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2.1.2 平面直角坐標(biāo)系中的基本公式 優(yōu)化訓(xùn)練
1．已知線段AB的中點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，且A(x,2)，B(3，y)，則x＋y等于(　　)
A．5　　　　　　　　　　B．－1
C．1 D．－5
解析：選D.由題意知，x＝－3，y＝－2，則x＋y＝－5.
2．若x軸上的點(diǎn)M到原點(diǎn)及點(diǎn)(5，－3)的距離相等，則M點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　)
A．(－2,0) B．(1,0)
C．(1.5,0) D．(3.4,0)
答案：D
3．若A(a，－ab)，B(b，ab)，則d(A，B)等于(　　)
A．a(chǎn)－b B．a(chǎn)＋b
C．a(chǎn)＋b D．a(chǎn)－b
答案：B
4．設(shè)點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在y軸上，線段PQ的中點(diǎn)是M(－1,2)，則d(P，Q)＝________.
答案：25
5．已知點(diǎn)P到x軸和點(diǎn)A(－4,2)的距離都是10，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
解析：設(shè)P(x，y)，由距離公式，得
y＝10?x＋4?2＋?y－2?2＝10，解得x＝2，y＝10，
∴P(2,10)．
答案：(2,10)
1．點(diǎn)A(2a,1)與點(diǎn)B(2，a)之間的距離為(　　)
A.5(a－1) B.5(1－a)
C.5a－1 D．5(a－1)2
解析：選C.d(A，B)＝?2a－2?2＋?1－a?2＝5a－1.
2．已知點(diǎn)A(x,5)關(guān)于點(diǎn)C(1，y)的對(duì)稱點(diǎn)是B(－2，－3)，則點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離是(　　)
A．4 B.13
C.15 D.17
解析：選D.
由題意知1＝x－22y＝5－32?x＝4y＝1，d＝42＋12＝17.
3．已知△ABC的頂點(diǎn)A(2,3)，B(8，－4)和重心G(2，－1)，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(　　)
A．(4，－3) B．(1,4)
C．(－4，－2) D．(－2，－2)
解析：選C.設(shè)C(x，y)，則2＋8＋x3＝2，∴x＝－4.
3＋?－4?＋y3＝－1，∴y＝－2，故選C.
4．某縣位于山區(qū)，居民的居住區(qū)域大致呈如圖所示的五邊形，近似由一個(gè)正方形和兩個(gè)等腰直角三角形組成，若AB＝60 km，AE＝CD＝30 km，為了解決當(dāng)?shù)厝嗣窨措娨曤y的問(wèn)題，準(zhǔn)備建一個(gè)電視轉(zhuǎn)播臺(tái)，理想方案是轉(zhuǎn)播臺(tái)距五邊形各頂點(diǎn)的距離平方和最小，圖中P1、P2、P3、P4是AC的五等分點(diǎn)，則轉(zhuǎn)播臺(tái)應(yīng)建在(　　)
A．P1處 B．P2處
C．P3處 D．P4處
解析：選A.以AB為x軸，AE為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(60,0)，C(30,30)，D(30,60)，E(0,30)，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則f(x，y)＝AP2＋BP2＋CP2＋DP2＋EP2＝x2＋y2＋(x－60)2＋y2＋(x－30)2＋(y－30)2＋(x－30)2＋(y－60)2＋x2＋(y－30)2＝5x2＋5y2－240x－240y＋10800＝5(x－24)2＋5(y－24)2＋5040.
當(dāng)x＝y(tǒng)＝24時(shí)，f(x，y)有最小值，此時(shí)點(diǎn)P為(24,24)與點(diǎn)P1重合．
5．若平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)為(3，－2)，(5,2)，(－1,4)，則第四個(gè)頂點(diǎn)不可能是(　　)
A．(9，－4) B．(1,8)
C．(－3,0) D．(1，－3)
解析：選D.設(shè)第四個(gè)頂點(diǎn)為(x，y)，然后分三種情況討論．若(3，－2)，(5,2)是一條對(duì)角線的兩端點(diǎn)，則有3＋52＝－1＋x2，－2＋22＝4＋y2，∴x＝9，y＝－4，即第四個(gè)頂點(diǎn)為(9，－4)；若(5,2)，(－1,4)為一條對(duì)角線的兩端點(diǎn)，則第四個(gè)頂點(diǎn)為(1,8)；若(3，－2)，(－1,4)為一條對(duì)角線的兩端點(diǎn)，則第四個(gè)頂點(diǎn)為(－3,0)．
6．點(diǎn)A(2,0)，B(4,2)，若AB＝2AC，則C點(diǎn)坐標(biāo)為(　　)
A．(－1,1) B．(－1,1)或(5，－1)
C．(－1,1)或(1,3) D．無(wú)數(shù)多個(gè)
解析：選D.設(shè)C(x，y)，則?4－2?2＋?2－0?2
＝2?x－2?2＋?y－0?2，
即(x－2)2＋y2＝2.∴存在無(wú)數(shù)多個(gè)C點(diǎn)．
7．點(diǎn)A(－1,2)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)到點(diǎn)(3，m)的距離是25，則m的值是________．
解析：點(diǎn)(－1,2)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(1，－2)，
∴?1－3?2＋?－2－m?2＝25，解得m＝2或－6.
答案：2或－6
8．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(3，2)、B(0,1)、C(0,3)，則此三角形的形狀是________．
解析：∵AB＝?3－0?2＋?2－1?2＝2，
AC＝?3－0?2＋?2－3?2＝2，
BC＝?0－0?2＋?1－3?2＝2，
∴AB＝AC＝BC.
∴△ABC為等邊三角形．
答案：等邊三角形
9．已知點(diǎn)A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，當(dāng)AB取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)a的值是________．
解析：AB2＝(5－a－1)2＋(2a－1－a＋4)2
＝2a2－2a＋25
＝2(a－12)2＋492
∴a＝12時(shí)，AB最�。�
答案：12
10．求函數(shù)f(x)＝x2－12x＋37＋x2－4x＋13的最小值．
解：∵x2－12x＋37＝?x－6?2＋1，
x2－4x＋13＝?x－2?2＋9，
∴可設(shè)A(6,1)、B(2,3)、P(x,0)，則
f(x)＝PA＋PB.
要求f(x)的最小值，只需在x軸上找一點(diǎn)P，使PA＋PB最小．
設(shè)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′，
B′(2，－3)(如圖所示)．
PA＋PB＝PA＋PB′≥AB′，
AB′＝?2－6?2＋?－3－1?2＝42，
∴當(dāng)B′、P、A三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
即PA＋PB最小值為42，
也就是f(x)的最小值為42.
11．已知兩點(diǎn)A(2,2)和B(5，－2)，試問(wèn)在坐標(biāo)軸上能否找到一點(diǎn)P，使∠APB為直角？
解：假設(shè)在x軸上能找到一點(diǎn)P(x,0)，使∠APB＝90°.
由勾股定理，知PA2＋PB2＝AB2，所以(x－2)2＋22＋(x－5)2＋(－2)2＝(5－2)2＋(－2－2)2.
化簡(jiǎn)，得x2－7x＋6＝0.解得x＝1或x＝6.
所以在x軸上存在點(diǎn)P(1,0)或P(6,0)，使得∠APB為直角．
假設(shè)在y軸上能找到一點(diǎn)P(0，y)，使∠APB＝90°.
同理，由勾股定理得：(0－2)2＋(y－2)2＋(0－5)2＋(y＋2)2＝(5－2)2＋(－2－2)2，
化簡(jiǎn)，得y2＋6＝0，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．
所以在y軸上不存在點(diǎn)P，使∠APB是直角．
綜上所述，存在兩點(diǎn)，P的坐標(biāo)為(1,0)或(6,0)，使得∠APB為直角．
12．證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對(duì)角線的平方和．
證明：如圖，以頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB邊所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)A且垂直于AB的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則有A(0,0)．設(shè)B(a,0)，D(b，c)，由平行四邊形的性質(zhì)，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(a＋b，c)．
因?yàn)锳B2＝a2，CD2＝a2，
AD2＝b2＋c2，BC2＝b2＋c2，
AC2＝(a＋b)2＋c2，BD2＝(a－b)2＋c2，
所以AB2＋CD2＋AD2＋BC2＝2(a2＋b2＋c2)，
而AC2＋BD2＝2(a2＋b2＋c2)，
所以AB2＋CD2＋AD2＋BC2＝AC2＋BD2.


本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/gaoyi/75481.html

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