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第2章 命題與證明檢測(cè)題
（本檢測(cè)題 滿分：120分，時(shí)間：120分鐘）
一、（每小題3分，共30分）
1.（2013•湖南湘潭中考）下列命題正確的是（　�。�
A.三角形的中位線平行且等于第三邊
B.對(duì)角線相等的四邊形是等腰梯形
C.四條邊都相等的四邊形是菱形
D.相等的角是對(duì)頂角
2.有如下命題：①無理數(shù)就是開方開不盡的數(shù)；②一個(gè)實(shí)數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；
③無理數(shù)包括正無理數(shù)、0、負(fù)無理數(shù)；④如果一個(gè)數(shù)的立方根是這個(gè)數(shù)本身，那么這個(gè)數(shù)是l或0．其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（　�。�
A.1 B. 2 C.3 D.4
3.下 列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（ ）
A ．一組對(duì)角相等　 B．對(duì)角線互相平分
C．一組對(duì)邊相等　 D．對(duì)角線互相垂直
4.（2013•四川攀枝花中考）下列命題錯(cuò)誤的是（ ）
A.菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)乘積的一半
B.矩形的對(duì)角線相等
C.有兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形
D.對(duì)角線相等的菱形是正方形
5.若四邊形的兩條對(duì)角線相等，則順次連接該四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是( )
A. 梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
6.如圖，在 中， 的垂直平分線分別交 于點(diǎn) ， 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ，已知 則四邊形 的面積是（　　）
A. B. C. D.

7.(2013•四川遂寧中考)如圖，在 中，∠ 90°，∠ 30°，以點(diǎn) 為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交 于點(diǎn) 和 ，再分別以點(diǎn) 為圓心，大于 的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn) ，連接 并延長(zhǎng)交 于點(diǎn) ，則下列說法中正確的個(gè)數(shù) 是（ ）
① 是∠ 的平 分線；②∠ 60°；③點(diǎn) 在 的中垂線上；④
.
A.1 B.2 C.3 D.4
8.用反證法證明“在 中，若 ，則 ”，第一步應(yīng)假設(shè)（　�。�
A. B. C. D.
9.如圖，將一個(gè)長(zhǎng)為 ，寬為 的矩形紙片對(duì)折兩次后，沿所得矩形兩鄰邊中點(diǎn)的
連線（虛線）剪下，將剪下的部分打開，得到的菱形的面積為（ ）
A. B． C． D．

10.如圖，是一張矩形紙片 ， ，若將紙片沿 折疊，使 落在 上，點(diǎn) 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) .若 ，則 （　�。�
A． B． C． D．
二、題（每小題3分，共24分）
11.如圖，在四邊形 中，已知 ，再添加一個(gè)條件___________（寫出一個(gè)即可），則四邊形 是平行四邊形．(圖形中不再添加輔助線)

12.命題：“如果 那么 ”的逆命題是________________，該命題是_____命題（填真或假）．
13.如圖，在菱形 中，對(duì)角線 相交于點(diǎn) ，若再補(bǔ)充一個(gè)條件能使菱形 成為正方形，則這個(gè)條件是 ．（只填一個(gè) 條件即可）
14.如圖，在 中, ， 分別是 和 的角平分線，且 ， ，則 的周長(zhǎng)是_______ .

15.如圖，矩形 的對(duì)角線 ， ，則圖中五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和為_______．
16.如圖，在等腰梯形 中， ， ， ， ， ，則上底 的長(zhǎng)是_______ .
17.（2013•山東萊蕪中考改編）下列命題是真命題的是 .
① 與 互為倒數(shù)；②若 ，則 ；③梯形的面積等于梯形的中位線與高的乘積的一半.
18 .寫一個(gè)與直角三角形有關(guān)的 定理 .
三、解答題（共66分）
19.(6分)如圖，在 中， 兩點(diǎn)分別在 和 上，求證： 不可能互相平分．
20.(8分)已知 是整數(shù)， 能被3整除，求證： 和 都能
被3整除．(用反證法證明)
21.（8分）如圖，在平行四邊形 中，對(duì)角線 相交于點(diǎn) ， 過點(diǎn) 且分別交 于點(diǎn) .求證： .

22.（10分）如圖，在 中， , 的垂直平分線 交 于點(diǎn) ，交 于點(diǎn) ，點(diǎn) 在 上，且 ．
⑴求證：四邊形 是平行四邊形.
⑵當(dāng) 滿足什么條件時(shí)，四邊形 是菱形？并說明理由．
23.（10分）如圖，在平行四邊形 中， 是對(duì)角線 上的兩點(diǎn)，且 .求證: .

24.（12分）如圖， ， 是 上一點(diǎn)， 于點(diǎn) ， 的延長(zhǎng)線 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) .求證： 是等腰三角形．
25.（12分）如圖，在 中， ，垂足為 ， 是 外角 的平分線， ，垂足為 .
（1）求證：四邊形 為矩形.
（2）當(dāng) 滿足什么條件時(shí)，四邊形 是一個(gè)正方形？并給出證明．

第2章 命題與證明檢測(cè)題參考答案
1.C 解析：因?yàn)槿�角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因
為對(duì)角線相等的四邊形還有矩形等，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)橄嗟鹊慕怯泻芏�，不一定都�?br>對(duì)頂角，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選C.
2.D 解析：①開方開不盡的數(shù)是無理數(shù)，但無理數(shù)就是開方開不盡的數(shù)是錯(cuò)誤的，例如 ，故①錯(cuò)誤；②一個(gè)實(shí)數(shù)的立方根不光是正數(shù)、負(fù)數(shù)，還可能是0，故②錯(cuò)誤；③無理數(shù)包括正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)，不包括0，故③錯(cuò)誤；④如果一個(gè)數(shù)的立方根是這個(gè)數(shù)本身，那么這個(gè)數(shù)是l，0或 ，故④錯(cuò)誤.故選D．
3.B 解析：利用平行四邊形的判定定理知B正確.
4.C 解析：直角梯形有兩個(gè)角相等，都是90°，但它不是等腰梯形，故選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的.
5.C 解析：由四邊形的兩條對(duì)角線相等，知順次連接該四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形的四條邊相等，即所得四邊形是菱形.
6.A 解析：∵ 是 的垂直平分線， 是 的中點(diǎn)，∴ ，
∴ ，∴ 四邊形 是矩形．
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 四邊形 的面積為 ．
7.D 解析：①根據(jù)作圖的過程可知， 是∠ 的平分線，故①正確.
②因?yàn)樵凇?中，∠ 90°，∠ 30°，所以∠ 60°.
又因?yàn)?是∠ 的平分線，所以∠ ∠ ∠ 30°，
所以∠ 90°－∠ 60°，故②正確.
③因?yàn)椤?∠ 30°，所以 ，所以點(diǎn) 在 的中垂線上，故③正確.
④因?yàn)樵?中，∠ 30°,所以 ，
所以 ，所以 .
因?yàn)?，
所以 ，
所以 ，故④正確.
綜上所述，正確的結(jié)論是①②③④，共有4個(gè)，故選D.
8.D 解析： 與60°的大小關(guān)系有 ， ， 三種情況，因而 的反面是 ．因此用反證法證明“ ”時(shí)，應(yīng)先假設(shè) ．故選D．
9.A 解析：由題意知 ， ，
10.A 解析：由折疊的性質(zhì)知 ，則四邊形 為正方形，
∴ .
11. 或 或 (答案不唯一)
12.如果 ，那么 假 解析：根據(jù)題意知，命題“如果 ，那么 ”的條件是“ ”，結(jié)論是“ ”，故逆命題是“如果 ，那么 ”，該命題是假命題．
13. （或 ， 等）
14.5 解析：∵ 分別是 和 的角平分線，
∴ ， .
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ 的周長(zhǎng) ．
15.28 解析：由勾股定理得 ，又 ，所以 ，
所以五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和為 .
16.2 解析： .
∵ 在等腰梯形 中， ，
∴ .
∵ ,∴ .
∴ .
17. ①② 解析：對(duì)于③，因?yàn)?，其中 分別是梯形上底的長(zhǎng)、下底的長(zhǎng)及高，而梯形中位線 ，所以 ，即梯形的面積等于梯形的中位線與高的乘積．
18.直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 解析：本題是一道開放型題目，只要保證命題是真命題即可．
19.證明：假設(shè) 可以互相平分，如圖，
連接 ，則四邊形 是平行四邊形，
∴ ，這與 相矛盾.
∴ 不可能互相平分．
20.證明：如果 不都能被3整除，那么有如下兩種情況：
（1） 兩數(shù)中恰有一個(gè)能被3整除，
不妨設(shè) 能被3整除， 不能被3整除，
令 （ 都是整數(shù)），
于是 ，
不能被3整除，與已知矛盾.
（2） 兩數(shù)都不能被3整除，令 （ 都是整數(shù)），則
，
不能被3整除，與已知矛盾.
由此可知， 都是3的倍數(shù)．
21.證明：∵ 四邊形 是平行四邊形，∴ ，
∴ ∴ ，故 .
22.（1）證明：由題意知 ，∴ ，∴ .
∵ ，∴ .
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ 四邊形 是平行四邊形 ．
（2）解：當(dāng) 時(shí)，四邊形 是菱形 ．理由如下：
∵ ，∴ .∵ 垂直平分 ，∴ .
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ 平行四邊形 是菱形．
23.證明:∵ 四邊形 是平行四邊形,∴
∴ .
在 和 中， ，
∴ ，∴ .
24.證明：∵ ，∴ ∠ ∠ ．
∵ 于點(diǎn) ，∴ ∠ ∠ ，
∴ ∠ ∠ ∠ ∠ ．∴ ∠ ∠ ．
∵ ∠ ∠ ，∴ ∠ ∠ ．∴ △ 是等腰三角形.
25.（1）證明：在△ 中， ， ，∴ ∠ ∠ .
∵ 是△ 外角∠ 的平分線，
∴ ∠ ∠ ，∴ ∠ ∠ .
又∵ ， ，∴ ，
∴ 四邊形 為矩形．
（2）解：給出正確條件即可．
例如，當(dāng) 時(shí)，四邊形 是正方形．
∵ ， 于點(diǎn) ，∴ .
又∵ ，∴ .
由（1）知四邊形 為矩形，∴ 矩形 是正方形．