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2012-2013學(xué)年度第一學(xué)期
高三級數(shù)學(xué)科（理科）期中考試試卷
本試卷分和非兩部分，共10頁，滿分為150分�？荚囉脮r120分鐘。
注意事項：1、答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和學(xué)號填寫在答題卡和答卷密封線內(nèi)相應(yīng)的位置上，用2B鉛筆將自己的學(xué)號填涂在答題卡上。
2、選擇題每小題選出答案后，有2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上。
3、非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答卷紙上作答，答案必須寫在答卷紙各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上，超出指定區(qū)域的答案無效；如需改動，先劃掉原的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4、考生必須保持答題卡的整潔和平整。
第一部分選擇題(共 40 分)
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．若 ， ， ，則 （ ）
A．{2，4} B．{1，3} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5}
2．若復(fù)數(shù) （ 為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù) （ ）
A. B. C.0 D.1
3．等差數(shù)列 的前n項和為 ，且9 ，3 ， 成等比數(shù)列. 若 =3，則 = ( )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 5
4. 設(shè) 是甲拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，則方程 有兩個不相等的實數(shù)根的概率為（ ）
A B C D
5. 已知變量x、y滿足條件 則 的最大值是( )
A.2 B.5C.6D.8
6. 下列各命題中正確的命題是 （ ）
①命題“ 或 ”為真命題，則命題“ ”和命題“ ”均為真命題；
② 命題“ ”的否定是“ ” ；
③“函數(shù) 最小正周期為 ”是“ ”的必要不充分條件； ④“平面向量 與 的夾角是鈍角”的充分必要條件是“ ” ．
A．②③ B．①②③ C．①②④D．③④
7. 把邊長為 的正方形 沿對角線 折起，使得平面 平面 ，形成三棱錐 的正視圖與俯視圖如下圖所示，則側(cè)視圖的面積為 （ ）
A. B. C. D.
8.點 為雙曲線 ： 和圓 ： 的一個交點，且 ，其中 為雙曲線 的兩個焦點，則雙曲線 的離心率為 （ ）
A． B． C． D．
第二部分 非選擇題(共 110 分)
二、題：本大題共6小題,每小題5分,共30分。
9. 若向量 , 滿足條件 ,則 =______
10. 在 ABC中， ， ，面積為 ，那么 的長度為________
11. 右圖是求 的值的程序框圖，則正整數(shù) __
12．已知圓 的圓心與拋物線 的焦點關(guān)于 軸對稱,
又直線 與圓 相切,則圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _
13.已知函數(shù) ，令 ，
則二項式 ，展開式中常數(shù)項是第 __________項.
第14、15題為選做題，只能選做一題，全答的，只計前一題的得分．
14．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講）在極坐標(biāo)系 中，
曲線 與 的交點的極坐標(biāo)為 .
15．（幾何證明選講）如圖, 是圓 的直徑，直線 與
圓 相切于點 ， 于點 ，若圓 的面積為 ， ，
則 的長為 ．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出字說明、證明過程和演算步驟.
16．（本小題共12分）已知函數(shù) ( R).
（1）求 的最小正周期和最大值；
（2）若 為銳角，且 ，求 的值.
17.（本小題共12分）今有4種股票和3種基金，李先生欲購買其中的任意3種產(chǎn)品.
（1）求李先生所購買的3種產(chǎn)品中恰好只含一種基金的概率；
（2）記購買的3種產(chǎn)品中，包含基金的種數(shù)為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.

18.（本小題共14分）如圖，在長方體 中， ， 為 中點.
（1）求證： ；
（2）在棱 上是否存在一點 ，使得 平面 ？若存在，求 的長；若不存在，說明理由.
（3）若AB＝2，求二面角 的平面角的余弦值。

19．（本小題共14分）已知 是函數(shù) 的一個極值點。
（1）求 的值；
（2）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（3）若直線 與函數(shù) 的圖象有3個交點，求 的取值范圍。

20.（本小題共14分）直線 與橢圓 交于 ， 兩點，已知 ， ，若 且橢圓的離心率 ，又橢圓經(jīng)過點 ， 為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線 過橢圓的焦點 （ 為半焦距），求直線 的斜率 的值；
（3）試問： 的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，
請說明理由.

21．（本小題共14分）已知數(shù)列 中， ，對于任意的 ，有 ,
（1）求數(shù)列 的通項公式；
（2）數(shù)列 滿足： ，
，求數(shù)列 的通項公式；
（3）設(shè) ，是否存在實數(shù) ，當(dāng) 時， 恒成立，若存在，求實數(shù) 的取值范圍，若不存在，請說明理由。

2012-2013學(xué)年度高三級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)科（理數(shù)）考試答案
一、選擇題（每題5分，共40分）
題號12345678
答案BBCACADC
二、題（每題5分，共30分）
9． ; 10. 49 ; 11. 100 ; 12. ； 13. 5
14. 15. 1
三、解答題（寫出必要的字說明，計算或證明過程。共80分）
16．（本小題共12分）

17．（本小題共12分）
解：（1）設(shè)事件A表示“李先生所購買的3種產(chǎn)品中，恰好只含一種基金” …………1分
…………3分
答：李先生所購買的3種產(chǎn)品中恰好只含一種基金的概率為 …………4分
（2） …………5分



…………9分

…………12分
18．（本小題共14分）
解：（1）連結(jié) 長方體 中， ，
則 …………1分
∵
∴ …………2分
∴ 面 …………3分
又 面
∴ …………4分
（2）存在 的中點P，使得 ，
證明：取 的中點為 ， 中點為 ，連接
在 中，
又
∴ Ks5u
∴四邊形PQDE為平行四邊形
∴
又
∴
此時 ………8分
（3）法一：在平面 上，過點 作 交 于 ，連結(jié)
∵
∴
∴ 為二面角 的平面角
在 中，
又 ，則
在 中，
∴
即二面角 的平面角的余弦值為 .
法二：因為
建立如圖所示坐標(biāo)系

∵
∴平面ABE的一個法向量
設(shè)平面 的法向量為

由 ，得
取 ，則平面 的一個法向量
∴
經(jīng)檢驗，二面角B－AE－B 所成平面角為銳角，其余弦值為
19．（本小題共14分）
解：（1）因為 …………2分
所以 ， 因此 …………4分
（2）由（1）知，

…………5分
當(dāng) 時，
當(dāng) 時， …………6分
所以 的單調(diào)增區(qū)間是
的單調(diào)減區(qū)間是 …………8分
（3）由（2）知， 在 內(nèi)單調(diào)增加，在 內(nèi)單調(diào)減少，在 上單調(diào)增加，
且當(dāng) 或 時，
所以 的極大值為 ，極小值為 …………10分
因為

所以在 的三個單調(diào)區(qū)間
直線 與 的圖象各有一個交點，當(dāng)且僅當(dāng) …………13分
因此， 的取值范圍為 …………14分

20．（本小題共14分）
解：（1）∵ ……2分
∴ ……………3分
∴橢圓的方程為 ……………4分
（2）依題意，設(shè) 的方程為
由 ………………5分
顯然
………………6分
由已知 得：


解得 ……………………8分
（3）①當(dāng)直線 斜率不存在時，即 ，
由已知 ，得
又 在橢圓上，
所以
,三角形的面積為定值．………10分
②當(dāng)直線 斜率存在時：設(shè) 的方程為

必須 即
得到 ， ………………11分
∵ ，∴
代入整理得： …………………12分
…………13分

所以三角形的面積為定值． ……14分
21．（本小題共14分）
解：（1）取 ，則 　∴ （ ）
∴ 是公差為 ，首項為 的等差數(shù)列 ∴ 　　　 …………4分
（2）∵ ①
∴ �、�
①-②得： ∴ …………6分
當(dāng) 時， 　∴ ，滿足上式 ∴ …………8分
（3） 　假設(shè)存在 ，使
．
． ．　　
當(dāng) 為正偶函數(shù)時， 恒成立，

∴ ．
∴ …………11分
當(dāng) 為正奇數(shù)時， 恒成立．
∴
∴ ．∴ ．
綜上可知，存在實數(shù) ．使 時， 恒成立． …………14分

本文來自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/gaosan/41371.html

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