新標——回歸教材
不等式
1、不等式的性質:
名稱不等式名稱不等式
對稱性 (充要條)
傳遞性
可加性 (充要條)
同向不等式可加性:
異向不等式可減性:
可乘性
同向正數不等式可乘性:
異向正數不等式可除性:
乘方法則
開方法則
倒數法則
常用結論 (充要條)
注:表中是等價關系的是解、證明不等式的依據,其它的僅僅是證明不等式的依據.
典例:1)對于實數 中,給出下列命題:① ;② ;
③ ;④ ;⑤ ;
⑥ ;⑦ ;⑧ .
其中正確的命題是 ②③⑥⑦⑧ .
2)已知 , ,則 的取值范圍是 ;
3)已知 ,且 則 的取值范圍是 .
2、不等式大小比較的常用方法:
(1)作差:作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果;
(2)作商(常用于分數指數冪的代數式);
(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函數的單調性;
(7)尋找中間量或放縮法;(8)圖象法.其中比較法(作差、作商)是最基本的方法.
典例:1)設 ,比較 的大小
答案:①當 時, (在 時取“=”);
②當 時, (在 時取“=”);
2)已知 ,試比較 的大小.( 答: )
3)設 , , ,試比較 的大小(答: );
4)比較1+ 與 的大小.
答:當 或 時,1+ ＞ ;
當 時,1+ ＜ ;當 時,1+ ＝
5)若 ,且 ,比較 的大小.(答: )
3.利用重要不等式求函數最值:“一正二定三相等,和定積最大,積定和最小”.
典例:1)下列命題中正確的是( B )
A. 的最小值是2 B. 的最大值是
C. 的最小值是2 D. 的最小值是 ;
2)若 ,則 的最小值是 ;
3)已知 ,且 ,則 的最小值為18;
變式①:已知 ,則 的最小值為 18 ;
②:已知 ,且 ,則 的最大值為 1 ;
③:已知 ,且 ,則 的最小值為 9 ;
4.常用不等式有:(1) 當 時取=號)
(2) 當 時取=號)
上式從左至右的結構特征為:“平方和”不小于“和平方之半”不小于“積兩倍”.
(3)真分數性質定理:若 ,則 (糖水的濃度問題).
典例:若 ,滿足 ,則 的取值范圍是¬ .
5、證明不等式的方法:比較法、分析法、綜合法和放縮法.
比較法的步驟是:作差(商)后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小,然后作出結論.)
常用的放縮技巧有: (右邊當 時成立)
典例:1)已知 ,求證: ;
2)已知 ,求證: ;
3)已知 ,且 ,求證: ;
4)若 是不全相等的正數,求證: ;
5)若 ,求證: ;
6)求證: .
6.常系數一元二次不等式的解法:判別式－圖象法
步驟:(1)化一般形式: ,其中 ;
(2)求根的情況: ;
(3)由圖寫解集:考慮 圖象得解.
典例:解不等式 .(答: )
注:解一元二次不等式的過程實際上是一種函數、方程與不等式思維的轉換過程,從中我們不難看出“三個二次”關系是核心,即一元二次不等式解集定值端點(非正負無窮大)是對應一元二次方程(函數)的根(零點).
典例:若關于 的不等式 的解集為 ,解關于 的不等式 .(答: )
7.簡單的一元高次不等式的解法:標根法:
其步驟是:(1)分解成若干個一次因式的積,并使每一個因式中最高次項的系數為正;
(2)將每一個一次因式的根標在數軸上,從最大根右上方依次通過每一點畫曲線(奇穿偶回);
(3)根據曲線顯現 的符號變化規(guī)律,寫出不等式的解集.
典例:1)解不等式 .(答: 或 );
2)不等式 的解集是 ;
3)設函數 、 的定義域都是 ,且 的解集為 , 的解集為 ,則不等式 的解集為 ;
4)要使?jié)M足關于 的不等式 (解集非空)的每一個 的值至少滿足不等式 和 中的一個,則實數 的取值范圍是 .
8.分式不等式的解法:
分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式,并使每一個因式中最高次項的系數為正,最后用標根法求解.解分式不等式時,一般不能去分母,但分母恒為正或恒為負時可去分母.
典例:1)解不等式 (答: );
2)關于 的不等式 的解集為 ,則關于 的不等式 的解集為 .
注:和一元二次不等式一樣,不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值.
9.絕對值不等式的解法:(了解)
(1)分域討論法(最后結果應取各段的并集)
典例:解不等式 ;(答: );
(3)利用絕對值的定義;(3)數形結合;
典例:解不等式 ;(答: )
(4)兩邊平方
典例:若不等式 對 恒成立,則實數 的取值范圍為
10、含參不等式的解法:通法是“定義域為前提,函數增減性為基礎,分類討論是關鍵．”
注意:①解完之后要寫上:“綜上,原不等式的解集是…”.
②按參數討論,最后應按參數取值分別說明其解集;但若按未知數討論,最后應求并集.
典例:1)若 ,則 的取值范圍是 ;
2)解不等式 .
(答: 時, ; 時, 或 ; 時, 或 )
含參數的一元二次不等式的解法:三級討論法.
一般地,設關于 的含參數 的一元二次形式的不等式為: .
(1)第一級討論:討論二次項系數 是否為零;
(2)第二級討論:若 時,先觀察其左邊能否因式分解,否則討論 的符號;
(3)第三級討論:若 時,先觀察兩根 大小是否確定,否則討論兩根的大小.
注意:每一級的討論中,都有三種情況可能出現,即“>”,“=”,“<”,應做到不重不漏.
典例:1)解關于 的不等式 .
答:①當 時, ;②當 時, ;
③當 時, ;④當 時,
⑤當 時,
2)解關于 的不等式 .
答:①當 時, ;②當 時,
③當 時, ;④當 時, ;⑤當 時,
提醒:解不等式是求不等式的解集,最后務必有集合的形式表示.
11.不等式的恒成立、能成立、恰成立等問題:不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？
常應用函數方程思想和“分離變量法”轉化為最值問題,也可抓住所給不等式的結構特征,利用數形結合法.
1).恒成立問題★★★
若不等式 在區(qū)間 上恒成立,則等價于在區(qū)間 上
若不等式 在區(qū)間 上恒成立,則等價于在區(qū)間 上
典例:1)設實數 滿足 ,當 時, 的取值范圍是 ;
2)不等式 對一切實數 恒成立,求實數 的取值范圍 ;
3)若 對滿足 的所有 都成立,則 的取值范圍 ;
4)若不等式 對于任意正整數 恒成立,則實數 的取值范圍是
5)若不等式 對 恒成立,則 的取值范圍
2).能成立問題
若在區(qū)間 上存在實數 使不等式 成立,則等價于在區(qū)間 上 ;
若在區(qū)間 上存在實數 使不等式 成立,則等價于在區(qū)間 上的 .
注意:若方程 有解,則等價于
典例:1)已知 在實數集 上的解集不是空集,求實數 的取值范圍
2)已知 函數 的定義域為 .
①若 ,求實數 的取值范圍.(答: )
②若方程 在 內有解,求實數的取值范圍.(答: )
3). 恰成立問題
若不等式 在區(qū)間 上恰成立,則等價于不等式 的解集為 ;
若不等式 在區(qū)間 上恰成立,則等價于不等式 的解集為 .
12..簡單的線性規(guī)劃問題:
(1)二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域
①一般地,二元一次不等式 在平面直角坐標系中表示直線 某一側的所有點組成的平面區(qū)域(半平面)不含邊界線;
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