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3.2.1 實際問題中導(dǎo)數(shù)的意義
過程：
一、主要知識點：
1. 基本方法：
（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：設(shè)函數(shù)y＝f（x）在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個區(qū)間內(nèi) >0，那么函數(shù)y＝f（x）為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個區(qū)間內(nèi) <0，那么函數(shù)y＝f（x）為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù).
（2）用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：①求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）. ②令f′（x）＞0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間. ③令f′（x）＜0解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間.
（3）判別f（x0）是極大、極小值的方法：若 滿足 ，且在 的兩側(cè) 的導(dǎo)數(shù)異號，則 是 的極值點， 是極值，并且如果 在 兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則 是 的極大值點， 是極大值；如果 在 兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則 是 的極小值點， 是極小值.
（4）求函數(shù)f（x）的極值的步驟：①確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′（x）. ②求方程f'（x）＝0的根. ③用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格. 檢查f'（x）在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，即都為正或都為負(fù)，則f（x）在這個根處無極值.
（5）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟：（1）求 在 內(nèi)的極值；（2）將 的各極值與 、 比較得出函數(shù) 在 上的最值.
2、基本思想：學(xué)習(xí)的目的，就是要會實際應(yīng)用，本講主要是培養(yǎng)學(xué)生運用導(dǎo)數(shù)知識解決實際問題的意識，思想方法以及能力.
解決實際應(yīng)用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù). 把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系近似化，形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題，再化為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解.
根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當(dāng)選定變化區(qū)間，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，是這部分的主要技巧．

二、典型例題
例1、在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？
思路一：設(shè)箱底邊長為x cm，則箱高 cm，得箱子容積V是箱底邊長x的函數(shù)： ，從求得的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，箱子的高恰好是原正方形邊長的 ，這個結(jié)論是否具有一般性？

變式：從一塊邊長為a的正方形鐵皮的各角截去相等的方塊，把各邊折起來，做成一個無蓋的箱子，箱子的高是這個正方形邊長的幾分之幾時，箱子容積最大？

提示： 答案： ．
評注：這是一道實際生活中的優(yōu)化問題，建立的目標(biāo)函數(shù)是三次函數(shù)，用過去的知識求其最值往往沒有一般方法，即使能求出，也要涉及到較高的技能技巧. 而運用導(dǎo)數(shù)知識，求三次目標(biāo)函數(shù)的最值就變得非常簡單，對于實際生活中的優(yōu)化問題，如果其目標(biāo)函數(shù)為高次多項式函數(shù)，簡單的分式函數(shù)，簡單的無理函數(shù)，簡單的指數(shù)，對數(shù)函數(shù)，或它們的復(fù)合函數(shù)，均可用導(dǎo)數(shù)法求其最值. 可見，導(dǎo)數(shù)的引入，大大拓寬了中學(xué)數(shù)學(xué)知識在實際優(yōu)化問題中的應(yīng)用空間.

例2、（2006年福建卷）統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量為y（升），關(guān)于行駛速度 （千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：
已知甲、乙兩地相距100千米．
（I）當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？
（II）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？
解：（I）當(dāng) 時，汽車從甲地到乙地行駛了 小時，
要耗油 （升）．
答：當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升．
（II）當(dāng)速度為 千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了 小時，設(shè)耗油量為 升，
依題意得

令 得
當(dāng) 時， 是減函數(shù)；
當(dāng) 時， 是增函數(shù)．
當(dāng) 時， 取到極小值
因為 在 上只有一個極值，所以它是最小值．
答：當(dāng)汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升．

例3、求拋物線 上與點 距離最近的點.
解：設(shè) 為拋物線 上一點，
則 .
與 同時取到極值.
令 .
由 得 是唯一的駐點.
當(dāng) 或 時， 是 的最小值點，此時 .
即拋物線 上與點 距離最近的點是（2，2）.

例4、煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵而污染環(huán)境. 已知落在地面某處的煙塵濃度與該處至煙囪距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比，現(xiàn)有兩座煙囪相距20 ，其中一座煙囪噴出的煙塵量是另一座的8倍，試求出兩座煙囪連線上的一點，使該點的煙塵濃度最小.
解：不失一般性，設(shè)煙囪A的煙塵量為1，則煙囪B的煙塵量為8 并設(shè)AC＝ ，
于是點C的煙塵濃度為 ，
其中 為比例系數(shù).

令 ，有 ，
即 .
解得在（0，20）內(nèi)惟一駐點 .
由于煙塵濃度的最小值客觀上存在，并在（0，20）內(nèi)取得，
在惟一駐點 處，濃度 最小，即在AB間距A處 處的煙塵濃度最小.

例5、已知拋物線y＝－x2+2，過其上一點P引拋物線的切線l，使l與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積最小，求l的方程.
解：設(shè)切點P（x0，－x02+2）（x0＞0），由y＝－x2+2得y′＝－2x，
∴k1＝－2x0.
∴l(xiāng)的方程為y－（－x02+2）＝－2x0（x－x0），令y＝0，得x＝ 令x＝0，得y＝x02+2，
∴三角形的面積為S＝ ? ?（x02+2）＝ .
∴S′＝ . 令S′＝0，得x0＝ （∵x0＞0）. 　
∴當(dāng)0＜x0＜ 時，S′＜0;　當(dāng)x0＞ 時，S′＞0.
∴x0＝ 時，S取極小值 ∵只有一個極值，
∴x＝ 時S最小，此時k1＝－ ，切點為（ ， ）.
∴l(xiāng)的方程為y�。� ＝－ （x－ ），即2 x+3y－8＝0.

例6、在甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最�。�
解：設(shè)∠BCD＝Q，則BC＝ ，CD＝40cotθ，（0＜θ＜ ＝，
∴AC＝50－40cotθ
設(shè)總的水管費用為f（θ），依題意，有
f（θ）＝3a（50－40?cotθ）+5a?
＝150a+40a?
∴f′（θ）＝40a?
令f′（θ）＝0，得cosθ＝
根據(jù)問題的實際意義，當(dāng)cosθ＝ 時，函數(shù)取得最小值，
此時sinθ＝ ，∴cotθ＝ ，
∴AC＝50－40cotθ＝20（km），即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省.

例7、（2006年江蘇卷）請您設(shè)計一個帳篷．它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如圖所示）．試問當(dāng)帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為多少時，帳篷的體積最大？

解：設(shè)OO1為 ，則
由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為： ，
故底面正六邊形的面積為：
＝ ，（單位： ）
帳篷的體積為：
（單位： ）
求導(dǎo)得 ．
令 ，解得 （不合題意，舍去）， ，
當(dāng) 時， ， 為增函數(shù)；
當(dāng) 時， ， 為減函數(shù)．
∴當(dāng) 時， 最大．
答：當(dāng)OO1為 時，帳篷的體積最大，最大體積為 ．
點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的基礎(chǔ)知識，以及運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力．
三、小結(jié) ：
⑴解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，找出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義區(qū)間；所得結(jié)果要符合問題的實際意義．
⑵根據(jù)問題的實際意義來判斷函數(shù)最值時，如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一個極值點，那么這個極值就是所求最值，不必再與端點值比較．
⑶相當(dāng)多有關(guān)最值的實際問題用導(dǎo)數(shù)方法解決較簡單
四、課后作業(yè)：

本文來自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/gaoer/64341.html

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