第5時(shí) 萬(wàn)有引力定律與天體運(yùn)動(dòng)
導(dǎo)學(xué)目標(biāo) 1.掌握萬(wàn)有引力定律的內(nèi)容、公式及適用條.2.學(xué)會(huì)用萬(wàn)有引力定律解決天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題．
一、開(kāi)普勒三定律
[基礎(chǔ)導(dǎo)引]
開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律不僅適用于行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)，也適用于衛(wèi)星繞行星的運(yùn)動(dòng)．如果一顆人造地球衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，它在離地球最近的位置(近地點(diǎn))和最遠(yuǎn)的位置(遠(yuǎn)地點(diǎn))，哪點(diǎn)的速度比較大？
[知識(shí)梳理]
1．開(kāi)普勒第一定律：所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是________，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)________上．
2．開(kāi)普勒第二定律：對(duì)任意一個(gè)行星說(shuō)，它與太陽(yáng)的連線在相同的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的________．
3．開(kāi)普勒第三定律：所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的________________的比值都相等，即a3T2＝k.
思考：開(kāi)普勒第三定律中的k值有什么特點(diǎn)？
二、萬(wàn)有引力定律
[基礎(chǔ)導(dǎo)引]
根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律說(shuō)明：為什么不同物體在
地球表面的重力加速度都是相等的？為什么高上的重力加速度比地面的��？
[知識(shí)梳理]
1．內(nèi)容
自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與________________________________成正比，與它們之間____________________成反比．
2．公式
____________，通常取G＝____________ N•m2/kg2，G是比例系數(shù)，叫引力常量．
3．適用條
公式適用于________間的相互作用．當(dāng)兩物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，物體可視為質(zhì)點(diǎn)；均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r是__________間的距離；對(duì)一個(gè)均勻球體與球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力的求解也適用，其中r為球心到________間的距離．
考點(diǎn)一 天體產(chǎn)生的重力加速度問(wèn)題
考點(diǎn)解讀
星體表面及其某一高度處的重力加速度的求法：
設(shè)天體表面的重力加速度為g，天體半徑為R，則mg＝GmR2，即g＝GR2(或G＝gR2)
若物體距星體表面高度為h，則重力mg′＝Gm(R＋h)2，即g′＝G(R＋h)2＝R2(R＋h)2g.
典例剖析
例1 某星球可視為球體，其自轉(zhuǎn)周期為T，在它的兩極處，用彈簧秤測(cè)得某物體重為P，在它的赤道上，用彈簧秤測(cè)得同一物體重為0.9P，則星球的平均密度是多少？
跟蹤訓(xùn)練1 1990年5月，紫金天臺(tái)將他們發(fā)現(xiàn)的第2 752號(hào)小行星命名為吳健雄星，該小行星的半徑為16 km.若將此小行星和地球均看成質(zhì)量分布均勻的球體，小行星密度與地球相同．已知地球半徑R＝6 400 km，地球表面重力加速度為g.這個(gè)小行星表面的重力加速度為 ( )
A．400g B.1400g C．20g D.120g
考點(diǎn)二 天體質(zhì)量和密度的計(jì)算
考點(diǎn)解讀
1．利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.
由于GmR2＝mg，故天體質(zhì)量＝gR2G，天體密度ρ＝V＝43πR3＝3g4πGR.
2．通過(guò)觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T，軌道半徑r.
(1)由萬(wàn)有引力等于向心力，即Gmr2＝m4π2T2r，得出中心天體質(zhì)量＝4π2r3GT2；
(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝V＝43πR3＝3πr3GT2R3；
(3)若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運(yùn)動(dòng)，可認(rèn)為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝3πGT2.可見(jiàn)，只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估測(cè)出中心天體的密度．
特別提醒 不考慮天體自轉(zhuǎn)，對(duì)任何天體表面都可以認(rèn)為mg＝GmR2.從而得出G＝gR2(通常稱為黃金代換)，其中為該天體的質(zhì)量，R為該天體的半徑，g為相應(yīng)天體表面的重力加速度．
典例剖析
例2 天學(xué)家新發(fā)現(xiàn)了太陽(yáng)系外的一顆行星，這顆行星的體積是地球的4.7倍，質(zhì)量是地球的25倍．已知某一近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期約為1.4小時(shí)，引力常量G＝6.67×10－11 N•m2/kg2，由此估算該行星的平均密度約為 ( )
A．1.8×103 kg/m3 B．5.6×103 kg/m3
C．1.1×104 kg/m3 D．2.9×104 kg/m3
跟蹤訓(xùn)練2 為了對(duì)火星及其周圍的空間環(huán)境進(jìn)行探測(cè)，我國(guó)于2011年10月發(fā)射了第一顆火星探測(cè)器“螢火一號(hào)”．假設(shè)探測(cè)器在離火星表面高度分別為h1和h2的圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，周期分別為T1和T2.火星可視為質(zhì)量分布均勻的球體，且忽略火星的自轉(zhuǎn)影響，萬(wàn)有引力常量為G.僅利用以上數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出 ( )
A．火星的密度和火星表面的重力加速度
B．火星的質(zhì)量和火星對(duì)“螢火一號(hào)”的引力
C．火星的半徑和“螢火一號(hào)”的質(zhì)量
D．火星表面的重力加速度和火星對(duì)“螢火一號(hào)”的引力
3.雙星模型
例3 宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以二者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)而不至因萬(wàn)有引力的作用吸引到一起．
(1)試證明它們的軌道半徑之比、線速度之比都等于質(zhì)量的反比．
(2)設(shè)兩者的質(zhì)量分別為m1和m2，兩者相距L，試寫(xiě)出它們角速度的表達(dá)式．
建模感悟
1．要明確雙星中兩顆子星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力
雙星中兩顆子星相互繞著旋轉(zhuǎn)可看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力由兩恒星間的萬(wàn)有引力提供．由于力的作用是相互的，所以兩子星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小是相等的，利用萬(wàn)有引力定律可以求得其大�。�
2．要明確雙星中兩顆子星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)參量的關(guān)系
兩子星繞著連線上的一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以它們的運(yùn)動(dòng)周期是相等的，角速度也是相等的，所以線速度與兩子星的軌道半徑成正比．
3．要明確兩子星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)關(guān)系
設(shè)兩子星的質(zhì)量分別為1和2，相距L，1和2的線速度分別為v1和v2，角速度分別為ω1和ω2，由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律得：
1：G12L2＝1v21r1＝1r1ω21
2：G12L2＝2v22r2＝2r2ω22
在這里要特別注意的是在求兩子星間的萬(wàn)有引力時(shí)兩子星間的距離不能代成了兩子星做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．
跟蹤訓(xùn)練3 宇宙中存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通�？珊雎云渌求w對(duì)它們的引力作用．已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行．設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為m.
(1)試求第一種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的線速度和周期．
(2)假設(shè)兩種形式星體的運(yùn)動(dòng)周期相同，第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少？
A組 開(kāi)普勒定律的應(yīng)用
1．(2010•新標(biāo)全國(guó)•20)太陽(yáng)系中的8大行星的軌道均可以近似看成圓軌道．下列4幅圖是用描述這些行星運(yùn)動(dòng)所遵從的某一規(guī)律的圖象．圖中坐標(biāo)系的橫軸是lg(T/T0)，縱軸是lg(R/R0)；這里T和R分別是行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的周期和相應(yīng)的圓軌道半徑，T0和R0分別是水星繞太陽(yáng)運(yùn)行的周期和相應(yīng)的圓軌道半徑．下列4幅圖中正確的是 ( )
2．(2011•安徽•22)(1)開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律指出：行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道的半長(zhǎng)軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即a3T2＝k，k是一個(gè)對(duì)所有行星都相同的常量．將行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)按圓周運(yùn)動(dòng)處理，請(qǐng)你推導(dǎo)出太陽(yáng)系中該常量k的表達(dá)式．已知引力常量為G，太陽(yáng)的質(zhì)量為太．
(2)開(kāi)普勒定律不僅適用于太陽(yáng)系，它對(duì)一切具有中心天體的引力系統(tǒng)(如地月系統(tǒng))都成立．經(jīng)測(cè)定月地距離為3.84×108 m，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為2.36×106 s，試計(jì)算地球的質(zhì)量地．(G＝6.67×10－11 N•m2/kg2，結(jié)果保留一位有效數(shù)字)
B組 萬(wàn)有引力定律在天體運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用
3．一物體靜置在平均密度為ρ的球形天體表面的赤道上，已知萬(wàn)有引力常量為G，若由于天體自轉(zhuǎn)使物體對(duì)天體表面壓力恰好為零，則天體自轉(zhuǎn)周期為 ( )
A. 4π3Gρ B. 34πGρ
C. 3πGρ D. πGρ
4．據(jù)報(bào)道，最近在太陽(yáng)系外發(fā)現(xiàn)了首顆“宜居”行星，其質(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍．一個(gè)在地球表面重量為600 N的人在這個(gè)行星表面的重量將變?yōu)?60 N，由此可推知，該行星的半徑與地球半徑之比約為 ( )
A．0.5 B．2 C．3.2 D．4
5．宇航員在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一小球．經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落到星球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng).若拋出時(shí)初速度增大到2倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為3L.已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G.求該星球的質(zhì)量.
時(shí)規(guī)范訓(xùn)練
(限時(shí)：30分鐘)
1．對(duì)萬(wàn)有引力定律的表達(dá)式F＝Gm1m2r2，下列說(shuō)法正確的是 ( )
A．公式中G為常量，沒(méi)有單位，是人為規(guī)定的
B．r趨向于零時(shí)，萬(wàn)有引力趨近于無(wú)窮大
C．兩物體之間的萬(wàn)有引力總是大小相等，與m1、m2是否相等無(wú)關(guān)
D．兩個(gè)物體間的萬(wàn)有引力總是大小相等，方向相反的，是一對(duì)平衡力
2．最近，科學(xué)家通過(guò)望遠(yuǎn)鏡看到太陽(yáng)系外某一恒星有一行星，并測(cè)得它圍繞該恒星運(yùn)行一周所用的時(shí)間為1 200年，它與該恒星的距離為地球到太陽(yáng)距離的100倍．假定該行星繞恒星運(yùn)行的軌道和地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道都是圓周，僅利用以上兩個(gè)數(shù)據(jù)可以求出的量有 ( )
A．恒星質(zhì)量與太陽(yáng)質(zhì)量之比
B．恒星密度與太陽(yáng)密度之比
C．行星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比
D．行星運(yùn)行速度與地球公轉(zhuǎn)速度之比
3．兩個(gè)大小相同的實(shí)心小鐵球緊靠在一起時(shí)，它們之間的萬(wàn)有引力為F.若兩個(gè)半徑為實(shí)心小鐵球半徑2倍的實(shí)心大鐵球緊靠在一起，則它們之間的萬(wàn)有引力為 ( )
A．2F B．4F C．8F D．16F
4．如圖1所示，A和B兩行星繞同一恒星C做圓周運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)方向相
同，A行星的周期為T1，B行星的周期為T2，某一時(shí)刻兩行星相距最
近，則 ( )
A．經(jīng)過(guò)T1＋T2兩行星再次相距最近
B．經(jīng)過(guò)T1T2T2－T1兩行星再次相距最近
C．經(jīng)過(guò)T1＋T22兩行星相距最遠(yuǎn)
D．經(jīng)過(guò)T1T2T2－T1兩行星相距最遠(yuǎn)
5．原香港中大學(xué)校長(zhǎng)、被譽(yù)為“光纖之父”的華裔科學(xué)家高錕和另外兩名美國(guó)科學(xué)家共同分享了2009年度的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)．早在1996年中國(guó)科學(xué)院紫金天臺(tái)就將一顆于1981年12月3日發(fā)現(xiàn)的國(guó)際編號(hào)為“3463”的小行星命名為“高錕星”．假設(shè)“高錕星”為均勻的球體，其質(zhì)量為地球質(zhì)量的1k，半徑為地球半徑的1q，則“高錕星”表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的 ( )
A.qk B.kq C.q2k D.k2q
6．火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的110和12，地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力加速度約為 ( )
A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g
圖2
7．一物體從一行星表面某高度處自由下落(不計(jì)阻力)．自開(kāi)始下落計(jì)時(shí)，得到物體離行星表面高度h隨時(shí)間t變化的圖象如圖2所示，則根據(jù)題設(shè)條可以計(jì)算出 ( )
A．行星表面重力加速度的大小
B．行星的質(zhì)量
C．物體落到行星表面時(shí)速度的大小
D．物體受到行星引力的大小
8．(2009•浙江•19)在討論地球潮汐成因時(shí)，地球繞太陽(yáng)運(yùn)行軌道與月球繞地球運(yùn)行軌道可視為圓軌道．已知太陽(yáng)質(zhì)量約為月球質(zhì)量的2.7×107倍，地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道半徑約為月球繞地球運(yùn)行的軌道半徑的400倍．關(guān)于太陽(yáng)和月球?qū)Φ厍蛏舷嗤|(zhì)量海水的引力，以下說(shuō)法正確的是 ( )
A．太陽(yáng)引力遠(yuǎn)大于月球引力
B．太陽(yáng)引力與月球引力相差不大
C．月球?qū)Σ煌瑓^(qū)域海水的吸引力大小相等
D．月球?qū)Σ煌瑓^(qū)域海水的吸引力大小有差異
9．如圖3所示，P、Q為質(zhì)量均為m的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，分別置于地球表面不
同緯度上，如果把地球看成是一個(gè)均勻球體，P、Q兩質(zhì)點(diǎn)隨地球自
轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則以下說(shuō)法中正確的是 ( )
A．P、Q做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小相等
B．P、Q受地球重力相等
C．P、Q做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度大小相等
D．P、Q做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相等
10．根據(jù)觀察，在土星外層有一個(gè)環(huán)，為了判斷環(huán)是土星的連續(xù)物還是小衛(wèi)星群．可測(cè)出環(huán)中各層的線速度v與該層到土星中心的距離R之間的關(guān)系．下列判斷正確的是( )
A．若v與R成正比，則環(huán)為連續(xù)物
B．若v2與R成正比，則環(huán)為小衛(wèi)星群
C．若v與R成反比，則環(huán)為連續(xù)物
D．若v2與R成反比，則環(huán)為小衛(wèi)星群
復(fù)習(xí)講義
基礎(chǔ)再現(xiàn)
一、
基礎(chǔ)導(dǎo)引 根據(jù)開(kāi)普勒第二定律，衛(wèi)星在近地點(diǎn)速度較大、在遠(yuǎn)地點(diǎn)速度較�。�
知識(shí)梳理 1.橢圓 焦點(diǎn) 2.面積 3.公轉(zhuǎn)周期的二次方
思考：在太陽(yáng)系中，比例系數(shù)k是一個(gè)與行星無(wú)關(guān)的常量，但不是恒量，在不同的星系中，k值不相同，k值與中心天體有關(guān)．
該定律不僅適用于行星，也適用于其他天體．如對(duì)繞地球飛行的衛(wèi)星說(shuō)，它們的k值相同且與衛(wèi)星無(wú)關(guān)．
二、
基礎(chǔ)導(dǎo)引 根據(jù)萬(wàn)有引力定律，在地球表面，對(duì)于質(zhì)量為m的物體有：G地mR2地＝mg，得g＝G地R2地
對(duì)于質(zhì)量不同的物體，得到結(jié)果是相同的．
在高上，G地mr2＝mg，高的r較大，所以在高上的自由落體加速度g值就較�。�
知識(shí)梳理 1.物體的質(zhì)量m1和m2的乘積 距離r的二次方 2.F＝Gm1m2r2 6.67×10－11 3.質(zhì)點(diǎn) 兩球心 質(zhì)點(diǎn)
堂探究
例1 30πGT2
跟蹤訓(xùn)練1 B
例2 D
跟蹤訓(xùn)練2 A
例3 (1)見(jiàn)解析 (2)G(m1＋m2)/L3
解析 (1)證明：兩天體繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω一定要
相同，它們做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由它們之間的萬(wàn)有引力提
供，所以兩天體與它們的圓心總是在一條直線上．
設(shè)兩者的圓心為O點(diǎn)，軌道半徑分別為R1和R2，如圖所示．對(duì)兩天體，由萬(wàn)有引力定律可分別列出
Gm1m2L2＝m1ω2R1①
Gm1m2L2＝m2ω2R2②
所以R1R2＝m2m1，所以v1v2＝R1ωR2ω＝R1R2＝m2m1，
即它們的軌道半徑、線速度之比都等于質(zhì)量的反比．
(2)由①②兩式相加得Gm1＋m2L2＝ω2(R1＋R2)，因?yàn)镽1＋R2＝L，所以ω＝ G(m1＋m2)L3.
跟蹤訓(xùn)練3 (1) 5Gm4R 4π R35Gm (2) 3125R
分組訓(xùn)練
1．B
2．(1)k＝G4π2太 (2)6×1024 kg
3．C
4．B
5.23LR23Gt2
時(shí)規(guī)范訓(xùn)練
1．C
2．AD
3．D
4．B
5．C
6．B
7．AC
8．AD
9．CD
10．AD
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