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許多場(chǎng)合下,只能從總體中抽取一個(gè)樣本作為總體的代表,這一過(guò)程稱為抽樣，數(shù)學(xué)網(wǎng)整理了用樣本估計(jì)總體專題檢測(cè)，幫助廣大高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)!

一、選擇題

1.已知樣本7，10，14，8，7，12，11，10，8，10，13，10，8，11，8，9，12，9，13，20，那么這組數(shù)據(jù)落在8.5～11.5的頻率為( )

(A)0.5 (B)0.4 (C)0.3 (D)0.2

2.如圖是總體密度曲線，下列說(shuō)法正確的是( )

(A)組距越大，頻率分布折線圖越接近于它

(B)樣本容量越小，頻率分布折線圖越接近于它

(C)陰影部分的面積代表總體在(a,b)內(nèi)取值的百分比

(D)陰影部分的平均高度代表總體在(a,b)內(nèi)取值的百分比

3.10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,17,16,14,

12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有( )

(A)ac (B)ba

(C)cb (D)ca

4.(2013三明模擬)在樣本的頻率分布直方圖中，共有11個(gè)小長(zhǎng)方形，若中間一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于其他10個(gè)小長(zhǎng)方形的面積和的且樣本容量為160，則中間一組的頻數(shù)為( )

(A)32 (B)0.2 (C)40 (D)0.25

5.商場(chǎng)在國(guó)慶黃金周的促銷活動(dòng)中，對(duì)10月2日9時(shí)至14時(shí)的銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示，已知9時(shí)至10時(shí)的銷售額為2.5萬(wàn)元，則11時(shí)至12時(shí)的銷售額為( )

(A)6萬(wàn)元 (B)8萬(wàn)元

(C)10萬(wàn)元 (D)12萬(wàn)元

6.(2013濟(jì)南模擬)為選拔運(yùn)動(dòng)員參加比賽，測(cè)得7名選手的身高(單位：cm)分布莖葉圖為，記錄的平均身高為177 cm，有一名候選人的身高記錄不清楚，其末位數(shù)字記為x，那么x的值為( )

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

7.(能力挑戰(zhàn)題)如圖，樣本A和B分別取自兩個(gè)不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為和樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為sA和sB，則( )

(A) (B)

(C) (D)

二、填空題

8.(2016山東高考)如圖是根據(jù)部分城市某年6月份的平均氣溫(單位：℃)數(shù)據(jù)得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是[20.5，26.5]，樣本數(shù)據(jù)的分組為[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知樣本中平均氣溫低于22.5 ℃的城市個(gè)數(shù)為11，則樣本中平均氣溫不低于25.5 ℃的城市個(gè)數(shù)為_(kāi)___________.

9.(2013肇慶模擬)給出以下三幅統(tǒng)計(jì)圖及四個(gè)結(jié)論:

①?gòu)恼劬�統(tǒng)計(jì)圖能看出世界人口的變化情況;②2050年非洲人口大約將達(dá)到15億;③2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多;④從1957年到2050年各洲中北美洲人口增長(zhǎng)速度最慢.

其中結(jié)論正確的是____________.

10.(2016廣東高考)由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,x4，其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標(biāo)準(zhǔn)差等于1，則這組數(shù)據(jù)為_(kāi)___________.(從小到大排列)

三、解答題

11.隨機(jī)抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué),測(cè)量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖.

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)班的平均身高較高.

(2)計(jì)算甲班10名同學(xué)身高的方差.

12.(2016安徽高考)若某產(chǎn)品的直徑長(zhǎng)與標(biāo)準(zhǔn)值的差的絕對(duì)值不超過(guò)1 mm時(shí)，則視為合格品，否則視為不合格品.在近期一次產(chǎn)品抽樣檢查中，從某廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取5 000件進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有50件不合格品.計(jì)算這50件不合格品的直徑長(zhǎng)與標(biāo)準(zhǔn)值的差(單位：mm), 將所得數(shù)據(jù)分組，得到如下頻率分布表：

分 組 頻 數(shù) 頻 率 [-3，-2) 0.10 [-2,-1) 8 (1,2] 0.50 (2,3] 10 (3,4] 合計(jì) 50 1.00 (1)將上面表格中缺少的數(shù)據(jù)填充完整;

(2)估計(jì)該廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中，不合格品的直徑長(zhǎng)與標(biāo)準(zhǔn)值的差落在區(qū)間(1,3]內(nèi)的概率.

(3)現(xiàn)對(duì)該廠這種產(chǎn)品的某個(gè)批次進(jìn)行檢查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有20件不合格品.據(jù)此估算這批產(chǎn)品中的合格品的件數(shù).

13.(能力挑戰(zhàn)題)2016年3月2日，國(guó)家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》.其中規(guī)定：居民區(qū)中的PM2.5的年平均濃度不得超過(guò)35微克/立方米，PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過(guò)75微克/立方米. 某城市環(huán)保部門(mén)隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的24小時(shí)平均濃度的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

組別 PM2.5(微克/立方米) 頻數(shù)(天) 頻率 第一組 (0,15] 4 0.1 第二組 (15，30] 12 y 第三組 (30,45] 8 0.2 第四組 (45，60] 8 0.2 第五組 (60，75] x 0.1 第六組 (75，90) 4 0.1 (1)試確定x,y的值，并寫(xiě)出該樣本的眾數(shù)和中位數(shù)(不必寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程).

(2)完成相應(yīng)的頻率分布直方圖.

(3)求出樣本的平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)?說(shuō)明理由.

答案解析

1.【解析】選B.樣本的總數(shù)為20個(gè)，數(shù)據(jù)落在8.5～11.5的個(gè)數(shù)為8，故頻率為

2.【解析】選C.總體密度曲線與頻率分布折線圖關(guān)系如下：當(dāng)樣本容量越大，組距越小時(shí)，頻率分布折線圖越接近總體密度曲線，但它永遠(yuǎn)達(dá)不到總體密度曲線.在總體密度曲線中，陰影部分的面積代表總體在(a,b)內(nèi)取值的百分比，因而選C.

【誤區(qū)警示】在頻率分布直方圖中，每一個(gè)小矩形的面積表示數(shù)據(jù)落在該組的頻率，在總體密度曲線或總體分布折線圖中，直線x=a，x=b，x軸與曲線或折線圍成的面積也表示數(shù)據(jù)在(a，b)內(nèi)的頻率，即在(a，b)內(nèi)取值的百分比，不要認(rèn)為圖形的平均高度是頻率而誤選D.

3.【解析】選D.平均數(shù)(15+17+14+10+15+17+17+16+14+12)=14.7，中位數(shù)b=15，眾數(shù)c=17.

ca.

4.【解析】選A.頻率等于長(zhǎng)方形的面積，所有長(zhǎng)方形的面積和等于1，設(shè)中間長(zhǎng)方形的面積等于S，則設(shè)中間一組的頻數(shù)為x，則得x=32.

5.【解析】選C.設(shè)11時(shí)至12時(shí)的銷售額為x萬(wàn)元，由得x=10，故

選C.

6.【解析】選D.由莖葉圖可知解得x=8.

7.【解析】選B.由圖可知A組的6個(gè)數(shù)為2.5,10,5,7.5,2.5,10,

B組的6個(gè)數(shù)為15，10，12.5,10,12.5,10,

所以

顯然

又由圖形可知，B組的數(shù)據(jù)分布比A均勻，變化幅度不大，故B組數(shù)據(jù)比較穩(wěn)定，方差較小，從而標(biāo)準(zhǔn)差較小，所以sAsB，故選B.

8.【思路點(diǎn)撥】本題考查頻率分布直方圖，關(guān)鍵是抓住縱軸表示的是

【解析】最左邊兩個(gè)矩形面積之和為0.101+0.121=0.22，總城市數(shù)為110.22=50，最右面矩形面積為0.181=0.18，平均氣溫不低于25.5的城市個(gè)數(shù)為500.18=9.

答案：9

9.【解析】①顯然正確;從條形統(tǒng)計(jì)圖中可得到：2050年非洲人口超過(guò)15億,②錯(cuò);從扇形統(tǒng)計(jì)圖中能夠明顯地得到結(jié)論：2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多，③正確;由上述三幅統(tǒng)計(jì)圖并不能得出從1957年到2050年中哪個(gè)洲人口增長(zhǎng)速度最慢，故④錯(cuò)誤.

答案：①③

10.【思路點(diǎn)撥】本題是考查統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí)，要知道平均數(shù)及中位數(shù)(按從小到大或從大到小的順序排列，若奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)取中間的數(shù)，若偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)取中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))的求法，以及標(biāo)準(zhǔn)差公式.利用平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差公式求解.

【解析】假設(shè)這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為x1,x2,x3,x4,

則

又s=

(x1-2)2+(x2-2)2=2,

同理可求得(x3-2)2+(x4-2)2=2,

由x1,x2,x3,x4均為正整數(shù)，且(x1,x2),(x3,x4)均為圓(x-2)2+(y-2)2=2上的點(diǎn)，分析知x1,x2,x3,x4應(yīng)為1,1,3,3.

答案：1，1，3，3

11.【解析】(1)由莖葉圖可知：甲班10名同學(xué)身高集中于162～179，而乙班10名同學(xué)身高集中于170～180.因此由樣本估計(jì)總體可知乙班平均身高高于甲班平均身高.

(2)甲班10名同學(xué)身高的平均數(shù)為

甲班10名同學(xué)身高的方差為[(158-170)2+(162-170)2+(163-170)2+

(168-170)2+(168-170)2+(170-170)2+(171-170)2+(179-170)2+(179-170)2+

(182-170)2]=57.2.

【方法技巧】莖葉圖及應(yīng)用

莖葉圖在樣本數(shù)據(jù)較少、較為集中且位數(shù)不多時(shí)比較適用，由于它較好地保留了原始數(shù)據(jù)，所以可以幫助分析樣本數(shù)據(jù)的大致頻率分布，還可以用來(lái)分析樣本數(shù)據(jù)的一些特征，如眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)等.

12.【思路點(diǎn)撥】(1)利用頻率=

(2)利用頻率估計(jì)概率.

【解析】(1)

分 組 頻 數(shù) 頻 率 [-3，-2) 5 0.10 [-2,-1) 8 0.16 (1,2] 25 0.50 (2,3] 10 0.20 (3,4] 2 0.04 合計(jì) 50 1.00 (2)不合格品的直徑長(zhǎng)與標(biāo)準(zhǔn)值的差落在區(qū)間(1,3]內(nèi)的概率為0.50+0.20=0.70.

答：不合格品的直徑長(zhǎng)與標(biāo)準(zhǔn)值的差落在區(qū)間(1,3]內(nèi)的概率為0.70.

(3)合格品的件數(shù)為=1 980(件).

答：合格品的件數(shù)為1 980件.

13.【解析】(1)x=4,y=0.3，眾數(shù)為22.5微克/立方米，中位數(shù)為37.5微克/立方米.

(2)其頻率分布直方圖如圖所示：

(3)樣本的平均數(shù)為

7.50.1+22.50.3+37.50.2+52.50.2+67.50.1+82.50.1=40.5.

因?yàn)?0.535，所以去年該居民區(qū)PM2.5的年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn).

【變式備選】某中學(xué)一個(gè)高三數(shù)學(xué)教師對(duì)其所教的兩個(gè)文科班(每班各50名學(xué)生)的學(xué)生的一次數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，高三年級(jí)文科數(shù)學(xué)平均分是100分，兩個(gè)班數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如下(總分：150分).

(1)文科1班數(shù)學(xué)平均分是否超過(guò)年級(jí)平均分?

(2)從文科1班中任取一人，其數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到或超過(guò)年級(jí)平均分的概率是多少?

(3)文科1班一個(gè)學(xué)生對(duì)文科2班一個(gè)學(xué)生說(shuō)：我的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谖野嗍侵形粩?shù)，從你班任抽一人的數(shù)學(xué)成績(jī)不低于我的成績(jī)的概率是0.60，則文科2班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱100,110)內(nèi)的人數(shù)是多少?

【解析】(1)文科1班數(shù)學(xué)平均分至少是

文科1班數(shù)學(xué)平均分超過(guò)年級(jí)平均分.

(2)文科1班在[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]分?jǐn)?shù)段共有人數(shù)是33，從文科1班中任取一人，其數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到或超過(guò)年級(jí)平均分的概率是0.66.

(3)設(shè)文科1班這個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是x，則x[100,110)，文科2班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱80,90)，[90,100)，[100,110)內(nèi)的人數(shù)分別是b，c，y，

如果x=100，則y=15，即文科2班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱100,110)內(nèi)的人數(shù)至少是15人.

又∵由3

4+12+yb+c+y=3510+y-1+yy19，

則文科2班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱100,110)范圍內(nèi)的人數(shù)是15或16或17或18或19.

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