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第二十二講 直角三角形的再發(fā)現(xiàn)
直角三角形是一類特殊三角形，有著豐富的性質(zhì)：兩銳角互余、斜邊的平方是兩直角邊的平方和、斜邊中線等于斜邊一半、30°所對(duì)的直角邊等于斜邊一半等，在學(xué)習(xí)了相似三角形的知識(shí)后，我們利用相似三角形法，能得到應(yīng)用極為廣泛的結(jié)論．
如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，則有：
1．同一三角形中三邊的平方關(guān)系：AB2=AC2+BC2，
AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2．
2．角的相等關(guān)系：∠A=∠DCD，∠B=∠ACD．
3．線段的等積式：由面積得 AC×BC=AB×CD；
由 △ACD∽△CBD∽△ABC，得CD2=AD×BD，AC2=AD×AB，BC2=BD×AB．
以直角三角形為背景的幾何問(wèn)題，常以下列圖形為載體，綜合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形，特殊四邊形等豐富的知識(shí)．

注 直角三角形被斜邊上的高分成的3個(gè)直角三角形相似，由此導(dǎo)出的等積式的特點(diǎn)是：一線段是兩個(gè)三角形的公共邊，另兩條線段在同一直線上，這些等積式廣泛應(yīng)用于與直角三角形問(wèn)題的計(jì)算與證明中．

例題求解
【例1】 等腰三角形ABC的底邊長(zhǎng)為8cm，腰長(zhǎng)5cm，一動(dòng)點(diǎn)P在底邊上從B向C以0．25cm／秒的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到PA與腰垂直的位置時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 ．
(江蘇省常州市中考題)
思路點(diǎn)撥 為求BP需作出底邊上的高，就得到與直角三角形相關(guān)的基本圖形，注意動(dòng) 態(tài)過(guò)程．
【例2】 如圖，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD=40cm2，S△ABE：S△DBA=1：5，則AE的長(zhǎng)為( )
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm (青島市中考題)

思路點(diǎn)撥 從題設(shè)條件及基本圖形入手，先建立AB、AD的等式．
【例3】 如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DB為BC的中點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)，點(diǎn)G在BE上，連結(jié)DG并延長(zhǎng)交AE于F，若∠FGE=45°．
(1)求證：BD×BC＝BG×BE；
(2)求證：AG⊥BE；
(3)若E為AC的中點(diǎn)，求EF：FD的值．（鹽城市中考題）

思路點(diǎn)撥 發(fā)現(xiàn)圖形中特殊三角形、基本圖形、線段之間的關(guān)系是解本例的基礎(chǔ)．(1)證明△GBD∽△CBE；(2)證明△ABG∽EBA；(3)利用相似三角形，把求 的值轉(zhuǎn)化為求其他線段的比值．
【例4】 如圖，H、Q分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BH=BQ，過(guò)B作HC的垂線，垂足為P．求證：DP⊥PQ． (“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題)


思路點(diǎn)撥 因∠BPQ+∠QPC=90°，要證DP⊥PQ，即證∠QPC+∠DPC=90°，只需證∠BPQ=∠DPC，只要證明△BPQ∽△CPD即可．
注 題設(shè)條件有中點(diǎn)，圖形中有與直角三角形相關(guān)的基本圖形，給我們以豐富的聯(lián)想，單獨(dú)應(yīng)用或組合應(yīng)用可推出許多結(jié)論．因此，讀者應(yīng)不拘泥于給出的思路點(diǎn)撥，多角度探索與思考，尋找更多更好的解 法，以培養(yǎng)我們發(fā)散思的能力．
【例5】 已知△ABC中，BC>AC，CH是AB邊上的高，且滿足 ，試探討∠A與∠B的關(guān)系，井加以證明． (武漢市選拔賽試題)
思路點(diǎn)撥 由題設(shè)條件易想到直角三角形中的基本圖形、基本結(jié)論，可猜想出∠A與∠B的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用勾股定理、比例線段的性質(zhì)， 推導(dǎo)判定兩個(gè)三角形相似的條件．
注 構(gòu)造逆命題是提出問(wèn)題的一個(gè)常用方法，本例是在直角三角形被斜邊上的高分成的相似三角形得出結(jié)論基礎(chǔ)上提出的一個(gè)逆命題，讀者你能提出新的問(wèn)題嗎?并加以證明．

學(xué)力訓(xùn)練
1．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是1，P是CD邊的中點(diǎn) ，點(diǎn)Q在線段BC上，
當(dāng)BQ= 時(shí)，三角形ADP與三角形QCP相似．
(云南省中考題)
2．如圖，Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高，DF⊥CB于E，若BE=6，CE=4，則
AD= ．
3．如圖，平行四邊形ABCD中，AB=2，BC=2 ，AC=4，過(guò)AC的中點(diǎn)O作EF⊥AC交AD于E，交BC于F，則EF= ． (重慶市競(jìng)賽題)
4．P是Rt△ABC的斜邊BC上異于B、C的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，滿足這樣條件的直線共有( )
A．1條 B． 2條 C．3條 D．4條
(2001年安徽省中考題)
5．在△ABC中，AD是高，且AD2=BD×CD，那么∠BAC的度數(shù)是( )
A．小于90° B．等于90° C．大于90° D．不確定
6． 如 圖，矩形ABCD中，AB= ，BC=3，AE⊥BD于E，則EC=( )
A． B． C． D．


7．如圖，在矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，BE⊥ AC交AC于F，過(guò)F作FG∥AB交AE于G，求證：AG2＝AF×FC．
8．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延長(zhǎng)線相交于G．
求證；(1)AB=BH；(2)AB2=GA×HE． (青島市中考題)

9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E，CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG∥BC交AB于點(diǎn)G，AE×AD=16，AB=4
(1)求證：CE=EF；
(2)求EG的長(zhǎng)．
(河南省中考題)
10．如圖，直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AC⊥BD，已知 ，則 = ．
(江蘇省競(jìng)賽題)


11．如圖，在Rt△ABC中，兩條直角邊AB、AC的長(zhǎng)分別為l厘米、2厘米，那么直角的角平分線的長(zhǎng)度等于 厘米．
12．如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AC和BC上，∠C＝90°，DE∥AB，且3DE=2AB，AE=13，BD=9，那么AB的長(zhǎng)為 ．
( “我愛(ài) 數(shù)學(xué)”初中數(shù)學(xué)夏令營(yíng)試題)
13．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，若AD= AC，CE= BC，則∠1與∠2的大小關(guān)系是( )
A．∠1>∠2 B．∠1<∠2 C．∠1=∠2 D．無(wú)法確定
(天津市競(jìng)賽題)
14．如圖，△ABC中，CD⊥AB交AB于點(diǎn)D，有下列條件：
①∠A=∠BCD；②∠A+∠BCD=∠ADC；③ ；④BC2=BD×BA．
其中，一定能判斷△ABC是直角三角形的共有( )
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) (2003年河南省競(jìng)賽題)


15．如圖，在直角梯形ABCD中， AB=7，AD=2，DC=3，如果邊AD上的點(diǎn)P使得以P，
A、D為頂點(diǎn)的三角形和以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，那么這樣的點(diǎn)P有( )
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分線，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，DF∥ AC交BC于點(diǎn)F．
求證：(1)四邊形CEDF是正方形；(2)CD2=AE×BF．
(山東省競(jìng)賽題)
17．如圖，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB于D，已知Rt△ABC的三邊長(zhǎng)都是整數(shù)，且BD=113，求Rt△BCD與Rt△ACD的周長(zhǎng)之比．
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題 )


18．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分線AD交BC邊于D，求證： ．
(昆明市競(jìng)賽題)
19．如圖，已知邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD，在AB、AD上分別取點(diǎn)P、S，連結(jié)PS，將Rt△SAP繞正方形中心O旋轉(zhuǎn)180°得Rt△QCR，從而得四邊形PQRS．試判斷四邊形PQRS能否變化成矩形?若能，設(shè)PA= x，SA=y ，請(qǐng)說(shuō)明x 、y具有什么關(guān)系時(shí)，四邊形PQRS是矩形；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(山東省濟(jì)南市中考題)
20．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°
(1)當(dāng)點(diǎn)D在斜邊AB內(nèi)時(shí)，求證： ；
(2)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，(1)中的等式是否存在?請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中的等式是否存在?請(qǐng)說(shuō)明理由．

本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/chuer/63940.html

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