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第十七章　坐標系與參數(shù)方程

高考導航

考試要求重難點擊命題展望
一、坐標系
1.了解在平面直角坐標系中刻畫點的位置的方法，理解坐標系的作用.
2 .了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.
3.能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化.
4.能在極坐標系中給出簡單圖形( 如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓)的方程.通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程，體會在用方程刻畫平面圖形時選擇適當坐標系的意義.
5.了解在柱坐標系、球坐標系中刻畫空間點的位置的方法，并與空間直角坐標系中刻畫點的位置的方法相比較，體會它們的區(qū)別.
二、參數(shù)方程
1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.
2.分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，選擇適當?shù)膮��?shù)寫出它們的參數(shù)方程.
3.了解平擺線和漸開線的生成過程，并能寫出它們的參數(shù)方程.
4.了解其他擺線的生成過程；了解擺線在實際中應用的實例；了解擺線在刻畫行星運動軌道中的作用.　　本章重點：
1.根據(jù)問題的幾何特征選擇坐標系；坐標法思想；平面直角坐標系中的伸縮變換；極坐標系；直線和圓的極坐標方程.
2.根據(jù)問題的條件引進適當?shù)膮��?shù)，寫出參數(shù)方程，體會參數(shù)的意義；分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，選擇適當?shù)膮��?shù)寫出它們的參數(shù)方程.
本章難點：
1.對伸縮變換中點的對應關(guān)系的理解；極坐標的不唯一性；曲線的極坐標方程.
2.根據(jù)幾何性質(zhì)選取恰當?shù)膮��?shù)，建立曲線的參數(shù)方程.　　坐標系是解析幾何的基礎(chǔ)，為便于用代數(shù)的方法研究幾何圖形，常需建立不同的坐標系，以便使建立的方程更加簡單，參數(shù)方程是曲線在同一坐標系下不同于普通方程的又一種表現(xiàn)形式.某些曲線用參數(shù)方程表示比用普通方程表示更加方便.
本專題要求通過坐標系與參數(shù)方程知識的學習，使學生更全面地理解坐標法思想；能根據(jù)曲線的特點，選取適當?shù)那�線方程表示形式，體會解決問題中數(shù)學方法的靈活性.
高考中，參數(shù) 方程和極坐標是本專題的重點考查內(nèi)容.對于柱坐標系、球坐標系，只要求了解即可.



知識網(wǎng)絡


17.1　坐標系


典例精析
題型一　極坐標的有關(guān)概念
【例1】已知△ABC的三個頂點的極坐標分別為A(5，π6)，B(5，π2)，C(－43，π3)，試判斷△ABC的形狀，并求出它的面積.
【解析】在極坐標系中，設極點為O，由已知得∠AOB＝π3，∠BOC＝5π6，∠AOC＝5π6.
又OA＝OB＝5，OC＝43，由余弦定理得
AC2＝OA2＋OC2－2OA?OC?cos∠AOC＝52＋(43)2－2×5×43?cos5π6＝133，
所以AC＝133.同理，BC＝133.
所以AC＝BC，所以△ABC為等腰三角形.
又AB＝OA＝OB＝5，
所以AB邊上的高h＝AC2－(12AB)2＝1332，
所以S△ABC＝12×1332×5＝6534.
【點撥】判斷△ABC的形狀，就 需要計算三角形的邊長或角，在本題中計算邊長較為容易，所以先計算邊長.
【變式訓練1】(1)點A(5，π3)在條件：①ρ＞0，θ∈(－2π，0)下極坐標為　　　 ，②ρ＜0，θ∈(2π，4π)下極坐標為　　　　��；
(2)點P(－12，4π3)與曲線C：ρ＝cos θ2的位置關(guān)系是 .
【解析】(1)(5，－5π3)；(－5，10π3).(2)點P在曲線C上.
題型二　直角坐標與極坐標的互化
【例2】⊙O1和⊙O2的極坐標方程分別為ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的極坐標方程化為直角坐標方程；
(2)求經(jīng)過⊙O1和⊙O2交點的直線的直角坐標方程.
【解析】(1)以極點為原點，極軸為x軸正半軸，建立直角坐標系，且兩坐標系取相同單位長.
因為x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，
所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0為⊙O1的直角坐標方程.
同理，x2＋y2＋4y＝0為⊙O2的直角坐標方程.
(2) 由 解得 或
即⊙O1，⊙O2的交點為(0,0)和(2，－2)兩點，
故過交點的直線的直角坐標方程為x＋y＝0.
【點撥】 互化的前提條件：原點對應著極點，x軸正向?qū)�應著極軸.將互化公式代入，整理可以得到.
【變式訓練2】在極坐標系中，設圓ρ＝3上的點到直線ρ(cos θ＋3sin θ)＝2的距離為d，求d的最大值.
【解析】將極坐標方程ρ＝3化為普通方程x2＋y2＝9，
ρ(cos θ＋3sin θ)＝2可化為x＋3y＝2.
在x2＋y2＝9上任取一點A(3cos α，3sin α)，
則點A到直線的距離為d＝3cos α＋33sin α－22＝6sin(α＋30°)－22，它 的最大值為4.
題型三　極坐標的應用
【例3】過原點的一動直線交圓x2＋(y－1)2＝1于點Q，在直線OQ上取一點P，使P到直線y＝2的距離等于PQ，用極坐標法求動直線繞原點一周時點P的軌跡方程.
【解析】以O為極點，Ox為極軸，建立極坐標系，如右圖所示，過P作PR垂直于直線y＝2，則有PQ＝PR.設P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ)，則有ρ0＝2sin θ.因為PR＝PQ，所以2－ρsin θ＝ρ－2sin θ，所以
ρ＝±2或sin θ＝±1，即為點P的軌跡的極坐標方程，化為直角坐標方程為x2＋y2＝4或x＝0.
【點撥】用極坐標法可使幾何中的一些問題得到很直接、簡單的解法，但在解題時關(guān)鍵是極坐標要選取適當，這樣可以簡 化運算過程，轉(zhuǎn)化為直角坐標時也容易一些.
【變式訓練3】如圖，點A在直線x＝5上移動，等腰△OPA的頂角∠OPA為120°(O，P，A按順時針方向排列)，求點P的軌跡方程.
【解析】取O為極點，x正半軸為極軸，建立極坐標系，
則直線x＝5的極坐標方程為ρcos θ＝5.
設A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，
因為點A在直線ρcos θ＝5上，所以ρ0cos θ0＝5.①
因為△OPA為等腰三角形，且∠OPA＝120°，而OP＝ρ，OA＝ρ0以及∠POA＝30°，
所以ρ0＝3ρ，且θ0＝θ－30°.②
把②代入①，得點P的軌跡的極坐標方程為3ρcos(θ－30°)＝5.

題型四　平面直角坐標系中坐標的伸縮變換
【例4】定義變換T： 可把平面直角坐標系上的點P(x，y)變換成點P′(x′，y′).特別地，若曲線M上一點P經(jīng)變換公式T變換后得到的點P′與點P重合，則稱點P是曲線M在變換T下的不動點.
(1)若橢圓C的中心為坐標原點，焦點在x軸上，且焦距為22，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2.求橢圓C的標準方程，并求出當tan θ＝34時，其兩個焦點F1、F2經(jīng)變換公式T變換后得到的點F1′和F2′的坐標；
(2)當tan θ＝34時，求(1)中的橢圓C 在變換T下的所有不動點的坐標.
【解析】(1)設橢圓C的標準方程為x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，
由橢圓定義知焦距2c＝22?c＝2，即a2－b2＝2.①
又由已知得a2＋b2＝4，②
故由①、②可解得a2＝3，b2＝1.
即橢圓C的標準方程為x23＋y2＝1，
且橢圓C兩個焦點的坐標分別為F1(－2，0)和F2(2，0).
對于變換T： 當tanθ= 時，可得
設F1′(x1，y1) 和F2′(x2，y2)分別是由F1(－2，0)和F2(2，0)的坐標經(jīng)變換公式T變換得到.
于是
即F1′的坐標為(－425，－325)；
又
即F2′的坐標為(425，325).
(2)設P(x，y)是橢圓C在變換T下的不動點，則當tan θ＝34時，
有 ?x＝3y，由點P(x，y)∈C，即P(3y，y)∈C，得(3y)23＋y2＝1
? 因而橢圓C的不動點共有兩個，分別為(32，12)和(－32 ，－12).
【變式訓練4】在直角坐標系中，直線x－2y＝2經(jīng)過伸縮變換　　　　　　　　　后變成直線2x′－y′＝4.
【解析】
總結(jié)提高
1.平面內(nèi)一個點的極坐標有無數(shù)種表示方法.
如果規(guī)定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(ρ，θ)表示；反之也成立.
2.熟練掌握幾種常用的極坐標方程，特別是直線和圓的極坐標方程.

17.2　參數(shù)方程

典例精析
題型一　參數(shù)方程與普通方程互化
【例1】 把下列參數(shù)方程化成普通方程：
(1) (θ為參數(shù))；
(2) (t為參數(shù)，a，b＞0).
【解析】(1)
所以5x2＋4x y＋17y2－81＝0.
(2)由題意可得
所以①2－②2得4x2a2－4y2b2＝4，所以x2a2－y2b2＝1，其中x＞0.
【變式訓練1】把下列參數(shù)方程化為普 通方程，并指出曲線所表示的圖形.
(1) (2) (3) (4)
【解析】(1)x2＝2(y＋12)，－2≤x≤2，圖形為一段拋物線弧.
(2)x＝1，y≤－2或y≥2，圖形為兩條射線.
(3)x2＋y2－3y＝0(y≠3)，圖形是一個圓，但是除去點(0,3).
(4)(x－6)216－(y＋3)225＝1，圖形是雙曲線.
題型二　根據(jù)直線的參數(shù)方程求弦長
【例2】已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，曲線C的極坐標方程為ρ2cos 2θ＝1.
(1)求曲線C的普通方程；
(2)求直線l被曲線C截得的弦長.
【解析】(1)由曲線C：ρ2cos 2θ＝ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，
化成普通方程為x2－y2＝1.①
(2)方法一：把直線參數(shù)方程化為標準參數(shù)方程 (t為參數(shù)).②
把②代入①得(2＋t2)2－(32t)2＝1，整理得t2－4t－6＝0.
設其兩根為t1，t2，則t1＋t2＝4，t1t2＝－6.
從而弦長為t1－t2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝42－4(－6)＝40＝210.
方法二：把直線的參數(shù)方程化為普通方程為y＝3(x－2)，
代入x2－y2＝1，得2x2－12x＋13＝0.
設l與C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝6，x1x2＝132，
所以AB＝1＋3?(x1＋x2)2－4x1x2＝262－26＝210.
【變式訓練2】在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，若以O為極點 ，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為ρ＝2cos(θ＋π4)，求直線l被曲線C所截的弦長.
【解析】將方程 (t為參數(shù))化為普通方程為3x＋4y＋1＝0.
將方程ρ＝2cos(θ＋π4)化為普通方程為x2＋y2－x＋y＝0.
表示圓心為(12，－12)，半徑為r＝22的圓，
則圓心到直線的距離d＝110，弦長＝2r2－d2＝212－1100＝75.
題型三　參數(shù)方程綜合運用
【例3】(2009海南、寧夏)已知曲線C1： (t為參數(shù))，C2： (θ為參數(shù)).
(1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
(2)若C1上的點P對應的參數(shù)為t＝π2，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3： (t為參數(shù))距離的最小值.
【解析】(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：x264＋y29＝1.
C1是以(－4,3)為圓心，1為半徑的圓；
C2是以坐標原點為中心，焦點在x軸，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓.
(2)當t＝π2時，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，故M(－2＋4cos θ，2＋32sin θ).
C3為直線x－2y－7＝0，M到C3的距離d＝554cos θ－3sin θ－13，
從而cos θ＝45，sin θ＝－35時，d取最小值855.
【變式訓練3】在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，得曲線C2的極坐標方程為ρ＝
2cos θ－4sin θ(ρ＞0).
(1)化曲線C1 、C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
(2)設曲線C1與x軸的一個交點的坐標為P(m,0)(m＞0)，經(jīng)過點P作曲線C2的切線l，求切線l的方程.
【解析】(1)曲線C1：x216＋y24＝1；曲線C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝5.
曲線C1為中心是坐標原點，焦點在x軸上，長半軸長是4，短半軸長是2的橢圓；曲線C2為圓心為(1，－2)，半徑為5的圓.
(2)曲線C1：x216＋y24＝1與x軸的交點坐標為(－4,0)和(4,0)， 因為m＞0，所以點P的坐標為(4,0).顯然切線l的斜率存在，設為k，則切線l的方程為y＝k(x－4).
由曲線C2為圓心為(1，－2)，半徑為5的圓得k＋2－4kk2＋1＝5，
解得k＝3±102，所以切線l的方程為y＝3±102(x－4).
總結(jié)提高
1.在參數(shù)方程與普通方程互化的過程中，要保持化簡過程的同解變形，避免改變變量x，y的取值范圍而造成錯誤.
2.消除參數(shù)的常用方法有：①代入消參法；②三角消參法；③根據(jù)參數(shù)方程的特征，采用特殊的消參手段.
3.參數(shù)的方法在求曲線的方程等方面有著廣泛的應用，要注意合理選參、巧妙消參.


本文來自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/gaosan/81176.html

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