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2． 1．2離散型隨機變量的分布列
目標：
知識與技能：會求出某些簡單的離散型隨機變量的概率分布。
過程與方法：認識概率分布對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性。
情感、態(tài)度與價值觀：認識概率分布對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性。
重點：離散型隨機變量的分布列的概念
教學難點：求簡單的離散型隨機變量的分布列
授類型：新授
時安排：2時
教 具：多媒體、實物投影儀
教學過程：
一、復習引入：
1.隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量表示，那么這樣的變量叫做隨機變量 隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示
2. 離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量
3．連續(xù)型隨機變量: 對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量
4.離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用 變量表示隨機試驗的結果；但是離散型隨機變量的結果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結果不可以一一列出
若 是隨機變量， 是常數(shù)，則 也是隨機變量 并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型）
請同學們閱讀本P5-6的內容，說明什么是隨機變量的分布列？
二、講解新：
1. 分布列:設離散型隨機變量ξ可能取得值為
x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一個值xi（i=1，2，…）的概率為 ，則稱表
ξx1x2…xi…
PP1P2…Pi…
為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列
2. 分布列的兩個性質：任何隨機事發(fā)生的概率都滿足: ，并且不可能事的概率為0，必然事的概率為1．由此你可以得出離散型隨 機變量的分布列都具有下面兩個性質：
⑴Pi≥0，i＝1，2，…；
⑵P1 +P2+…=1．
對于離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率的和 即
3.兩點分布列:
例1.在擲一枚圖釘?shù)碾S機試驗中，令

如果針尖向上的概率為 ，試寫出隨機變量 X 的分布列．
解：根據(jù)分布列的性質，針尖向下的概率是（ ) ．于是，隨機變量 X 的分布列 是
ξ01
P

像上面這樣的分布列稱為兩點分布列．
兩點分布列的應用非常廣泛．如抽取的彩券是否中獎；買回的一產(chǎn)品是否為正品；新 生嬰兒的性別；投籃是否命中等，都可以用兩點分布列研究．如果隨機變量X的分布列為兩點分布列，就稱X服從兩點分布 ( two一point distribution)，而稱 =P (X = 1）為成功概率．
兩點分布又稱0一1分布．由于只有兩個可能結果的隨機試驗叫伯努利（ Bernoulli ) 試驗，所以還稱這種分布為伯努利分布．
，
，
， ．
4. 超幾何分布列：
例 2．在含有 5 次品的 100 產(chǎn)品中，任取 3 ，試求：
(1)取到的次品數(shù)X 的分布列；
（2）至少取到1次品的概率．
解： (1)由于從 100 產(chǎn)品中任取3 的結果數(shù)為 ，從100 產(chǎn)品中任取3，
其中恰有k 次品的結果數(shù)為 ，那么從 100 產(chǎn)品中任取 3 ，其中恰有 k 次品的概率為
。
所以隨機變量 X 的分布列是

X0123
P

(2)根據(jù)隨機變量X 的分布列，可得至少取到 1 次品的概率
P ( X≥1 ) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 )
≈0.138 06 + 0. 005 88 + 0. 00006
= 0. 144 00 .
一般地，在含有 次品的 N 產(chǎn)品中，任取 n ，其中恰有X次品數(shù)，則事 {X=k｝發(fā)生的概率為
,
其中 ，且 ．稱分布 列
X01…

P

為超幾何分布列．如果隨機變量 X 的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量 X 服從超幾何分布（ hypergeometriC distribution ) .
例 3．在某年級的聯(lián)歡會上設計了一個摸獎 游戲，在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同．一次從中摸出5個球，至少摸到3個紅球就中獎．求中獎的概率．
解：設摸出紅球的個數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中 N = 30 , =10, n=5 ．于是中獎的概率
P (X≥3 ) = P (X =3 ) + P ( X = 4 ）十 P ( X = 5 )
= ≈0.191.
思 考：如果要將這個游戲的中獎率控制在55%左右，那么應該如何設計中獎規(guī)則？

　例4.已知一批產(chǎn)品共 ，其中 是次品，從中任取 ，試求這 產(chǎn)品中所含次品數(shù) 的分布律。
　　解 顯然，取得的次品數(shù) 只能是不大于 與 最小者的非負整數(shù)，即 的可能取值為：0，1，…， ，由古典概型知
　　
　　此時稱 服從參數(shù)為 的超幾何分布。
　　注 超幾何分布的上述模型中，“任取 ”應理解為“不放回地一次取一，連續(xù)取 ”.如果是有放回地抽取，就變成了 重貝努利試驗，這時概率分布就是二項分布.所以兩個分布的區(qū)別就在于是不放回地抽樣，還是有放回地抽樣.若產(chǎn)品總數(shù) 很大時，那么不放回抽樣可以近似地看成有放回抽樣.因此，當 時，超幾何分布的極限分布就是二項分布，即有如下定理.
　　定理 如果當 時， ，那么當 時（ 不變），則
　　 。
　　由于普阿松分布又是二項分布的極限分布，于是有：
超幾何分布 二項分布 普阿松分布.
例5．一盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色三種小球，已知紅球個數(shù)是綠球個數(shù)的兩倍，黃球個數(shù)是綠球個數(shù)的一半．現(xiàn)從該盒中隨機取出一個球，若取出紅球得1分，取出黃球得0分，取出綠球得－1分，試寫出從該盒中取出一球所得分數(shù)ξ的分布列．
分析：欲寫出ξ的分布列，要先求出ξ的所 有取值，以及ξ取每一值時的概率．
解：設黃球的個數(shù)為n，由題意知
　　綠球個數(shù)為2n，紅球個數(shù)為4n，盒中的總數(shù)為7n．
　∴　 ， ， ．
　　　　所以從該盒中隨機取出一球所得分數(shù)ξ的分布列為
ξ10－1

說明：在寫出ξ的分布列后，要及時檢查所有的概率之和是否為1．
例6．某一射手射擊所得的環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：
ξ45678910
P0.020.040.060.090.280.290.22
求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”的概率．
　　分析：“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”是指互斥事“ξ＝7”、“ξ＝8”、“ξ＝9”、“ξ＝10”的和，根據(jù)互斥事的概率加法公式，可以求得此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”的概率．
解：根據(jù)射手射擊所得的環(huán)數(shù)ξ的分布列，有
　　　P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22.
所求的概率為 P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88
四、堂練習：
某一射手射擊所得環(huán)數(shù) 分布列為
45678910
P0．020．040．060．090．280．290．22
求此射手“射擊一次命中環(huán) 數(shù)≥7”的概率
解：“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”是指互斥事“ =7”，“ =8”，“ =9”，“ =10”的和，根據(jù)互斥事的概率加法公式，有：
P（ ≥7）=P（ =7）+P（ =8）+P（ =9）+P（ =10）=0.88
注：求離散型隨機變量 的概率分布的步驟:
（1）確定隨機變量的所有可能的值xi
（2）求出各取值的概率p( =xi)=pi
（3）畫出表格
五、小結 ：⑴根據(jù)隨機變量的概率分步（分步列），可以求隨機事的概率；⑵兩點分布是一種常見的離散型隨機變量的分布，它是概率論中最重要的幾種分布之一 (3) 離散型隨機變量的超幾何分布
六、后作業(yè)：
七、板書設計（略）
八、后記：
預習提綱：
�、攀裁唇凶鲭x散型隨機變量ξ的數(shù)學期望？它反映了離散型隨機變量的什么特征？
�、齐x散型隨機變量ξ的數(shù)學期望有什么性質？

本文來自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/gaoer/45841.html

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