（2013•廣東）如題22圖，矩形ABCD中,以對角線BD為一邊構(gòu)造一個矩形BDEF,使得另一邊EF過原矩形的頂點C.
(1)設(shè)Rt△CBD的面積為S1, Rt△BFC的面積為S2, Rt△DCE的面積為S3 ,
則S1______ S2+ S3(用“>”、“=”、“<”)；
（2）寫出題22圖中的三對相似三角形，并選擇其中一對進行證明.
（1） S1= S2+ S3；
（2）△BCF∽△DBC∽△CDE;
選△BCF∽△CDE
證明:在矩形ABCD中,∠BCD=90°且點C在邊EF上,∴∠BCF+∠DCE=90°
在矩形BDEF中,∠F=∠E=90°,∴在Rt△BCF中，∠CBF+∠BCF=90°
∴∠CBF=∠DCE,∴△BCF∽△CDE.
（2013•珠海）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，將線段AP繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)（點P對應(yīng)點P′），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時，點B、P、P′恰好在同一直線上，此時作P′E⊥AC于點E．
（1）求證：∠CBP=∠ABP；
（2）求證：AE=CP；
（3）當(dāng) ，BP′=5 時，求線段AB的長．
考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．3481324
專題：幾何綜合題．
分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AP′，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠APP′=∠AP′P，再根據(jù)等角的余角相等證明即可；
（2）過點P作PD⊥AB于D，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角邊”證明△APD和△P′AE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=DP，從而得證；
（3）設(shè)CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出P′A= AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．
解答：（1）證明：∵AP′是AP旋轉(zhuǎn)得到，
∴AP=AP′，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠C=90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，
又∵∠BPC=∠APP′（對頂角相等），
∴∠CBP=∠ABP；
（2）證明：如圖，過點P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∴CP=DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，
在△APD和△P′AE中， ，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE=DP，
∴AE=CP；
（3）解：∵ = ，
∴設(shè)CP=3k，PE=2k，
則AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，
在Rt△AEP′中，P′E= =4k，
∵∠C=90°，P′E⊥AC，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°，
∵∠BPC=∠EPP′（對頂角相等），
∴∠CBP=∠P′PE，
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，
∴△ABP′∽△EPP′，
∴ = ，
即 = ，
解得P′A= AB，
在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2，
即AB2+ AB2=（5 ）2，
解得AB=10．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，（2）作輔助線構(gòu)造出過渡線段DP并得到全等三角形是解題的關(guān)鍵，（3）利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出P′A= AB是解題的關(guān)鍵．
（2013•哈爾濱） 如圖，在△ABC中，、N分別是邊AB、AC的中點，則△AN的面積與四邊形BCN的面積比為( )．
(A) (B) (C) (D)
（2013•哈爾濱）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點0為坐標(biāo)原點，A點的坐標(biāo)為(3，0)，以0A為邊作等邊三角形OAB，點B在第一象限，過點B作AB的垂線交x軸于點C．動點P從0點出發(fā)沿0C向C點運動，動點Q從B點出發(fā)沿BA向A點運動，P,Q兩點同時出發(fā)，速度均為1個單位／秒。設(shè)運動時間為t秒．
(1)求線段BC的長；
(2)連接PQ交線段OB于點E，過點E作x軸的平行線交線段BC于點F。設(shè)線段EF的長為，求與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍：
(3)在(2)的條件下，將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△BE1F1,使點E的對應(yīng)點E1落在線段AB上，點F的對應(yīng)點是F1，E1F1交x軸于點G，連接PF、QG，當(dāng)t為何值時，2BQ-PF= QG?
（2013•哈爾濱）已知：△ABD和△CBD關(guān)于直線BD對稱(點A的對稱點是點C)，點E、F分別是線段BC
和線段BD上的點，且點F在線段EC的垂直平分線上，連接AF、AE，AE交BD于點G．
(1)如圖l，求證：∠EAF=∠ABD；
(2)如圖2，當(dāng)AB=AD時，是線段AG上一點，連接B、ED、F，F(xiàn)的延長線交ED于點N，∠BF= ∠BAF，AF= AD，試探究線段F和FN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2013•牡丹江）如圖，在△ABC中∠A=60°，B⊥AC于點，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，連接P，PN，則下列結(jié)論：①P=PN；② ；③△PN為等邊三角形；④當(dāng)∠ABC=45°時，BN= PC．其中正確的個數(shù)是（ �。�
A．1個B．2個C．3個D．4個
考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定；直角三角形斜邊上的中線．3718684
分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①正確；
先證明△AB∽△ACN，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可判斷②正確；
先根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出∠AB=∠ACN=30°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BCN+∠CB=60°，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠BPN+∠CP=120°，從而得到∠PN=60°，又由①得P=PN，根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷③正確；
當(dāng)∠ABC=45°時，∠BCN=45°，由P為BC邊的中點，得出BN= PB= PC，判斷④正確．
解答：解：①∵B⊥AC于點，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，
∴P= BC，PN= BC，
∴P=PN，正確；
②在△AB與△ACN中，
∵∠A=∠A，∠AB=∠ANC=90°，
∴△AB∽△ACN，
∴ ，正確；
③∵∠A=60°，B⊥AC于點，CN⊥AB于點N，
∴∠AB=∠ACN=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CB?180°?60°?30°×2=60°，
∵點P是BC的中點，B⊥AC，CN⊥AB，
∴P=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CP=2∠CB，
∴∠BPN+∠CP=2（∠BCN+∠CB）=2×60°=120°，
∴∠PN=60°，
∴△PN是等邊三角形，正確；
④當(dāng)∠ABC=45°時，∵CN⊥AB于點N，
∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，
∴BN=CN，
∵P為BC邊的中點，
∴PN⊥BC，△BPN為等腰直角三角形
∴BN= PB= PC，正確．
故選D．
點評：本題主要考查了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，相似三角形、等邊三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，仔細分析圖形并熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（2013•牡丹江）如圖，在△ABC中，D是AB邊上的一點，連接CD，請?zhí)砑右粋�適當(dāng)?shù)臈l件 ∠ACD=∠ABC（答案不唯一） ，使△ABC∽△ACD．（只填一個即可）
考點：相似三角形的判定．3718684
專題：開放型．
分析：相似三角形的判定有三種方法：
①三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；
②兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；
③兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．
由此可得出可添加的條件．
解答：解：由題意得，∠A=∠A（公共角），
則可添加：∠ACD=∠ABC，利用兩角法可判定△ABC∽△ACD．
故答案可為：∠ACD=∠ABC．
點評：本題考查了相似三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的三種判定方法，本題答案不唯一．
（2013•烏魯木齊）如圖，AB∥GH∥CD，點H在BC上，AC與BD交于點G，AB=2，CD=3，則GH的長為 ．
考點：平行線分線段成比例．3797161
分析：根據(jù)平行線分線段成比例定理，由AB∥GH，得出 = ，由GH∥CD，得出 = ，將兩個式子相加，即可求出GH的長．
解答：解：∵AB∥GH，
∴ = ，即 = ①，
∵GH∥CD，
∴ = ，即 = ②，
①+②，得 + = + ，
∵CH+BH=BC，
∴ + =1，
解得GH= ．
故答案為 ．
點評：本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練運用等式的性質(zhì)進行計算．本題難度適中．
（2013•安徽）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點P0的坐標(biāo)為（1，0），將線段OP0按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，將其長度伸長為OP0的2倍，得到線段OP1；再將線段OP1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，長度伸長為OP1的2倍，得到線段OP2；如此下去，得到線段OP3，OP4，…，OPn（n為正整數(shù)）
（1）求點P6的坐標(biāo)；（2）求△P5OP6的面積；
（3）我們規(guī)定：把點Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，…）的橫坐標(biāo)xn、縱坐標(biāo)yn都取絕對值后得到的新坐標(biāo)（xn， yn）稱之為點Pn的“絕對坐標(biāo)”．根據(jù)圖中點Pn的分布規(guī)律，請你猜想點Pn的“絕對坐標(biāo)”，并寫出來．
1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)規(guī)律，點P6落在y軸的負(fù)半軸，而點Pn到坐標(biāo)原點的距離始終等于前一個點到原點距離的 倍，故其坐標(biāo)為P6（0，26），即P6（0，64）；
（2）由已知可得，△P0OP1∽△P1OP2∽…∽△Pn－1OPn．
設(shè)P1（x1，y1），則y1=2sin45°= ，∴S△P0OP1= ×1× = ，又
（3）由題意知，OP0旋轉(zhuǎn) 次之后回到x軸正半軸，在這 次中，點Pn分別落在坐標(biāo)象限的平分線上或x軸或y軸上，但各點絕對坐標(biāo)的橫、縱坐標(biāo)均為非負(fù)數(shù)，因此，點Pn的坐標(biāo)可分三類情況：令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為n，
①當(dāng)n=8k或n=8k+4時（其中k為自然數(shù)），點Pn落在x軸上，此時，點Pn的絕對坐標(biāo)為（2n，0）；
②當(dāng)n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7時（其中k為自然數(shù)），點Pn落在各象限的平分線上，此時，點Pn的絕對坐標(biāo)為（ ×2n， ×2n），即（2n—1 ，2n—1 ）；
③當(dāng)n=8k+2或n=8k+6時（其中k為自然數(shù)），點Pn落在y軸上，
此時，點Pn的絕對坐標(biāo)為（0，2n）．
（2013•上海）如圖1，已知在△ABC中，點D、E、F分別是邊AB、AC、BC上的點，
DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB = 3∶5，那么CF∶CB等于（ ）
（A） 5∶8 ； （B）3∶8 ； （C） 3∶5 ； （D）2∶5．
（2013•邵陽）如圖所示，在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，點P是△ABC的外角∠BCN的角平分線上一個動點，點P′是點P關(guān)于直線BC的對稱點，連結(jié)PP′交BC于點，BP′交AC于D，連結(jié)BP、AP′、CP′．
（1）若四邊形BPCP′為菱形，求B的長；
（2）若△BP′∽△ABC，求B的長；
（3）若△ABD為等腰三角形，求△ABD的面積．
考點：相似形綜合題．
分析：（1）由菱形的性質(zhì)可知，點為BC的中點，所以B可求；
（2）△ABC為等腰直角三角形，若△BP′∽△ABC，則△BP′必為等腰直角三角形．證明△BP′、△BP、△BPP′均為等腰直角三角形，則BP=BP′；證明△BCP為等腰三角形，BP=BC，從而BP′=BC=4，進而求出B的長度；
（3）△ABD為等腰三角形，有3種情形，需要分類討論計算．
解答：解：（1）∵四邊形BPCP′為菱形，而菱形的對角線互相垂直平分，
∴點為BC的中點，
∴B= BC= ×4=2．
（2）△ABC為等腰直角三角形，若△BP′∽△ABC，
則△BP′必為等腰直角三角形，B=P′．
由對稱軸可知，P=P′，PP′⊥BC，則△BP為等腰直角三角形，
∴△BPP′為等腰直角三角形，BP′=BP．
∵∠CBP=45°，∠BCP= （180°?45°）=67.5°，
∴∠BPC=180°?∠CBP?∠BCP=180°?45°?67.5°=67.5°，
∴∠BPC=∠BCP，
∴BP=BC=4，
∴BP′=4．
在等腰直角三角形BP′中，斜邊BP′=4，
∴B= BP′= ．
（3）△ABD為等腰三角形，有3種情形：
①若AD=BD，如題圖②所示．
此時△ABD為等腰直角三角形，斜邊AB=4，
∴S△ABD= AD•BD= × × =4；
②若AD=AB，如下圖所示：
過點D作DE⊥AB于點E，則△ADE為等腰直角三角形，
∴DE= AD= AB=
∴S△ABD= AB•DE= ×4× = ；
③若AB=BD，則點D與點C重合，可知此時點P、點P′、點均與點C重合，
∴S△ABD=S△ABC= AB•BC= ×4×4=8．
點評：本題是幾何綜合題，考查了相似三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形、等腰三角形、菱形、勾股定理等知識點，難度不大．第（3）問考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是本題的難點．
�。�2013•柳州）小明在測量樓高時，先測出樓房落在地面上的影長BA為15米（如圖），然后在A處樹立一根高2米的標(biāo)桿，測得標(biāo)桿的影長AC為3米，則樓高為（ �。�
A．10米B．12米C．15米D．22.5米
考點：相似三角形的應(yīng)用．
專題：．
分析：在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似．根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可求解．
解答：解：∵ =
即 = ，
∴樓高=10米．
故選A．
點評：本題考查了相似三角形在測量高度時的應(yīng)用，解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．
（2013•臨沂）如圖，矩形ABCD中，∠ACB=30°，將一塊直角三角板的直角頂點P放在兩對角線AC，BD的交點處，以點P為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動三角板，并保證三角板的兩直角邊分別于邊AB，BC所在的直線相交，交點分別為E，F(xiàn)．
（1）當(dāng)PE⊥AB，PF⊥BC時，如圖1，則 的值為 �。�
（2）現(xiàn)將三角板繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜60°）角，如圖2，求 的值；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2時，如圖3， 的值是否變化？證明你的結(jié)論．
考點：幾何變換綜合題
分析：（1）證明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得 的值；
（2）如答圖1所示，作輔助線，構(gòu)造直角三角形，證明△PE∽△PNF，并利用（1）的結(jié)論，求得 的值；
（3）如答圖2所示，作輔助線，構(gòu)造直角三角形，首先證明△AP∽△PCN，求得 的值；然后證明△PE∽△PNF，從而由 求得 的值．與（1）（2）問相比較， 的值發(fā)生了變化．
解答：解：（1）∵矩形ABCD，
∴AB⊥BC，PA=PC；
∵PE⊥AB，BC⊥AB，
∴PE∥BC，
∴∠APE=∠PCF；
∵PF⊥BC，AB⊥BC，
∴PF∥AB，
∴∠PAE=∠CPF．
∵在△APE與△PCF中，
∴△APE≌△PCF（ASA），
∴PE=CF．
在Rt△PCF中， =tan30°= ，
∴ = ．
（2）如答圖1，過點P作P⊥AB于點，PN⊥BC于點N，則P⊥PN．
∵P⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EP=∠FPN，
又∵∠PE=∠PNF=90°，
∴△PE∽△PNF，
∴ ．
由（1）知， = ，
∴ = ．
（3）答：變化．
證明：如答圖2，過點P作P⊥AB于點，PN⊥BC于點N，則P⊥PN，P∥BC，PN∥AB．
∵P∥BC，PN∥AB，
∴∠AP=∠PCN，∠PA=∠CPN，
∴△AP∽△PCN，
∴ ，得CN=2P．
在Rt△PCN中， =tan30°= ，∴ = ．
∵P⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EP=∠FPN，
又∵∠PE=∠PNF=90°，
∴△PE∽△PNF，
∴ = ．
∴ 的值發(fā)生變化．
點評：本題是幾何綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識點．本題三問的解題思路是一致的：即都是直接或作輔助線構(gòu)造直角三角形，通過相似三角形或全等三角形解決問題．
（2013•重慶B）已知 ∽ ，若 與 的相似比為3：4，則 與 的面積之比為
A.4：3 B.3：4 C.16：9 D.9：16
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