求直線AB的方程為x－y＋1＝0.
下面求直線BC的方程，
由3x＋2y－7＝0，x＋y＝0，得頂點C(7，－7)，
由x－y＋1＝0，2x－3y＋1＝0，得頂點B(－2，－1)．
所以kBC＝－23，直線BC：y＋1＝－23(x＋2)，
即2x＋3y＋7＝0.
18．一束光線l自A(－3,3)發(fā)出，射到x軸上，被x軸反射后與圓C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0有公共點．
(1)求反射光線通過圓心C時，光線l所在直線的方程；
(2)求在x軸上，反射點M的橫坐標的取值范圍．
解：圓C的方程可化為(x－2)2＋(y－2)2＝1.
(1)圓心C關(guān)于x軸的對稱點為C′(2，－2)，過點A，C′的直線的方程x＋y＝0即為光線l所在直線的方程．
(2)A關(guān)于x軸的對稱點為A′(－3，－3)，
設(shè)過點A′的直線為y＋3＝k(x＋3)．
當該直線與圓C相切時，有2k－2＋3k－31＋k2＝1，解得k＝43或k＝34，
所以過點A′的圓C的兩條切線分別為y＋3＝43(x＋3)，y＋3＝34(x＋3)．
令y＝0，得x1＝－34，x2＝1，
所以在x軸上反射點M的橫坐標的取值范圍是[－34，1]．
19．已知圓x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)此方程表示圓，求m的取值范圍；
(2)若(1)中的圓與直線x＋2y－4＝0相交于M、N兩點，且OM⊥ON(O為坐標原點)，求m的值；
(3)在(2)的條件下，求以MN為直徑的圓的方程．
解：(1)方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，可化為
(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
∵此方程表示圓，
∴5－m＞0，即m＜5.
(2)x2＋y2－2x－4y＋m＝0，x＋2y－4＝0，
消去x得(4－2y)2＋y2－2×(4－2y)－4y＋m＝0，
化簡得5y2－16y＋m＋8＝0.
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則
y1＋y2＝165，　　　　�、賧1y2＝m＋85. ②
由OM⊥ON得y1y2＋x1x2＝0
即y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0，
∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.
將①②兩式代入上式得
16－8×165＋5×m＋85＝0，
解之得m＝85.
(3)由m＝85，代入5y2－16y＋m＋8＝0，
化簡整理得25y2－80y＋48＝0，解得y1＝125，y2＝45.
∴x1＝4－2y1＝－45，x2＝4－2y2＝125.
∴M－45，125，N125，45，
∴MN的中點C的坐標為45，85.
又MN＝ 125＋452＋45－1252＝855，
∴所求圓的半徑為455.
∴所求圓的方程為x－452＋y－852＝165.
20. 已知圓O：x2＋y2＝1和定點A(2,1)，由圓O外一點P(a，b)向圓O引切線PQ，切點為Q，PQ＝PA成立，如圖．
(1)求a、b間關(guān)系；
(2)求PQ的最小值；
(3)以P為圓心作圓，使它與圓O有公共點，試在其中求出半徑最小的圓的方程．
解：(1)連接OQ、OP，則△OQP為直角三角形，
又PQ＝PA，
所以O(shè)P2＝OQ2＋PQ2
＝1＋PA2，
所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，
故2a＋b－3＝0.
(2)由(1)知，P在直線l：2x＋y－3＝0上，
所以PQmin＝PAmin，為A到直線l的距離，
所以PQmin＝2×2＋1－322＋12＝255.
(或由PQ2＝OP2－1＝a2＋b2－1＝a2＋9－12a＋4a2－1＝5a2－12a＋8＝5(a－1.2)2＋0.8，得PQmin＝255.)
(3)以P為圓心的圓與圓O有公共點，半徑最小時為與圓O相切的情形，而這些半徑的最小值為圓O到直線l的距離減去圓O的半徑，圓心P為過原點與l垂直的直線l′與l的交點P0，所以r＝322＋12－1＝355－1，
又l′：x－2y＝0，
聯(lián)立l：2x＋y－3＝0得P0(65，35)．
所以所求圓的方程為(x－65)2＋(y－35)2＝(355－1)2.
21．有一圓與直線l：4x－3y＋6＝0相切于點A(3,6)，且經(jīng)過點B(5,2)，求此圓的方程．
解：法一：由題意可設(shè)所求的方程為(x－3)2＋(y－6)2＋λ(4x－3y＋6)＝0，又因為此圓過點(5,2)，將坐標(5,2)代入圓的方程求得λ＝－1，所以所求圓的方程為x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
法二：設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
則圓心為C(a，b)，由CA＝CB，CA⊥l，得
?3－a?2＋?6－b?2＝r2，?5－a?2＋?2－b?2＝r2，b－6a－3×43＝－1，解得a＝5，b＝92，r2＝254.所以所求圓的方程為(x－5)2＋(y－92)2＝254.
法三：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由CA⊥l，A(3,6)，B(5,2)在圓上，得
32＋62＋3D＋6E＋F＝0，52＋22＋5D＋2E＋F＝0，－E2－6－D2－3×43＝－1，解得D＝－10，E＝－9，F(xiàn)＝39.
所以所求圓的方程為x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
法四：設(shè)圓心為C，則CA⊥l，又設(shè)AC與圓的另一交點為P，則CA的方程為y－6＝－34(x－3)，
即3x＋4y－33＝0.
又因為kAB＝6－23－5＝－2，
所以kBP＝12，所以直線BP的方程為x－2y－1＝0.
解方程組3x＋4y－33＝0，x－2y－1＝0，得x＝7，y＝3.所以P(7,3)．
所以圓心為AP的中點(5，92)，半徑為AC＝52.
所以所求圓的方程為(x－5)2＋(y－92)2＝254.
22．如圖在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圓C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
(1)若直線l過點A(4,0)，且被圓C1截得的弦長為23，求直線l的方程；
(2)設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被C2截得的弦長相等．試求所有滿足條件的點P的坐標．
解：(1)由于直線x＝4與圓C1不相交，所以直線l的斜率存在．設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)，圓C1的圓心到直線l的距離為d，因為圓C1被直線l截得的弦長為23，所以d＝22－?3?2＝1.
由點到直線的距離公式得d＝1－k?－3－4?1＋k2，
從而k(24k＋7)＝0，即k＝0或k＝－724，
所以直線l的方程為y＝0或7x＋24y－28＝0.
(2)設(shè)點P(a，b)滿足條件，不妨設(shè)直線l1的方程為y－b＝k(x－a)，k≠0，則直線l2的方程為y－b＝－1k(x－a)．因為圓C1和C2的半徑相等，且圓C1被直線l1截得的弦長與圓C2被直線l2截得的弦長相等，所以圓C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離相等，即
1－k?－3－a?－b1＋k2＝5＋1k?4－a?－b1＋1k2，
整理得1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk，從而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，因為k的取值有無窮多個，所以
a＋b－2＝0，b－a＋3＝0，或a－b＋8＝0，a＋b－5＝0，
解得a＝52，b＝－12，或a＝－32，b＝132.
這樣點P只可能是點P152，－12或點P2－32，132.


本文來自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/gaoyi/72101.html

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