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數(shù)列是以正整數(shù)集(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)，以下是高考數(shù)學(xué)數(shù)列交匯綜合問題提分專練，請考生認(rèn)真做題。

一、選擇題

1.已知等比數(shù)列{an}，且a4+a8=

dx，則a6(a2+2a6+a10)的值為()

A.2 B.4

C. D.-9

答案：A 命題立意：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及定積分的運(yùn)算，正確地利用定積分的幾何意義求解積分值是解答本題的關(guān)鍵，難度中等.

解題思路：由于dx表示圓x2+y2=4在第一象限內(nèi)部分的面積，故dx=22=，即a4+a8=，又由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a+a6a10=a+2a4a8+a=(a4+a8)2=2，故選A.

2.(東北三校二次聯(lián)考)已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S21=S4 000，O為坐標(biāo)原點，點P(1，an)，點Q(2 011，a2 011)，則=()

A.2 011 B.-2 011

C.0 D.1

答案：A 命題立意：本題考查等差數(shù)列前n項和公式與性質(zhì)及平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，難度中等.

解題思路：由已知S21=S4 000a22+a23++a4 000==3 979a2 011=0，故有a2 011=0，

因此=2 011+ana2 011=2 011，故選A.

3.以雙曲線-=1的離心率為首項，以函數(shù)f(x)=4x-2的零點為公比的等比數(shù)列的前n項的和Sn=()

A.3(2n-1) B.3-(2n-1)

C.- 3(2n-1) D.-3+(2n-1)

答案：B 命題立意：本題考查雙曲線的離心率及函數(shù)的零點與等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用，難度較小.

解題思路：由雙曲線方程易得e==，函數(shù)零點為，故由公式可得Sn==3=3-，故選B.

4.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4=15，S5=55，則過點P(3，a3)，Q(4，a4)的直線的斜率為()

A.4 B.1

C.-4 D.-14

答案：A 命題立意：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項和及直線斜率的坐標(biāo)計算形式，難度較小.

解題思路：由題S5==55，故a1+a5=22，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知a1+a5=2a3=22，故a3=11，因為a4=15，則過點P(3，a3)，Q(4，a4)的直線的斜率為kPQ===4，故選A.

5.在等比數(shù)列{an}中，對于nN*都有an+1a2n=3n，則a1a2a6=()

A.()11 B.()13

C.35 D.36

答案：D 命題立意：本題考查數(shù)列的遞推公式、等比數(shù)列的性質(zhì)及整體代換思想，考查考生的運(yùn)算能力，難度中等.

解題思路：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，a1a2a3a4a5a6=(a2a6)a4(a1a5)a3=(a3)3(a4)3=(a3a4)3，令n=2，得a3a4=32，故選D.

6.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差為d，已知(a8+1)3+2 013(a8+1)=1，(a2 006+1)3+2 013(a2 006+1)=-1，則下列結(jié)論正確的是()

A.d0，S2 013=2 013 B.d0，S2 013=2 013

C.d0，S2 013=-2 013 D.d0，S2 013=-2 013

答案：C 命題立意：本題考查函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性與奇偶性、等差數(shù)列的性質(zhì)與前n項和公式，難度中等.

解題思路：記f(x)=x3+2 013x，則函數(shù)f(x)是在R上的奇函數(shù)與增函數(shù);依題意有f(a8+1)=-f(a2 006+1)=1f(0)=0，即f(a8+1)=f[-(a2 006+1)]=1，a8+1=-(a2 006+1)，a8+1a2 006+1即a8a2 006，d=a8+a2 006=-2，S2 013===-2 013，故選C.

二、填空題

7.在等差數(shù)列{an}中，a2=5，a1+a4=12，則an=________;設(shè)bn=(nN*)，則數(shù)列{bn}的前n項和Sn=________.

答案：2n+1命題立意：本題考查等差數(shù)列的通項公式與裂項相消法，難度中等.

解題思路：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則有a2+a3=5+a3=12，a3=7，d=a3-a2=2，an=a2+(n-2)d=2n+1，bn==，因此數(shù)列{bn}的前n項和Sn=

==.

8.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若(nN*)是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為和等比數(shù)列，若數(shù)列{cn}是首項為2，公差為d(d0)的等差數(shù)列，且數(shù)列{cn}是和等比數(shù)列，則d=________.

答案：4 解題思路：由題意可知，數(shù)列{cn}的前n項和為Sn=，前2n項和為S2n=，所以==2+=2+，所以當(dāng)d=4時，=4.

9.已知定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且滿足f=f(x)，f(-2)=-3，數(shù)列{an}滿足a1=-1，且Sn=2an+n(其中Sn為{an}的前n項和)，則f(a5)+f(a6)=______.

答案：3 解題思路：因為Sn=2an+n，則Sn-1=2an-1+n-1，

兩式相減得an=2an-1-1，通過拼湊整理得an-1=2(an-1-1)，所以{an-1}是等比數(shù)列，則an-1=-2n，因此an=1-2n，所以a5=-31，a6=-63.

由f=f(x)且函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，用-x代替x得到f=f(-x)=-f(x)，用+x代替x得到f(3+x)=f(x)，所以函數(shù)f(x)為周期為3，

則f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(-1)+f(0)=f(2)+0=-f(-2)=3.

10.已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a，b，c成遞減的等差數(shù)列.若A=2C，則的值為________.

答案： 命題立意：本題主要考查等差數(shù)列、正弦定理、余弦定理與三角函數(shù)基本公式.解題思路是依據(jù)題意得出a，b，c之間的關(guān)系，再結(jié)合正弦定理、余弦定理及A=2C，從而得出a，c之間的關(guān)系.

解題思路：依題意知b=，===2cos C=2，即====，所以a2=c，即(2a-3c)(a-c)=0，又由ac，因此有2a=3c，故=.

三、解答題

11.已知函數(shù)f(x)=x2+bx為偶函數(shù)，數(shù)列{an}滿足an+1=2f(an-1)+1，且a1=3，an1.

(1)設(shè)bn=log2(an-1)，求證：數(shù)列{bn+1}為等比數(shù)列;

(2)設(shè)cn=nbn，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.

命題立意：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)列的通項公式和前n項和公式等知識.解題時，首先根據(jù)二次函數(shù)的奇偶性求出b值，確定數(shù)列通項的遞推關(guān)系式，然后由等比數(shù)列的定義證明數(shù)列{bn+1}為等比數(shù)列，這樣就求出數(shù)列{bn}的通項公式，進(jìn)一步就會求出數(shù)列{cn}的通項公式，從而確定數(shù)列{cn}的前n項和Sn的計算方法.

解析：(1)證明： 函數(shù)f(x)=x2+bx為偶函數(shù)，

b=0， f(x)=x2，

an+1=2f(an-1)+1=2(an-1)2+1，

an+1-1=2(an-1)2.

又a1=3，an1，bn=log2(an-1)，

b1=log2(a1-1)=1，

====2，

數(shù)列{bn+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.

(2)由(1)，得bn+1=2n， bn=2n-1，

cn=nbn=n2n-n.

設(shè)An=12+222+323++n2n，

則2An=122+223+324++n2n+1，

-An=2+22+23++2n-n2n+1

=-n2n+1=2n+1-n2n+1-2，

An=(n-1)2n+1+2.

設(shè)Bn=1+2+3+4++n，則Bn=，

Sn=An-Bn=(n-1)2n+1+2-.

12.函數(shù)f(x)對任意xR都有f(x)+f(1-x)=1.

(1)求f的值;

(2)數(shù)列{an}滿足：an=f(0)+f+f++f+f(1)，求an;

(3)令bn=，Tn=b+b++b，Sn=8-，試比較Tn與Sn的大小.

解析：(1)令x=，

則有f+f=f+f=1.

f=.

(2)令x=，得f+f=1，

即f+f=1.

an=f(0)+f+f++f+f(1)，

an=f(1)+f+f++f+f(0).

兩式相加，得

2an=[f(0)+f(1)]+++[f(1)+f(0)]=n+1，

an=，nN*.

(3)bn==，

當(dāng)n=1時，Tn=Sn;

當(dāng)n2時，

Tn=b+b++b

=4

4

=4

=4=8-=Sn.

綜上，TnSn.

13.某產(chǎn)品在不做廣告宣傳且每千克獲得a元的前提下，可賣出b千克.若做廣告宣傳，廣告費(fèi)為n(nN*)千元時比廣告費(fèi)為(n-1)千元時多賣出千克.

(1)當(dāng)廣告費(fèi)分別為1千元和2千元時，用b表示銷售量s;

(2)試寫出銷售量s與n的函數(shù)關(guān)系式;

(3)當(dāng)a=50，b=200時，要使廠家獲利最大，銷售量s和廣告費(fèi)n分別應(yīng)為多少?

解析：(1)當(dāng)廣告費(fèi)為1千元時，銷售量s=b+=.

當(dāng)廣告費(fèi)為2千元時，銷售量s=b++=.

(2)設(shè)Sn(nN)表示廣告費(fèi)為n千元時的銷售量，

由題意得，s1-s0=，

s2-s1=，

sn-sn-1=.

以上n個等式相加得，

sn-s0=++++.

即s=sn=b+++++.

==b.

(3)當(dāng)a=50，b=200時，設(shè)獲利為Tn，

則有Tn=sa-1 000n=10 000-1 000n=1 000，

設(shè)bn=20--n，

則bn+1-bn=20--n-1-20++n=-1.

當(dāng)n2時，bn+1-bn

當(dāng)n3時，bn+1-bn0.

所以當(dāng)n=3時，bn取得最大值，即Tn取得最大值，此時s=375，即該廠家獲利最大時，銷售量和廣告費(fèi)分別為375千克和3千元.

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