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題目 第九章(B)直線(xiàn)、平面、簡(jiǎn)單幾何體 空間角
高考要求
　　1 掌握直線(xiàn)和直線(xiàn)、直線(xiàn)和平面、平面和平面所成的角的概念
2 會(huì)求直線(xiàn)和直線(xiàn)、直線(xiàn)和平面、平面和平面所成的角
知識(shí)點(diǎn)歸納
1．異面直線(xiàn)所成的角：已知兩條異面直線(xiàn) ，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn) 作直線(xiàn) ， 所成的角的大小與點(diǎn) 的選擇無(wú)關(guān)，把 所成的銳角（或直角）叫異面直線(xiàn) 所成的角（或夾角）．為了簡(jiǎn)便，點(diǎn) 通常取在異面直線(xiàn)的一條上
異面直線(xiàn)所成的角的范圍：
2．求異面直線(xiàn)所成的角的方法：（1）幾何法；（2）向量法
3．直線(xiàn)和平面所成角
（1）定義：平面的一條斜線(xiàn)和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角
一直線(xiàn)垂直于平面，所成的角是直角
一直線(xiàn)平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0?角
直線(xiàn)和平面所成角范圍： ?0， ?
（2）定理：斜線(xiàn)和平面所成角是這條斜線(xiàn)和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線(xiàn)所成的一切角中最小的角
4．公式：平面?的斜線(xiàn)a與?內(nèi)一直線(xiàn)b相交成θ角，且a與?相交成?1角，a在?上的射影c與b相交成?2角，則有
5 二面角：平面內(nèi)的一條直線(xiàn)把平面分為兩個(gè)部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線(xiàn)叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面 若棱為 ，兩個(gè)面分別為 的二面角記為 ；
6．二面角的平面角：
（1）過(guò)二面角的棱上的一點(diǎn) 分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的兩條垂線(xiàn) ，則 叫做二面角 的平面角
（2）一個(gè)平面垂直于二面角 的棱 ，且與兩半平面交線(xiàn)分別為 為垂足，則 也是 的平面角
說(shuō)明：①二面角的平面角范圍是 ；
②二面角的平面角為直角時(shí)，則稱(chēng)為直二面角，組成直二面角的兩個(gè)平面互相垂直
7．二面角的求法：⑴幾何法；⑵向量法
8 求二面角的射影公式： ，
其中各個(gè)符號(hào)的含義是： 是二面角的一個(gè)面內(nèi)圖形F的面積， 是圖形F在二面角的另一個(gè)面內(nèi)的射影， 是二面角的大小
9．三種空間角的向量法計(jì)算公式：
⑴異面直線(xiàn) 所成的角 ： ；
⑵直線(xiàn) 與平面 (法向量 )所成的角 ： ；
⑶銳二面角 ： ，其中 為兩個(gè)面的法向量
題型講解
例1 直三棱柱A1B1C1?ABC，∠BCA=90°，點(diǎn)D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（　�。�
A． B． C． D．
解法一：(幾何法)如圖，連結(jié)D1F1，
則D1F1
BC ∴D1F1
設(shè)點(diǎn)E為BC中點(diǎn)
∴D1F1 BE EF1
∴∠EF1A或補(bǔ)角即為所求
由余弦定理可求得cos∠EF1A= ．
解法二：(向量法)建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)BC=1
則A（－1，0，0），F(xiàn)1（－ ，0，1），
B（0，－1，0），D1（－ ，－ ，1）
即 =（ ，0，1）， =（－ ， ，1）
∴cos< ， >=
點(diǎn)評(píng)： 解法一與解法二從兩個(gè)不同角度求異面直線(xiàn)所成的角．解法一體現(xiàn)傳統(tǒng)方法作?證?算；解法二把角的求解轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)注意體會(huì)兩種方法的特點(diǎn)．
例2 在正四面體ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，求直線(xiàn)CE與平面BCD成的角．
分析:求線(xiàn)面角的關(guān)鍵在于找出斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影，即找垂面，有了垂面即可在垂面內(nèi)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)，線(xiàn)面角即可作出，然后轉(zhuǎn)化到三角形中求解．
解法一: 取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)AF、DF
∵正四面體ABCD
∴BC⊥AF，BC⊥DF
∴BC⊥面AFD，
而B(niǎo)C 平面BCD
∴面AFD⊥面BCD
過(guò)E作EH⊥DF于H，
而DF 平面BCD，則EH⊥面BCD
則∠ECH為CE與面BCD所成的角．
在Rt△CEH中，sin∠ECH= ．
即CE與平面BCD成的角為arcsin ．
解法二：如圖建立以三角形BCD的中心O為原點(diǎn)，,OD,OA依次為y軸，z 軸 X軸平行于BC
設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為 ，
則
∴
∵E為AD的中點(diǎn)，∴
∴
又因?yàn)槠矫鍮CD的法向量為 ，
∴即CE與平面BCD成的角 滿(mǎn)足：

點(diǎn)評(píng)：求線(xiàn)面角的兩種方法
例3 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝BB1＝1，E為D1C1的中點(diǎn)，求二面角E?BD?C的正切值．
解法一：∵ABCD?A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，
∴作EF⊥面BCD，而E為 的中點(diǎn)，則F為CD的中點(diǎn)，過(guò)F作FM⊥BD交BD于M，連EM，由三垂線(xiàn)定理知EM⊥BD，
∴∠EMF就是二面角E?BD?C的平面角，〕又∵AB＝2，BB1＝BC＝1，EF＝1，
FM＝1× ＝
∴tan∠EMF＝ ．
解法二：∵S△BDF＝S△EBD?cosθ
而S△BDF＝ BD?FM＝ ? ? ＝ ，
又BD＝ ，ED＝ ，BE＝
∴ED2+BE2＝BD2
∴DE⊥EB 故S△EBD＝ ED?EB＝
∴cosθ＝ ；tanθ＝ ．
解法三：過(guò)E作棱BD的垂線(xiàn)EM交BD于M，過(guò)C點(diǎn)作棱BD的垂線(xiàn)CN交BD于N，E、C是異面直線(xiàn)EM、CN上兩點(diǎn)，CE＝ ．EM＝ ，
而FM⊥BD，CN⊥BD，F(xiàn)為CD中點(diǎn)，
∴MN＝DM＝
∴2＝ cosθ
cosθ＝ ，tanθ＝ ．
解法四：如圖，建立坐標(biāo)系，則D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1)
設(shè)平面DBE的方程為： （過(guò)原點(diǎn)D=0）
則
∴平面DBE的一個(gè)法向量為
又因?yàn)槠矫鍮CD的一個(gè)法向量為
二面角E?BD?C的余弦值為：

∴
點(diǎn)評(píng)： 選此題意在通過(guò)此題使學(xué)生掌握二面角平面角的作法及求法．即三垂線(xiàn)定理及逆定理法，投影法，利用異面直線(xiàn)上兩點(diǎn)間的距離公式法．
例4 正方體ABCD-EFGH的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)P在AC上，Q在BG上，且AP=BQ=a,
⑴求直線(xiàn)PQ與平面ABCD所成的角的正切值；
⑵求直線(xiàn)PQ與AD所成的角
分析：（1）先作出PQ在面ABCD內(nèi)的射影，由于面BFGC⊥面ABCD，作QM⊥BC于M，則MP就是QP在面ABCD內(nèi)的射影，∠QPM就是要求的角，也可以先求出面ABCD的法向量 與 的角，然后再求它的余角即得
（2）（向量法）解：建立坐標(biāo)系后，求出
可由cos 求解，
解（1）作QM⊥BC于M，連MP，則∠QMP就是直線(xiàn)PQ與平面ABCD所成的角則易得：QM= ， MP=（1-
tan∠QPM=
（2）建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則
Q（0， P（
A（a,0,0）,D(a,a,0),
, =(0,a,0)

QP與AD所成的角為90°
例5 如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD= ，求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值
分析：此題中二面角的棱沒(méi)有畫(huà)出，按常規(guī)解可延長(zhǎng)BA，CD相交于E，則SE是二面角的棱，因?yàn)镈A⊥面ABS，過(guò)點(diǎn)A作SE的垂線(xiàn)交SE于F，連結(jié)DF，則∠ADF就是所求二面角的平面角
若用向量法求解，就是要求兩個(gè)面的法向量所成的角或補(bǔ)角
解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則依題意可知D（ ，C（1，1，0），
S（0，0，1），可知 是面SAB的法向量
設(shè)平面SCD的法向量 =（x，y，z）
=0，
可推出 令x=2,則有y=-1,z=1, =（2，-1，1）
設(shè)所求二面角的大小為θ，則
cosθ= =
, tan
例6 已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD
（1）證明：C1C⊥BD；
（2）當(dāng) 的值為多少時(shí)，能使A1C⊥平面C1BD 請(qǐng)給出證明
證明：如設(shè)∠C1CB=θ，由題設(shè)，∠C1CD=∠BCD=θ 令 = ， = ， = ， =1， =x，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以 =1，
（1）∵ -
∴ ? = ?( - )= ? - ?
=1?x?cosθ-1?x?cosθ=0
∴ C1C⊥BD
（2）假設(shè)A1C⊥平面C1BD成立
則A1C⊥C1D，從而 ? =0
由于 = - ， = + +
因此
? =( + + )?( - )
= 2+ ? + ? - ?c- ? - 2
= 2+ ? + ? - 2=1+1?1?cosθ-1?x?cosθ-x2
=（1-x）(1+x+cosθ)
從而(1-x)?(1+x+cosθ)=0
由于1+x+cosθ＞0，因此，x=1
也就是說(shuō) 時(shí)，A1C⊥平面C1BD成立
點(diǎn)評(píng)：平行六面體的12條棱共分三組，每組四條棱兩兩平行，故可取共頂點(diǎn)的三條棱作為空間向量的基底，此題中 ， ， 三個(gè)共點(diǎn)向量為基底，其余向量可由此三個(gè)向量生成
小結(jié)：
空間角的求解有兩種方法一種是幾何法，另一種是向量法．
1．幾何法一般要有三個(gè)步驟．
（1）作圖：如上例中作出二面角的平面角及題中涉及的有關(guān)圖形等；
（2）證明：證明所給圖形是符合題設(shè)要求的；
（3）計(jì)算：在證明的基礎(chǔ)上計(jì)算得出結(jié)果．
2．向量法是把求角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩向量的夾角．這里平面的法向量常用待定系數(shù)法求解，平面的法向量是關(guān)鍵．
學(xué)生練習(xí)
1．異面直線(xiàn)a與b所成的角為50°，P為空間一點(diǎn)，則過(guò)P點(diǎn)且與a、b所成的角都是30°的直線(xiàn)有（　�。�
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
解析：將a、b平移到點(diǎn)P，則過(guò)P與a、b所成的角都是30°的直線(xiàn)為2條．
答案：B
2．平面α的斜線(xiàn)與α所成的角為30°，則此斜線(xiàn)和α內(nèi)所有不過(guò)斜足的直線(xiàn)中所成的角的最大值為（　　）
A．30° B．60° C．90° D．150°
解析：本題易誤選D，因斜線(xiàn)和α內(nèi)所有不過(guò)斜足的直線(xiàn)為異面直線(xiàn)，故最大角為90°．
答案：C
3．在邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B?AD?C后，BC＝ a，這時(shí)二面角B?AD?C的大小為（　�。�
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：折起后△BCD為正三角形．
答案：C
4．四面體ABCD中，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，若CD=2AB，EF⊥AB，則EF與CD所成的角等于（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：取AD中點(diǎn)G，連結(jié)EG、GF，則GE CD，GE= AB
∵CD=2AB ∴GE=2GF，∵EF⊥AB，∴EF⊥GF．
∴∠GEF=30°
答案：A
5．在正方體A?C1中，E、F分別為D1C1與AB的中點(diǎn)，則A1B1與截面A1ECF所成的角為（　�。�
A．a(chǎn)rctan B．a(chǎn)rccos C．a(chǎn)rcsin D．都不對(duì)
解：（向量法）建立以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1分別為x,y,z軸的坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)為1
設(shè)平面A1FCE的法向量 =（x，y，z）, 則 ? =0， ? =0
∵ =（－1， ，0）， =（0，－ ，1）
∴ ,令y=2 , ∴ =（1，2，1）
又∵ =（0，1，0） ∴cos< , >=
∴A1B1與平面A1FCE成的角為arcsin 答案：A
6．一條直線(xiàn)與直二面角的兩個(gè)面所成的角分別是α和β，則α＋β的范圍是_____．
解：設(shè)A、B分別為平面M、N內(nèi)任一點(diǎn)，過(guò)A、B分別作AC⊥ ，BD⊥ 垂足為C、D．則∠BAD=α，∠ABC=β,α+β≤α+∠ABD=90°
又∵α+β≥0°,∴α+β∈[0°，90°]
答案：[0°，90°]
7．在平面角為銳角的二面角α?EF?β中，A∈EF，AG α，∠GAE＝45°，若AG與β所成角為30°，則二面角α?EF?β的平面角為_(kāi)_____．
答案：45°
8．二面角α? ?β的平面角為120°，A、B∈ ，AC α，BD β，AC⊥ ，BD⊥ ，若AB＝AC＝BD＝ ，則CD的長(zhǎng)為 ．
解析：∵ ，AC⊥ ，BD⊥ ．AB∈ ．
∴ ，
∴
答案：2
9．在直角坐標(biāo)系中，設(shè)A（－2，3），B（3，－2），沿x軸把直角坐標(biāo)平面折成大小為θ的二面角后，｜AB｜＝4 ，則θ的值為 ．
答案：60°


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