2014年1月期末試題分類匯編——幾何綜合
（2014?石景山1月期末?25）將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為，旋轉(zhuǎn)后使各邊長變?yōu)樵瓉淼谋�，得�?我們將這種變換記為[]．
（1）如圖①,對作變換[]得，則：
= ___；直線與直線所夾的銳角為 __ °；
（2）如圖②，中，，對 作變換[]得，使得四邊形為梯形，其中∥,且梯形的面積為，求和的值．
25. 解：（1） 3 ， 60 ………………………………………2分
（2） 由題意可知：∽
……………………………4分
在中,
………………………………5分
在直角梯形中，
…………………………6分
………………………………7分
（2014?西城1月期末?24）已知：△ABC，△DEF都是等邊三角形，是BC與EF的中點(diǎn)，連接AD，BE.
（1）如圖1，當(dāng)EF與BC在同一條直線上時(shí)，直接寫出AD與BE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；
（2）△ABC固定不動(dòng)，將圖1中的△DEF繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（≤≤）角，如圖2所示，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請加以證明；若不成立，說明理由；
（3）△ABC固定不動(dòng)，將圖1中的△DEF繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（≤≤）角，作DH⊥BC于點(diǎn)H．設(shè)BH＝x，線段AB，BE，ED，DA所圍成的圖形面積為S．當(dāng)AB＝6，DE＝2時(shí)，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的x的取值范圍．
24．（1），．2分
（2）證明：連接D，A．
在等邊三角形ABC中，為BC的中點(diǎn)，
∴ ，，．
∴ ．
同理，，．
∴ ，．3分
∴ △AD ∽△BE．
∴ ．4分
延長BE交A于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)K．
∴ ，．
∴ ．
∴ ．5分
（3）解：(?)當(dāng)△DEF繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(≤≤)角時(shí)，
∵ △AD ∽△BE，
∴ ．
．
∴ （3≤≤）．6分
(?) 當(dāng)△DEF繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(≤≤)角時(shí)，可證△AD∽△BE，
．
∴ (≤≤3)．
綜上，(≤≤)．7分
（2014?海淀1月期末?24）已知四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形 ，且AB>CE．
（1）如圖1，連接BG、DE．求證：BG=DE；
（2）如圖2，如果正方形ABCD的邊長為，將正方形CEFG繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)恰好使得CG//BD，BG=BD.
�、偾蟮亩葦�(shù)；
②請直接寫出正方形CEFG的邊長的值.
24. （本小題滿分7分）
解：（1）證明：
∵四邊形和為正方形，
∴，，.
∴.
. ……………………1分
∴△≌△.
∴.………………………………2分
�。�2）①連接BE .
由（1）可知：BG=DE.
∵，
∴.
∴.
∵,
∴.
∴…………………………3分
∵,
∴△≌△.
∴.………………………………4分
∵,
∴.
∴△.
∴ …………………………5分
②正方形的邊長為. ……………………………………………7分
（2014?朝陽1月期末?25）將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜180°)得到△DBE，直線DE與直線AC相交于點(diǎn)F，連接BF．
（1）如圖1，若α=60°，DF=2AF，請直接寫出等于 ；
（2）若DF=AF，（>0，且≠1）
①如圖2，求；（用含α，的式子表示）
②如圖3，依題意補(bǔ)全圖形，請直接寫出等于 ．（用含α，的式子表示）
圖1 圖2 圖3
25.解：（1）1． ………………………………1分
（2）①如圖2，在DF上截取DG，使得DG=AF，連接BG．
由旋轉(zhuǎn)知，DB=AB，∠D=∠A．
∴△DBG≌△ABF．
∴BG=BF，∠GBF=α． ………………3分
過點(diǎn)B作BN⊥GF于點(diǎn)N，
∴點(diǎn)N為GF中點(diǎn)，∠FBN=．
在Rt△BNF中，NF=，
∴GF=．
∵DF=DG+GF， ……………………4分
∴AF=AF+
(-1)AF=．
∴． ……………5分
②如圖3，畫圖正確． …………………6分
�。� ………………………8分
注明：以上各題的其它的正確解法，酌情給分.
（2014?東城1月期末?24）如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片和重合放置，其中.
（1）操作發(fā)現(xiàn)
如圖2，固定，使繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，：
圖1 圖2
線段與的位置關(guān)系是 ；
設(shè)的面積為，的面積為，則與的數(shù)量關(guān)系是 ，證明你的結(jié)論；
（2）猜想論證
當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中與的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了和中BC，CE邊上的高，請你證明小明的猜想．
24．解：（1）①線段與的位置關(guān)系是 平行 ． …………………..1分
②S1與S2的數(shù)量關(guān)系是 相等 ．
證明：如圖2，過D作DN⊥AC交AC于點(diǎn)N，過E作E⊥AC交AC延長線于，過C作CF⊥AB交AB于點(diǎn)F．
由①可知 △ADC是等邊三角形，∥，
∴DN=CF, DN=E．
∴CF=E．
∵，
∴．
又∵,
∴． 圖2
∵，，
∴=． …………………..3分
（2）證明：如圖3，作DG⊥BC于點(diǎn)G，AH⊥CE交EC延長線于點(diǎn)H.
∵．
又∵．
又∵,
∴△AHC≌△DGC．
∴AH=DG．
又∵CE=CB, 圖3
∴． ……………………..7分
（2014?豐臺(tái)1月期末?25）已知和關(guān)于直線對稱(點(diǎn)的對稱點(diǎn)是點(diǎn))，點(diǎn)、分別是線段和線段上的點(diǎn)，且點(diǎn)在線段的垂直平分線上，聯(lián)結(jié)、，交于點(diǎn)．
（1）如圖（1），求證：；
（2）如圖（2），當(dāng)時(shí)，是線段上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、、，的延長線交于點(diǎn)，，，試探究線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． （2）
25. (1)證明：如圖1 連接FE、FC
∵點(diǎn)F在線段EC的垂直平分線上,
∴ FE=FC ∴∠l=∠2 ………………………1分
∵△ABD和△CBD關(guān)于直線BD對稱．
∴AB=CB ,∠4=∠3，又BF=BF
∴△ABF≌△CBF， ∴∠BAF=∠2，F(xiàn)A=FC
∴FE=FA，∠1=∠BAF． …………………………2分
∴∠5=∠6，
∵ ∠l+∠BEF=1800，∴∠BAF+∠BEF=1800
∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=3600
∴∠AFE+∠ABE=1800 ………………………………3分
又∵∠AFE+∠5+∠6=1800 ，
∴∠5+∠6=∠3+∠4
∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD………………………4分
(2)解：F=FN ……………………………………………5分
證明：如圖2，由(1)可知∠EAF=∠ABD，
又∵∠AFB=∠GFA ∴△AFG∽△BFA
∴∠AGF=∠BAF
又∵∠BF=∠BAF，∴∠BF=∠AGF
又∵∠AGF=∠BG+∠BG∴∠BG=∠BG
∴BG=G…………………………6分
∵AB=AD ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF
又∵∠FGA=∠AGD．∴△AGF∽△DGA．
∵AF=AD 圖2
設(shè)GF=2a，則AG=3a，
∴GD=a，∴FD=DG-GF==a
∵∠CBD=∠ABD ，∠ABD=∠ADB，∴∠CBD=∠ADB.
∴．∴，設(shè)EG=2k，則G=BG=3k
過點(diǎn)F作FQ∥ED交AE于Q，
……………………7分
∴GQ=EG=．∴QE=， Q=G+GQ=3k+=
∵FQ∥ED，.∴F=FN……………8分
（2014?昌平1月期末?25）已知：四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，點(diǎn)E是射線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與C、D不重合），將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，得到△ABE'，連接EE'.
�。�1）如圖1，∠AEE'= °；
（2）如圖2，如果將直線AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后交直線BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作E∥AD交直線AF于點(diǎn)，寫出線段DE、BF、E之間的數(shù)量關(guān)系；
�。�3）如圖3，在（2）的條件下，如果CE=2，AE=，求E的長.
25．解：(1) 30°. …………………………………………………… 1分
(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，； ………………………………………… 2分
當(dāng)點(diǎn)E在CD的延長線上，
時(shí)，； ………………… 3分
時(shí)，； 時(shí)，. …………………………………………4分
(3)作于點(diǎn)G, 作于點(diǎn)H.
由AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，得∠ABC=∠DCB=60°，
易知四邊形AGHD是矩形和兩個(gè)全等的直角三角形.
則GH=AD , BG=CH.
∵,
∴點(diǎn)、B、C在一條直線上.
設(shè)AD=AB=CD=x,則GH=x,BG=CH=,.
作于Q.
在Rt△EQC中，CE=2, ,
∴, .
∴E'Q=.…………………………………5分
作于點(diǎn)P.
∵△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，得到△ABE'.
∴△A EE'是等腰三角形，.
∴在Rt△AP E'中，E'P=.
∴EE'=2 E'P=. ……………………………………………………………………6分
∴在Rt△EQ E'中，E'Q=.
∴.
∴. ………………………………………………………… 7分
∴，.
∴
在Rt△E'AF中,,
∴Rt△AG E'∽R(shí)t△FA E'.
∴
∴.
∴.
由（2）知：.
∴. ………………………………………………………… 8分
（2014?懷柔1月期末?24）（1）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)是邊BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），聯(lián)結(jié)A，以A為邊作等邊△AN，聯(lián)結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．
【類比探究】
（2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)是邊BC延長線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．
【拓展延伸】
（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點(diǎn)是邊BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），聯(lián)結(jié)A，以A為邊作等腰△AN，使頂角∠AN=∠ABC．聯(lián)結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
24.（（本小題滿分7分）
（1）證明：∵△ABC、△AN是等邊三角形，
∴AB=AC，A=AN，∠BAC=∠AN=60°，∴∠BA=∠CAN，
∴△BA≌△CAN（SAS），………………………………1分
∴∠ABC=∠ACN．………………………………2分
（2）結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立．………………………………3分
理由如下：∵△ABC、△AN是等邊三角形，∴AB=AC，A=AN，
∠BAC=∠AN=60°，∴∠BA=∠CAN，
∴△BA≌△CAN（SAS），………………………………4分
∴∠ABC=∠ACN．………………………………5分
（3）∠ABC=∠ACN．
理由如下：∵BA=BC，A=N，頂角∠ABC=∠AN，
∴底角∠BAC=∠AN，∴△ABC∽△AN，……………………6分
∴=，又∵∠BA=∠BAC?∠AC，∠CAN=∠AN?∠AC，
∴∠BA=∠CAN，∴△BA∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．………………………………7分
（2014?順義1月期末?24）如圖，和都是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，連結(jié)BD，BE，CE，延長CE交AB于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)G．
（1）求證：；
（2）若是邊長可變化的等腰直角三角形，并將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使CE的延長線始終與線段BD（包括端點(diǎn)B、D）相交．當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，求出的值．
24．解：（1）證明：∵，
∴．
∴．…………………………………………………1分
∵，且，
∴，
∴．…………………………………………………2分
又， …………………………………………… 3分
∴．………………………………………………4分
（2）解：∵，
∴．
①當(dāng)，DE=BE時(shí)，如圖①所示，
設(shè)AD=AE=x，則．
∵為等腰直角三角形，
∴．
∴．
∵+， 圖①
∴．
∴． ……………………………………………5分
�、诋�(dāng)，DE=DB時(shí)，如圖②所示，
同理設(shè)AD=AE=x，則．
∴．
∵，
∴．
∴． ……………… 6分 圖②
③當(dāng)，BD=BE時(shí)，如圖③所示，
同理設(shè)AD=AE=x，則．
∴BD=BE=x．
∴四邊形ADBE是正方形，
∴．
∴． …………7分 圖③
（2014?延慶1月期末?24）如圖①，已知點(diǎn)O為菱形ABCD的對稱中心，∠A=60°，將等邊△OEF的頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，OE ，OF分別交AB，BC于點(diǎn) ，N.
�。�1）求證：O=ON；
�。�2）寫出線段B ，BN與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明；
�。�3）將圖①中的△OEF繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②所示的位置，請寫出線段B ，BN
與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明.
24.
（1）證明：取BC的中點(diǎn)G，連接OG
∵菱形ABCD,∠A=60°
∴∠A=∠C=∠ABD=60°,AB=BC=CD=DA……1分
∵點(diǎn)O為菱形ABCD的對稱中心
∴OD=OB
∴，OG//CD ………………2分
∴∠BGO=∠C=60°, OG=OB
∵等邊△OEF ∴∠EOF=60° ∴∠1=∠2
∵∠BGO=∠ABD=60°
∴△OB≌△OGN
∴O=ON ………………3分
(2)由（1）可知，B=NG
∵OB=OD，BG=GC ∴ ………………4分
∵BG=BN+NG，AB=BC ∴ ………………5分
（3）取BC中點(diǎn)G 同理可證：∴△OB≌△OGN
∴B=GN ………………6分
∴BG=BN-NG
∵ ∴ ………………7分
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