2．3離散型隨機(jī)變量的均值與方差
2．3．1離散型隨機(jī)變量的均值
目標(biāo)：
知識(shí)與技能：了解離散型隨機(jī)變量的均值或期望的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值或期望．
過程與方法：理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξ B（n,p），則Eξ=np”.能熟
練地應(yīng)用它們求相應(yīng)的離散型隨機(jī)變量的均值或期望。
情感、態(tài)度與價(jià)值觀：承前啟后，感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美 ,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的化功能與人
價(jià)值。
重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的均值或期望的概念
教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值或期望
授類型：新授
時(shí)安排：2時(shí)
教 具：多媒體、實(shí)物投影儀
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1.隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量 隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示
2. 離散型隨機(jī)變量:對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量
3．連續(xù)型隨機(jī)變量: 對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量
4.離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出
若 是隨機(jī)變量， 是常數(shù)，則 也是隨機(jī)變量 并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型）
5. 分布列:設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取得值為x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一個(gè)值xi（i=1，2，…）的概率為 ，則稱表
ξx1x2…xi…
PP1P2…Pi…
為隨機(jī)變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列
6. 分布列的兩個(gè)性質(zhì)： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．
7.離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布:在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事發(fā)生的次數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量．如果在一次試驗(yàn)中某事發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事恰好發(fā)生k次的概率是
，（k＝0,1,2,…，n， ）．
于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下：
ξ01…k…n
P
…
稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記 ＝b(k；n，p)．
8. 離散型隨機(jī)變量的幾何分布：在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事第一次發(fā)生時(shí)，所作試驗(yàn)的次數(shù)ξ也是一個(gè)正整數(shù)的離散型隨機(jī)變量．“ ”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)事第一次發(fā)生.如果把k次試驗(yàn)時(shí)事A發(fā)生記為 、事A不發(fā)生記為 ，P( )=p，P( )=q(q=1-p)，那么
（k＝0,1,2,…， ）．于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下：
ξ123…k…
P
…
…
稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從幾何分布
記作g(k，p)= ，其中k＝0,1,2,…， ．
二、講解新：
根據(jù)已知隨機(jī)變量的分布列，我們可以方便的得出隨機(jī)變量的某些制定的概率，但分布列的用途遠(yuǎn)不止于此，例如：已知某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下
ξ45678910
P0.020.040.060.090.280.290.22
在n次射擊之前，可以根據(jù)這個(gè)分布列估計(jì)n次射擊的平均環(huán)數(shù)．這就是我們今天要學(xué)習(xí)的離散型隨機(jī)變量的均值或期望
根據(jù)射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列，
我們可以估計(jì)，在n次射擊中，預(yù)計(jì)大約有
次得4環(huán)；
次得5環(huán)；
…………
次得10環(huán)．
故在n次射擊的總環(huán)數(shù)大約為
，
從而，預(yù)計(jì)n次 射擊的平均環(huán)數(shù)約為
．
這是一個(gè)由射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列得到的，只與射擊環(huán)數(shù)的可能取值及其相應(yīng)的概率有關(guān)的常數(shù)，它反映了射手射擊的平均水平．
對(duì)于任一射手，若已知 其射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列，即已知各個(gè) （i=0，1，2，…，10），我們可以同樣預(yù)計(jì)他任意n次射擊的平均環(huán)數(shù):
… ．
1. 均值或數(shù)學(xué)期望: 一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為
ξx1x2…xn…
Pp1p2…pn…
則稱 … … 為ξ的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望．
2. 均值或數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平
3. 平均數(shù)、均值:一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令 … ，則有 … ， … ，所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值
4. 均值或期望的一個(gè)性質(zhì):若 (a、b是常數(shù))，ξ是隨機(jī)變量，則η也是隨機(jī)變量，它們的分布列為
ξx1x2…xn…
η
…
…
Pp1p2…pn…
于是 … …
＝ … …) … …)
＝ ，
由此，我們得到了期望的一個(gè)性質(zhì):
5.若ξ B（n,p），則Eξ=np
證明如下：
∵ ，
∴ 0× ＋1× ＋2× ＋…＋k× ＋…＋n× ．
又∵ ，
∴ ＋ ＋…＋ ＋…＋ ．
故 若ξ～B(n，p)，則 np．
三、講解范例：
例1. 籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為0.7，求他罰球一次得分 的期望
解：因?yàn)?，
所以
例2. 一次單元測驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分 學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測驗(yàn)中對(duì)每題都從4個(gè)選擇中隨機(jī)地選擇一個(gè)，求學(xué)生甲和乙在這次英語單元測驗(yàn)中的成績的期望
解：設(shè)學(xué)生甲和乙在這次英語測驗(yàn)中正確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是 ，則 ~ B（20,0.9）, ,
由于答對(duì)每題得5分，學(xué)生甲和乙在這次英語測驗(yàn)中的成績分別是5 和5 所以，他們?cè)跍y驗(yàn)中的成績的期望分別是：
例3. 根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0. 01．該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60 000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元．為保護(hù)設(shè)備，有以下3 種方案：
方案1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3 800 元．
方案2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2 000 元．但圍墻只能防小洪水．
方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水．
試比較哪一種方案好．
解：用X1 、X2和X3分別表示三種方案的損失．
采用第1種方案，無論有無洪水，都損失3 800 元，即
X1 = 3 800 .
采用第2 種方案，遇到大洪水時(shí)，損失2 000 + 60 000=62 00 0 元；沒有大洪水時(shí)，損失2 000 元，即
同樣，采用第 3 種方案，有
于是，
EX1＝3 800 ,
EX2＝62 000×P (X2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X2 = 2 000 )
= 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 ,
EX3 = 60000×P (X3 = 60000) + 10 000×P(X3 =10 000 ) + 0×P (X3 =0)
= 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 .
采取方案2的平均損失最小，所以可以選擇方案2 .
值得注意的是，上述結(jié)論是通過比較“平均損失”而得出的．一般地，我們可以這樣理解“平均損失”：假設(shè)問題中的氣象情況多次發(fā)生，那么采用方案 2 將會(huì)使損失減到最小．由于洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機(jī)的，所以對(duì)于個(gè)別的一次決策，采用方案 2 也不一定是最好的．
例4.隨機(jī)拋擲一枚骰子，求所得骰子點(diǎn)數(shù) 的期望
解：∵ ，
=3.5
例5.有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是15%，對(duì)這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查， 每次抽取1，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次品為止，但抽查次數(shù)不超過10次 求抽查次數(shù) 的期望（結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字）
解：抽查次數(shù) 取1 10的整數(shù)，從這批數(shù)量很大的產(chǎn)品中抽出1檢查的試驗(yàn)可以認(rèn)為是彼此獨(dú)立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前 次取出正品而第 次（ =1，2，…，10）取出次品的概率：
（ =1，2，…，10）
需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率： 由此可得 的概率分布如下：
12345678910
0.150.12750.10840.0920.07830.06660.05660.04810.04090.231 6
根據(jù)以上的概率分布，可得 的期望
例6.隨機(jī)的拋擲一個(gè)骰子，求所得骰子的點(diǎn)數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．
解：拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)ξ的概率分布為
ξ123456
所以
1× ＋2× ＋3× ＋4× ＋5× ＋6×
＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)× ＝3.5．
拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．
例7.某城市出租汽車的起步價(jià)為10元，行駛路程不超出4km時(shí)租車費(fèi)為10元，若行駛路程超出4km，則按每超出lkm加收2元計(jì)費(fèi)(超出不足lkm的部分按lkm計(jì))．從這個(gè)城市的民航機(jī)場到某賓館的路程為15km．某司機(jī)經(jīng)常駕車在機(jī)場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時(shí)間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個(gè)城市規(guī)定，每停車5分鐘按lkm路程計(jì)費(fèi) )，這個(gè)司機(jī)一次接送旅客的行車路程ξ是一個(gè)隨機(jī)變量．設(shè)他所收租車費(fèi)為η
(Ⅰ)求租車費(fèi)η關(guān)于行車路程ξ的關(guān)系式；
(Ⅱ)若隨機(jī)變量ξ的分布列為
ξ15161718
P0.10.50.30.1
求所收租車費(fèi)η的數(shù)學(xué)期望．
(Ⅲ)已知某旅客實(shí)付租車費(fèi)38元，而出租汽車實(shí)際行駛了15km，問出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多幾分鐘?
解：(Ⅰ)依題意得 η=2(ξ-4)十10，即 η=2ξ+2；
(Ⅱ)
∵ η=2ξ+2
∴ 2Eξ+2=34.8 （元）
故所收租車費(fèi)η的數(shù)學(xué)期望為34.8元．
(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5 (18-15)=15
所以出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多15分鐘
四、堂練習(xí)：
1. 口袋中有5只球，編號(hào)為1，2，3，4，5，從中任取3球，以 表示取出球的最大號(hào)碼，則 （ ）
A．4； B．5； C．4.5； D．4.75
答案：C
2. 籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中的1分，罰不中得0分．已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，求
⑴他罰球1次的得分ξ的數(shù)學(xué)期望；
⑵他罰球2次的得分η的數(shù)學(xué)期望；
⑶他罰球3次的得分ξ的數(shù)學(xué)期望．
解：⑴因?yàn)?， ，所以
1× ＋0×
⑵η的概率分布為
η012
P
所以 0× ＋1× ＋2× ＝1.4．
⑶ξ的概率分布為
ξ０１23
P
所以 0× ＋1× ＋2× ＝2.1.
3．設(shè)有m升水，其中含有大腸桿菌n個(gè)．今取水1升進(jìn)行化驗(yàn)，設(shè)其中含有大腸桿菌的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．
分析：任取1升水，此升水中含一個(gè)大腸桿菌的概率是 ，事“ξ=k”發(fā)生，即n個(gè)大腸桿菌中恰有k個(gè)在此升水中，由n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事A（在此升水中含一個(gè)大腸桿菌）恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算方法可求出P(ξ=k),進(jìn)而可求Eξ.
解：記事A：“在所取的1升水中含一個(gè)大腸桿菌”，則P(A)= ．
∴ P(ξ=k)=Pn(k)=C )k(1－ )n－k（k=0,1,2,….,n）．
∴ ξ～B(n, )，故 Eξ =n× =
五、小結(jié) ：(1)離散型隨機(jī)變量的期望，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平；
(2)求離散型隨機(jī)變量ξ的期望的基本步驟：①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；②求ξ取各個(gè)值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的定義求出Eξ 公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的期望Eξ=np
六、后作業(yè)：P64-65練習(xí)1,2,3,4 P69 A組1,2,3
1.一袋子里裝有大小相同的3 個(gè)紅球和兩個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè)，則其中含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是 （用數(shù)字作答）
解：令取取黃球個(gè)數(shù) (=0、1、2)則 的要布列為
012
p
于是 E（ ）=0× +1× +2× =0.8
故知紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為1.2
2.袋中有4個(gè)黑球、3個(gè)白球、2個(gè)紅球，從中任取2個(gè)球，每取到一個(gè)黑球記0分，每取到一個(gè)白球記1分，每取 到一個(gè)紅球記2分，用 表示得分?jǐn)?shù)
①求 的概率分布列
②求 的數(shù)學(xué)期望
解：①依題意 的取值為0、1、2、3、4
=0時(shí)，取2黑 p( =0)=
=1時(shí)，取1黑1白 p( =1)=
=2時(shí)，取2白或1紅1黑p( =2)= +
=3時(shí)，取1白1紅，概率p( =3)=
=4時(shí) ，取2紅，概率p( =4)=
01234
p
∴ 分布列為
（2）期望E =0× +1× +2× +3× +4× =
3.學(xué)校新進(jìn)了三臺(tái)投影儀用于多媒體教學(xué)，為保證設(shè)備正常工作，事先進(jìn)行獨(dú)立試驗(yàn)，已知各設(shè)備產(chǎn)生故障的概率分別為p1、p2、p3，求試驗(yàn)中三臺(tái)投影儀產(chǎn)生故障的數(shù)學(xué)期望
解：設(shè) 表示產(chǎn)生故障的儀器數(shù)，Ai表示第i臺(tái)儀器出現(xiàn)故障（i=1、2、3）
表示第i臺(tái)儀器不出現(xiàn)故障，則：
p( =1)=p(A1• • )+ p( •A2• )+ p( • •A3)
=p1(1－p2) (1－p3)+ p2(1－p1) (1－p3)+ p3(1－p1) (1－p2)
= p1+ p2+p3－2p1p2－2p2p3－2p3p1+3p1p2p3
p( =2)=p(A1• A2• )+ p(A1• • )+ p( •A2•A3)
= p1p2 (1－p3)+ p1p3(1－p2)+ p2p3(1－p1)
= p1p2+ p1p3+ p2p3－3p1p2p3
p( =3)=p(A1• A2•A3)= p1p2p3
∴ =1×p( =1)+2×p( =2)+3×p( =3)= p1+p2+p3
注：要充分運(yùn)用分類討論的思想，分別求出三臺(tái)儀器中有一、二、三臺(tái)發(fā)生故障的概率后再求期望
4.一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè)，含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是 1.2
解：從5個(gè)球中同時(shí)取出2個(gè)球，出現(xiàn)紅球的分布列為
012
5. 、 兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官�，每�?duì)三名隊(duì)員， 隊(duì)隊(duì)員是 ， 隊(duì)隊(duì)員是 ，按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對(duì)陣隊(duì)員之間勝負(fù)概率如下：
對(duì)陣隊(duì)員A 隊(duì)隊(duì)員勝的概率B隊(duì)隊(duì)員勝的概率
A¬1¬對(duì)B1
A¬2¬對(duì)B2
A¬3¬ 對(duì)B3
現(xiàn)按表中對(duì)陣方式出場，每場勝隊(duì)得1分，負(fù)隊(duì)得0分，設(shè) 隊(duì)， 隊(duì)最后所得分分別為 ，
（1）求 ， 的概率分布； （2）求 ，
解：（Ⅰ） ， 的可能取值分別為3，2，1，0
根據(jù)題意知 ，所以
（Ⅱ） ；
因?yàn)?,所以
七、板書設(shè)計(jì)（略）
八、教學(xué)反思：
(1)離散型隨機(jī)變量的期望，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平；
(2)求離散型隨機(jī)變量ξ的期望的基本步驟：
①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；
②求ξ取各個(gè)值的概率，寫出分布列；
③根據(jù)分布列，由期望的定義求出Eξ 公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的期望Eξ=np 。
本文來自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/gaoer/50432.html
相關(guān)閱讀：古典概型及隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生