2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 12-2 坐標(biāo)系與參數(shù)方程但因?yàn)闇y(cè)試 新人教B版
1.(2011•北京海淀期中)在極坐標(biāo)系下，已知圓C的方程為ρ＝2cosθ，則下列各點(diǎn)中，在圓C上的是( )
A．(1，－π3) B．(1，π6)
C．(2，3π4) D．(2，5π4)
[答案] A
[解析] 將備選答案代入圓C的方程，因?yàn)?cos(－π3)＝2×12＝1，所以A成立．
2．(2010•湖南，4)極坐標(biāo)方程ρ＝cosθ和參數(shù)方程x＝－1－ty＝2＋t(t為參數(shù))所表示的圖形分別是( )
A．直線、直線 B．直線、圓
C．圓、圓 D．圓、直線
[答案] D
[解析] 由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2－x＝0.此方程所表示的圖形是圓．
消去方程x＝－1－ty＝2＋t中的參數(shù)t可得，x＋y－1＝0，此方程所表示的圖形是直線．
3．()(2011•湖南十二校聯(lián)考)若直線的參數(shù)方程為x＝1＋3ty＝2－3t(t為參數(shù))，則直線的傾斜角為( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
[答案] D
[解析] 由直線的參數(shù)方程知，斜率k＝y(tǒng)－2x－1＝－3t3t＝－33＝tanθ，θ為直線的傾斜角，所以該直線的傾斜角為150°.
(理)直線的參數(shù)方程為x＝tsin50°－1y＝－tcos50°(t為參數(shù))，則直線的傾斜角為( )
A．40° B．50°
C．140° D．130°
[答案] C
[解析] 將直線的參數(shù)方程變形得，x＝－1－tcos140°y＝－tsin140°，∴傾斜角為140°.
4．()(2011•皖中地區(qū)示范高中聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為x＝ty＝t＋1(t∈R)，圓的參數(shù)方程為x＝cosθ＋1y＝sinθ(θ∈[0,2π))，則圓心C到直線l的距離為( )
A．0 B．2
C.2 D.22
[答案] C
[解析] 化直線l的參數(shù)方程x＝ty＝t＋1(t∈R)為普通方程為x－y＋1＝0，化圓的參數(shù)方程x＝cosθ＋1y＝sinθ(θ∈[0,2π))為普通方程為(x－1)2＋y2＝1，則圓心C(1,0)到直線l的距離為1－0＋112＋－12＝2.
(理)(2011•上海奉賢區(qū)摸底)已知點(diǎn)P(3，)在以點(diǎn)F為焦點(diǎn)的拋物線x＝4t2y＝4t(t為參數(shù))上，則PF＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] 將拋物線的參數(shù)方程化為普通方程為y2＝4x，則焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，又P(3，)在拋物線上，由拋物線的定義知PF＝3－(－1)＝4.
5．()(2011•北京市西城區(qū)高三模擬)在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)(1,0)并且與極軸垂直的直線方程是( )
A．ρ＝cosθ B．ρ＝sinθ
C．ρcosθ＝1 D．ρsi nθ＝1
[答案] C
[解析] 過點(diǎn)(1,0)且與極軸垂直的直線，在直角坐標(biāo)系中的方程為x＝1，所以其極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝1，故選C.
(理)(2011•衡陽市聯(lián)考)在極坐標(biāo)系中，曲線ρcosθ＋ρsinθ＝2(0≤θ<2π)與θ＝π4的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為( )
A．(1,1) B．(1，π4)
C．(2，π4) D．(－2，π4)
[答案] C
[解析] 將θ＝π4代入到ρcosθ＋ρsinθ＝2中得交點(diǎn)(2，π4)．
[點(diǎn)評(píng)] 本題也可以先化為直角坐標(biāo)方程求解，但求出交點(diǎn)后還需要再化為極坐標(biāo)，不如直接求解簡便．
6．拋物線x2－2y－6x sinθ－9cos2θ＋8cosθ＋9＝0的頂點(diǎn)的軌跡是(其中θ∈R)( )
A．圓 B．橢圓
C．拋物線 D．雙曲線
[答案] B
[解析] 原方程變形為：y＝12(x－3sinθ)2＋4cosθ.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為(x，y)，則x＝3sinθy＝4cosθ，消去參數(shù)θ得軌跡方程為x29＋y216＝1.它是橢圓．
7．()極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線ρ＝2sinθ上，點(diǎn)B在曲線ρcosθ＝－2上，則AB的最小值為________．
[答案] 1
[解析] ρ＝2sinθ⇒ρ2＝2ρsinθ
∴x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1 )2＝1；
∵ρcosθ＝－2，∴x＝－2，
易知圓心(0,1)到直線x＝－2的距離為2，圓半徑為1，故ABin＝1.
(理)(2011•安徽“江南十�！甭�(lián)考)在極坐標(biāo)系中，直線ρsin(θ－π4)＝22與圓ρ＝2cosθ的位置關(guān)系是________．
[答案] 相離
[解析] 直線的直角坐標(biāo)方程為x－y＋1＝0，圓的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1，其圓心C(1,0)，半徑r＝1.因?yàn)閳A心到直線的距離d＝22＝2>1，故直線與圓相離．
8．()(2010•湖南師大附中)已知曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程分別為ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ(ρ≥0,0≤θ<π2)，則曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為________．
[答案] 23，π6
[解析] 化為直角坐標(biāo)方程為x＝3和x2＋y2＝4x(y≥0)，故交點(diǎn)為(3，3)，其極坐標(biāo)為23，π6.
[點(diǎn)評(píng)] 可直接解ρcosθ＝3ρ＝4cosθ，得ρ＝23θ＝π6.
(理)(2010•廣東)在極坐標(biāo)系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲線ρ(cosθ＋sinθ)＝1與ρ(sinθ－cosθ)＝1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為__________．
[答案] (1，π2)
[解析] 曲線ρ(cosθ＋sinθ)＝1化為直角坐標(biāo)方程為x＋y＝1，ρ(sinθ－cosθ)＝1化為直角坐標(biāo)方程為y－x＝1.聯(lián)立方程組x＋y＝1y－x＝1，得x＝0y＝1，則交點(diǎn)為(0,1)，對(duì) 應(yīng)的極坐標(biāo)為(1，π2)．
[點(diǎn)評(píng)] 可直接由兩方程聯(lián)立解出交點(diǎn)坐標(biāo)，
由ρcosθ＋ρsinθ＝1ρsinθ－ρcosθ＝1得，ρcosθ＝0ρsinθ＝1，
∵ρ≠0，∴cosθ＝0，∴θ＝π2＋kπ (k∈Z)，
∴sinθ＝±1，∵ρ>0，∴sinθ＝1，
∴θ＝π2＋2nπ(n∈Z)，ρ＝1，
令n＝0得，交點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為(1，π2)．
9．()直線x＝1＋4t，y＝－1－3t(t為參數(shù))被曲線ρ＝2cos(θ＋π4)所截的弦長為________．
[答案] 75
[解析] 由x＝1＋4ty＝－1－3t得直線方程為3x＋4y＋1＝0，
∵ρ＝2cos(θ＋π4)＝cosθ－sinθ，
∴ρ2＝ρcosθ－ρsinθ，∴x2＋y2＝x－y，
即(x－12)2＋(y＋12)2＝12.
圓心到直線的距離d＝110，
∴弦長＝2×12－1100＝75.
(理)(2011•安徽皖南八校聯(lián)考)已知直線l的參數(shù)方程是x＝1＋12ty＝32t(t為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓 C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ＋4sinθ，則直線l被圓C所截得的弦長等于________．
[答案] 4
[解析] 依 題意得，直線l的普通方程是y＝3(x－1)，即3x－y－3＝0；圓C的直角坐標(biāo)方程是x2＋y2＝2x＋4y，即(x－1)2＋(y－2)2＝5.圓心C(1,2)到直線l的距離d＝3×1－2－33＋1＝1，因此直線l被圓C所截得的弦長等于252－12＝4.
[點(diǎn)評(píng)] ∵(12)2＋(32)2＝1，∴可只將⊙C方程化為普通方程x2＋y2－2x－4y＝0，
將x＝1＋12ty＝32t代入得t2－23t－1＝0，
∴t1＋t2＝23，t1t2＝－1，
∴t1－t2＝t1＋t22－4t1t2＝4，
∴直線l被⊙C所截弦長為4.
10．()(2010•吉林省調(diào)研)已知曲線C1：ρ＝2sinθ，曲線C2：x＝－35t＋2y＝45t(t為參數(shù))．
(1)化C1為直角坐標(biāo)方程，化C2為普通方程；
(2)若為曲線C2與x軸的交點(diǎn)，N為曲線C1上一動(dòng)點(diǎn)，求N的最大值．
[解析] (1)曲線C1的方程化為ρ2＝2ρsinθ
又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ
所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程x2＋y2－2y＝0，
因?yàn)榍�C2的參數(shù)方程是x＝－35t＋2y＝45t，消去參數(shù)t得曲線C2的普通方程4x＋3y－8＝0.
(2)在曲線C2的方程中，令y＝0得x＝2，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)，
又曲線C1為圓，其圓心坐標(biāo)為C1(0,1)，半徑r＝1，
則C1＝5，
∴N≤C1＋r＝5＋1，N的最大值為5＋1.
(理)(2010•哈師大附中)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為：x＝1＋45ty＝－1－35t(t為參數(shù))，若以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos(θ＋π4)，求直線l被曲線C所截的弦長．
[解析] 將方程x＝1＋45ty＝－1－35t(t為參數(shù))化為普通方程得，3x＋4y＋1＝0，
將方程ρ＝2cosθ＋π4化為普通方程得，x2＋y2－x＋y＝0，它表示圓心為12，12，半徑為22的圓，則圓心到直線的距離d＝110，
弦長為2r2－d2＝212－1100＝75.
11.()(2011•廣東理，14)已知兩曲線參數(shù)方程分別為x＝5cosθy＝sinθ(0≤θ<π)和x＝54t2y＝t(t∈R)，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為________．
[答案] 1，255
[解析] x＝5cosθy＝sinθ(0≤θ≤π) 化為普通方程為x25＋y2＝1(0≤y≤1)，
而x＝54t2y＝t化為普通方程為x＝54y2，
由x25＋y2＝10≤y≤1x＝54y2得x＝1y＝255，
即交點(diǎn)坐標(biāo)為1，255.
(理)(2011•西安檢測(cè))已知直線l：x＝1－22ty＝1＋22t(t為參數(shù))與圓C：x＝1＋2cosθy＝1＋2sinθ(θ為參數(shù))，它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為________個(gè)．
[答案] 2
[解析] 直線l的普通方程為x＋y－2＝0，⊙C的圓心(1,1)，半徑r＝2，圓心C在直線l上，∴l(xiāng)與⊙C相交．
12．()(2011•咸陽模擬)若直線3x＋4y＋＝0與圓x＝1＋cosθy＝－2＋sinθ(θ為參數(shù))沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．
[答案] (－∞，0)∪(10，＋∞)
[解析] 由條件知，圓心C(1，－2)到直線3x＋4y＋＝0的距離大于圓的半徑1，
∴3－8＋5>1，∴<0或>10.
(理)已知直線l的參數(shù)方程：x＝2ty＝1＋4t(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程：ρ＝22sinθ＋π4，求直線l被曲線C截得的弦長為________．
[答案] 2305
[分析] 可將參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程求解；也可將曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方程后，將l方程代入利用t的幾何意義求解．
[解析] 將直線l的參數(shù)方程化為普通方程為y＝2x＋1，將圓C的極坐標(biāo)方程化為普通方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2，從圓方程中可知：圓心C(1,1)，半徑r＝2，所以圓心C到直線l的距離d＝2×1－1＋122＋－12＝25<2＝r.所以直線l與圓C相交．
所以直線l被圓C截得的弦長為
2r2－d2＝22－45＝2305.
13．(2011•天津理，11)已知拋物線C的參數(shù)方程為x＝8t2，y＝8t，(t為參數(shù))，若斜率為1的直線經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)，且 與圓(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，則r＝________.
[答案] 2
[解析] 根據(jù)拋物線C的參數(shù)方程x＝8t2y＝8t，得出y2＝8x，得出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，所以直線方程：y＝x－2，利用圓心到直線距離等于半徑，得出r＝22＝2.
14．(2011•標(biāo)全國，23)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x＝2cosα，y＝2＋2sinα.(α為參數(shù))．是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足OP→＝2O→，P點(diǎn)的軌跡為曲線C2.
(1)求C2的方程；
(2)在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線θ＝π3與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求AB.
[解析] (1)設(shè)P(x，y)，則由條件知(x2，y2)．由于點(diǎn)在C1上，所以
x2＝2cosα，y2＝2＋2sinα.即x＝4cosα，y＝4＋4sinα.
從而C2的參數(shù)方程為x＝4cosα，y＝4＋4sinα.(α為參數(shù))
(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sinθ，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝8sinθ.
射線θ＝π3與C1的交點(diǎn)A的極徑為ρ1＝4sinπ3＝23，
射線θ＝π3與C2的交點(diǎn)B的極徑為ρ2＝8sinπ3＝43.
所以AB＝ρ2－ρ1＝23.
15．()(2011•大連市模擬)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(12，1)，傾斜角α＝π6，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos(θ－π4)．
(1)寫出直線l的參數(shù)方程，并 把圓C的方程化為直角坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)l與圓C相交于兩點(diǎn)A、B，求點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積．
[解析] (1)直線l的參數(shù)方程為x＝12＋tcosπ6，y＝1＋tsinπ6，(t為參數(shù))，即x＝12＋32t，y＝1＋12t.(t為參數(shù))．
由ρ＝2cos(θ－π4)得ρ＝cosθ＋sinθ，
所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，得(x－12)2＋(y－12)2＝12.
(2)把x＝12＋32ty＝1＋12t代入(x－12)2＋(y－12)2＝12中
得t2＋12t－14＝0.
由根與系數(shù)的關(guān)系得t1t2＝－14，
由參數(shù)t的幾何意義得：PA•PB＝t1t2＝14.
(理)(2010•南京調(diào)研)已知直線l的參數(shù)方程為x＝4－2ty＝t－2(t為參數(shù))，P是橢圓x24＋y2＝1上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值．
[解析] 直線l的參數(shù)方程為x＝4－2ty＝t－2(t為參數(shù))故直線l的普通方程為x＋2y＝0
因?yàn)镻為橢圓x24＋y2＝1上任意一點(diǎn)，
故可設(shè)P(2cosθ，sinθ)其中θ∈R.
因此點(diǎn)P到直線l的距離是
d＝2cosθ＋2sinθ12＋22＝22sinθ＋π45
所以當(dāng)θ＝kπ＋π4，k∈Z時(shí)，d取得最大值2105.
1．(2010•延邊州質(zhì)檢)直線x＝1＋2ty＝1－2t(t為參數(shù))被圓x＝3cosαy＝3sinα(α為參數(shù))截得的弦長為( )
A．27 B.7
C．47 D．2
[答案] A
[解析] 將直線x＝1＋2ty＝1－2t化為普通方程得x＋y＝2，
將圓x＝3cosαy＝3sinα化為普通方程得x2＋y2＝9.
圓心O到直線的距離d＝0＋0－212＋12＝2，
所以弦長l＝2R2－d2＝27.
2．圓ρ＝2(cosθ－sinθ)的圓心的一個(gè)極坐標(biāo)是( )
A.1，π4 B.1，7π4
C.2，π4 D.2，7π4
[答案] B
[解析] 圓方程化為x2＋y2＝2x－2y，
圓心22，－22，∴ρ＝1，tanθ＝－1，∴θ＝7π4，故選B.
3．將曲線y＝sin3x變?yōu)閥＝2sinx的伸縮變換是( )
A.x＝3x′y＝12y′ B.x′＝3xy′＝12y
C.x＝3x′y＝2y′ D.x′＝3xy′＝2y
[答案] D
4．在極坐標(biāo)系下，直線ρcosθ－π4＝2與曲線ρ＝2的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A．0 B．1
C．2 D．2或0
[ 答案] B
[分析] 討論極坐標(biāo)方程表示的曲線的位置關(guān)系，交點(diǎn)個(gè)數(shù)等問題，一般是化為直角坐標(biāo)方程求解．對(duì)于熟知曲線形狀、位置的曲線方程，也可以直接畫草圖，數(shù)形結(jié)合討論．
[解析] 方程ρcosθ－π4＝2化為ρcosθ＋ρsinθ＝2，
∴x＋y＝2，方程ρ＝2，即x2＋y2＝2，顯然直線與圓相切，∴選B.
5．已知點(diǎn)P(x，y)滿 足(x－4cosθ)2＋(y－4sinθ)2＝4(θ∈R)，則點(diǎn)P(x，y)所在區(qū)域的面積為( )
A．36π B．32π
C．20π D．16π
[答案] B
[解析] 圓心坐標(biāo)為(4cosθ，4sinθ)，顯然圓心在以原點(diǎn)為圓心、半徑等于4的圓上，圓(x－4cosθ)2＋(y－4sinθ)2＝4(θ∈R)繞著上述圓旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形是一個(gè)圓環(huán)，圓環(huán)的外徑是6，內(nèi)徑是2，∴選B.
6．(2011•寶雞質(zhì)檢)直線x＝2t＋1y＝t－1，(t為參數(shù))過圓x2＋y2－2ax＋ay＋54a2－1＝0的圓心，則圓心坐標(biāo)為________．
[答案] (32，－34)
[解析] 由題意知，圓心C(a，－a2)在直線
x＝2t＋1y＝t－1上，∴a＝2t＋1－a2＝t－1，解之得a＝32t＝14，
∴圓心C的坐標(biāo)為(32，－34)．
7．(2011•廣州)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2，π6)，直線l過點(diǎn)A且與極軸所成的角為π3，則直線l的極坐標(biāo)方程為________．
[答案] 填ρcos(θ＋π6)＝1、3ρcosθ－ρsinθ－2＝0、
ρsin(π3－θ)＝1、ρsin(θ－4π3)＝1中任意一個(gè)均可
[解析] ∵點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2，π6)，∴點(diǎn)A的平面直角坐標(biāo)為(3，1)，又∵直線l過點(diǎn)A且與極軸所成的角為π3，∴直線l的方程為y－1＝(x－3)tanπ3，即3x－y－2＝0，∴直線l的極坐標(biāo)方程為3ρcosθ－ρsinθ－2＝0，可整理得ρcos(θ＋π6)＝1或ρsin(π3－θ)＝1或ρsin(θ－4π3)＝1.
[點(diǎn)評(píng)] 一般地，在極坐標(biāo)系下，給出點(diǎn)的坐標(biāo)，曲線的方程，討論某種關(guān)系或求某些幾何量時(shí)，通常都是化為直角坐標(biāo)(方程)求解．如果直接用極坐標(biāo)(方程)求解，通常是解一個(gè)斜三角形．
8．(2011•深圳調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，設(shè)P是直線l：ρ(cosθ＋sinθ)＝4 上任一點(diǎn)，Q是圓C：ρ2＝4ρcosθ－3上任一點(diǎn)，則PQ的最小值是________．
[答案] 2－1
[解析] 直線l方程化為x＋y－4＝0，
⊙C方程化為x2＋y2－4x＋3＝0，
即(x－2)2＋y2＝1.
圓心C(2,0)到直線l的距離d＝2＋0－42＝2，
∴PQin＝2－1.
9．(2010•新標(biāo)全國)已知直線C1：x＝1＋tcosα，y＝tsinα，(t為參數(shù))，圓C2：x＝cosθ，y＝sinθ，(θ為參數(shù))．
(1)當(dāng)α＝π3時(shí)，求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)O作C1的垂線，垂足為A，P為OA的中點(diǎn)．當(dāng)α變化時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線．
[解析] (1)當(dāng)α＝π3時(shí)，C1的普通方程為y＝3(x－1)，C2的普通方程為x2＋y2＝1.
聯(lián)立方程組y＝3x－1，x2＋y2＝1，解得C1與C2的交點(diǎn)為(1,0)，(12，－32)．
(2)C1的普通方程為xsinα－ycosα－sinα＝0.
A點(diǎn)坐標(biāo)為(sin2α，－cosαsinα)，
故當(dāng)α變化時(shí)，P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為
x＝12sin2α，y＝－12sinαcosα，(α為參數(shù))，
消去參數(shù)得P點(diǎn)軌跡的普通方程為(x－14)2＋y2＝116，
故P點(diǎn)軌跡是圓心為(14，0)，半徑為14的圓．
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